Aplicaciones de la Derivada 4: Concavidad y Bosquejo de Curvas

    Hemos visto cómo la primera derivada nos dice dónde está aumentando y dónde está disminuyendo una función y si un máximo o un mínimo local ocurre en un punto crítico. En esta sección veremos que la segunda derivada nos da información sobre cómo se dobla o gira la gráfica de una función diferenciable.

    Con este conocimiento sobre la primera y segunda derivadas, podremos dibujar una gráfica precisa de una función. Al organizar todas estas ideas en un procedimiento coherente, damos un método para dibujar gráficos.

    Analicemos la gráfica de la función y = x³.

    Como podemos apreciar, la curva asciende a medida que aumenta x, pero las porciones definidas en los intervalos (-∞, 0) y (0, ∞) giran de diferente manera. De izquierda a nuestro origen la curva gira a nuestra derecha y cae debajo de su tangente, desde el origen hacia la derecha, la curva gira a la izquierda y se eleva por encima de su tangente. La pendiente de la tangente disminuye en el intervalo (-∞, 0) y aumenta en el intervalo (0, ∞). Esta flexión de la curva es lo que llamamos concavidad.

    La gráfica de una función diferenciable y = f (x) es

• Cóncavo hacia arriba si f 'aumenta en el intervalo dado.
• Cóncavo hacia abajo si f 'está disminuyendo en el intervalo dado.

Si la función tiene una segunda derivada, podemos aplicar nuestro tercer corolario para obtener:

• Si  f “ >  0 en el intervalo dado, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
• Si  f “ < 0 en el intervalo dado, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

    Nuestra gráfica de y = x³ es cóncava hacia abajo en (-∞, 0) donde y '' = 6x < 0 y cóncava hacia arriba en (0, ∞) donde y '' = 6x > 0. El punto donde la concavidad cambia en el gráfico y tiene una tangente se llama un punto de inflexión. En nuestro ejemplo, nuestro gráfico cambia de concavidad en x = 0 pero no tiene una línea tangente en él, por lo que este no es un punto de inflexión.

    Ejemplo: Determine la concavidad de y = 3 + sen x en [0, 2π] y encuentre su punto de inflexión.

    Calculando la segunda derivada tenemos y '' = - sin x. Tenemos ceros en 0, π y 2π, por lo que podemos construir intervalos (0, π) y (π, 2π). Y tenemos esa y '' = - sin x es negativo en el intervalo (0, π) por lo que es cóncavo hacia abajo y positivo en los intervalos (π, 2π) por lo que es cóncavo hacia arriba.

    La curva cambia de concavidad en el punto (π, 3) y en este punto tiene una recta tangente de pendiente -1, que es su punto de inflexión.

    Observamos que la segunda derivada es cero en el punto de inflexión. Generalmente, si la segunda derivada existe en un punto de inflexión (c, f (c)), entonces f '' (c) = 0 o f '' (c) Con esto ahora podemos crear una prueba de la segunda derivada para el teorema de los extremos locales.

    Suponga que f’’ es continuo en un intervalo abierto que contiene x = c.

1. Si f’(c) = 0 y f’ (c) < 0, entonces f tiene un máximo local en x = c.

2. Si f’(c) = 0 y f’ (c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en x = c.

3. Si  f’(c) = 0 y f’ (c) < 0, entonces la prueba falla. La función f puede tener un máximo local, un mínimo local o ninguno.

Ejemplo. Dibuja una gráfica de la función f (x) = x⁴ - 4x³ + 10.

    Lo primero que analizamos es el dominio de la función y encontramos que esta función es continua en todas partes, por lo tanto su dominio es (-∞, ∞), por lo que los puntos críticos ocurren solo en los cero de la derivada.

f’(x) = 4x³ - 12x² = 4x²(x - 3)

    Encontramos que la primera derivada es cero en x = 0 y x = 3. Ahora con los puntos críticos creamos subdivisiones para encontrar las regiones donde está aumentando o disminuyendo.

- ∞ < x < 0 es negativo, por lo que es decreciente

0 < x < 3 es negativo, por lo que es decreciente

x > 3 es positivo, por lo que aumenta

    Sí aplicamos la prueba de la primera derivada, encontramos un mínimo local en x = 3 pero no un extremo en x = 0

    tomamos ahora la segunda derivada y obtenemos f’’ (x) = 12x² - 24x = 12x (x - 2) con ceros en x = 0 y x = 2. Si analizamos las regiones creadas por estos puntos, podemos encontrar dónde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

-∞ < x < 0 es positivo, por lo que es cóncavo hacia arriba

0 < x < 2 es negativo, por lo que es cóncavo hacia abajo

x > 2 es positivo, por lo que es cóncavo hacia arriba.

    Para resumir la información que adquirimos, creamos las siguientes tablas junto con la forma general del gráfico

x < 0	0 < x < 2	2 < x < 3	x > 3
Decreciente Cóncava arriba	Decreciente Cóncavo hacia abajo	Decreciente Cóncava arriba	Creciente Cóncava arriba

Descripcion general de la grafica del problema.

    Como vemos una gráfica puede tener cualquiera de las siguientes combinaciones.

Procedimiento para graficar y = f (x)

1. Identifique el dominio de f y las simetrías que pueda tener la curva.

2. Encuentra las derivadas y’ y y’’.

3. Encuentre los puntos críticos de f, si los hay, e identifique el comportamiento de la función en cada uno.

4. Encuentre dónde la curva aumenta y disminuye.

5. Encuentre los puntos de inflexión, si ocurre alguno, y determine la concavidad de la curva.

6. Identifique cualquier asíntota que pueda existir.

    la noción de concavidad es importante en la teoría y la economía de la optimización. Otra aplicación de la concavidad es en física para determinar la aceleración dada una gráfica de posición versus tiempo. Dado que la aceleración es la segunda derivada de la posición.

Ahora pueden seguirnos y contactarnos a través de Facebook, Twitter y correo electrónico.

 

• Facebook: https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJMD
• Twitter: @JMDciencias
• Correo: institutodecienciasjmd@hotmail.com

 

También pueden seguir nuestro otro blog si les interesa aprender sobre el interesante mundo de la física. 

 

• Facebook: https://www.facebook.com/JMDFisica
• Blogger: jmdfisica.blogspot.com

Aplicaciones de la Derivada 3: Funciones monótonas y la Prueba de la Primera Derivada

    A la hora de hacer la gráfica de una función en algebra nos han enseñado a usar diferentes valores de x para encontrar suficientes valores de y que nos permitan crear una gráfica a partir de la unión de los puntos o simplemente memorizar la forma de la gráfica, sin embargo existe un método más simple y consistente para crear graficas e incluso aprender información adicional sobre la gráfica.

    Uno de los aspectos importantes a conocer en una grafica es ver donde la grafica cambia (aumenta o disminuye). Con excepción de la grafica de la pendiente, las graficas por lo general tienen este patrón de incremento (de izquierda a derecha) o disminución (de izquierda a derecha) en un intervalo. Este tipo de funciones son llamadas funciones monótonas y existe un tercer corolario del teorema del valor medio que nos permite identificar estas propiedades.

• Supongamos que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Si f’(x) > 0 en cada punto x en (a, b), entonces f esta aumentado en [a, b]; si f’(x) < 0 en cada punto x (a, b), entonces f está disminuyendo.

    Para recordarles, cuando usamos la expresión f’(x) nos referimos a la derivada de la función .

    Para comprobar esto elegimos dos puntos x₁ y x₂ en [a, b] con x₁ y x₂ y aplicando el teorema del valor medio tenemos que

Se puede reescribir como

    Para un arbitrario valor c entre x₁ y x₂. El signo del lado derecho es determinado por f’(c) ya que x₂ – x₁ es positivo pues x₁ < x₂ y por lo tanto f(x₂) > f(x₁) si f’ es positivo y f(x₂) < f(x₁) si f’ es negativo.

    Ejemplo. Encuentre los puntos críticos de f(x) = x³ – 12x – 5 e identifica donde f esta aumentando y disminuyendo.

    Para encontrar los puntos críticos debemos evaluar la derivada cuando es cero.

f(x) = x³ – 12x – 5

f’(x) = 3x² – 12 = 3(x² – 4)

f’(x) = 0 = 3(x² – 4)

3(x – 2) (x + 2) = 0

    Es cero cuando x = –2 y x = 2. Estos puntos críticos subdividen el dominio en los intervalos (–∞, –2), (–2, 2), (2, ∞). Para determinar si aumenta o disminuye debemos evaluar las regiones eligiendo un punto en ella y determinando su signo.

• –∞ < x < –2 elegimos x = –3 (esto es arbitrario)

f’ (–3) = 3(–3 + 2) (–3 – 2) = +15

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

• –2 < x < 2 elegimos x = 0

f’ (0) = 3(0 + 2) (0 – 2) = –12

como el signo es negativo esto indica que está disminuyendo.

• 2 < x < ∞ elegimos x = 3

f’ (3) = 3(3 + 2) (3 – 2) = +15

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

    De forma grafica podemos representarlo de la siguiente forma.

    Una función aumenta o disminuye sobre una región no en un punto.

Prueba de la primera derivada para extremos locales

    Si analizamos la grafica presentada arriba veremos algunas características interesantes con respecto a los valores mínimos y máximos. Estas observaciones las podemos agrupar y crear la prueba de la primera derivada para los extremos locales.

    Supongamos que c es un punto crítico de una función continua y que es diferenciable en cada punto de un intervalo que contiene c.

1.      Si f’ cambia de negativo a positivo en c entonces f tiene un mínimo local.

2.      Si f’ cambia de positivo a negativo en c entonces f tiene máximo local.

3.      Si f’ no cambia en c entonces f no tiene extremos locales en c.

    En la gráfica podemos ver que c₃ contiene un mínimo local mientras c₂ es un máximo local y los puntos c₁ y c₅ no contienen extremos locales.

    Ejemplo. Encuentra los puntos críticos de f(x) = (x² – 3) e^x. Identifica los intervalos donde esa aumentando y disminuyendo. Encuentra valores extremos y absolutos si los hay.

Primero debemos buscar su derivada.

Podemos usar la regla del producto para ello.

= 2xe^x + (x² – 3) e^x

f' (x) = (x² + 2x –3) e^x

Como e^x nunca es cero, la derivada será cero sí.  

x² + 2x – 3

factorizando

(x + 3) (x – 1) = 0

    Los puntos críticos están en x = –3 y x = 1 así que nuestro dominio se subdivide en las regiones –∞ < x < –3, –3 < x < 1 y 1 < x < ∞.

• –∞ < x < –3 elegimos x = –4 (una vez más, esto es arbitrario)

f’ (–4) = ((–4)²+2(–4) –3) e^–4 = +5e^–4

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

• –3 < x < 1 elegimos x = 0

f’ (0) = ((0)²+2(0) – 3) e⁰ = –3

como el signo es negativo esto indica que está disminuyendo.

• 1 < x < ∞ elegimos x = 2

f’ (2) = ((2)² + 2(2) – 3) e² = +5e²

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

    Si evaluamos los valores de los puntos críticos tenemos que x = 1 f (1) = –2e es el valor más pequeño que obtenemos pero x = –3 f (–3) = 6e^–3 no es el valor mas alto por lo que conocemos que tenemos un mínimo absoluto pero no un máximo absoluto.

Ahora pueden seguirnos y contactarnos a través de Facebook, Twitter y correo electrónico.

• Facebook: https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJMD
• Twitter: @JMDciencias
• Correo: institutodecienciasjmd@hotmail.com

También pueden seguir nuestro otro blog si les interesa aprender sobre el interesante mundo de la física. 

• Facebook: https://www.facebook.com/JMDFisica
• Blogger: jmdfisica.blogspot.com

Aplicaciones de la Derivada 2: Teorema del Valor Medio

    ¿Pueden existir funciones complicadas cuyas derivadas siempre sean igual a cero? Si dos funciones tienen la misma derivada sobre un intervalo determinado ¿Cómo estas están relacionadas? Antes de que llegue al final de esta publicación sabrá la respuesta a estas dos preguntas. Empezaremos analizando algo conocido el teorema de Rolle. Este postula lo siguiente:

• Supongamos que y = f(x) es continua en cada punto del intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en cada punto de su interior (a, b). si f(a) = f(b), entonces hay al menos un número c en (a, b) donde f’(c) = 0.

    Podemos confirmar este teorema usando el teorema de la continuidad presentado en la pasada publicación. En este vimos que una función continua podemos encontrar un máximo o mínimo absoluto en tres escenarios posibles. 

1. puntos interiores donde ƒ' = 0.
2. puntos interiores donde ƒ' es indefinido.
3. puntos finales del dominio de ƒ.

    Como f es diferenciable en cada punto interior por definición podemos excluir el escenario 2 dejándonos así el escenario 1 y 3.

    En el caso del escenario 1 si un máximo o mínimo ocurre en el punto c entre a y b entonces f’(c) = 0 por lo tanto hemos encontrado un punto que valida el teorema de Rolle.

    Si tanto el máximo absoluto como el mínimo absoluto ocurren en los extremos entonces debido a que f(a) = f(b) se da el caso que f es una función constante para cada x ∈ (a, b), por lo tanto f’(x) = 0 y el punto c se puede tomar en cualquier punto interior (a, b) cumpliendo así el escenario 3. Esto forma nuestro primer corolario.

    Corolario 1. Si f’(x) = 0 en cada punto x de un intervalo abierto (a, b), entonces f(x) = C para todas x ∈ (a, b), donde C es una constante.

    ¿Pueden existir funciones complicadas cuyas derivadas siempre sean igual a cero? La respuesta según este corolario es que solo las funciones constantes tienen una derivada igual a cero.

    La prueba de este teorema es esencial ya que si esta falla aunque sea en un punto su grafica puede no tener una tangente horizontal, pero ¿por qué es importante tener esta tangente? De esto es que trata el teorema del valor medio.

    El Teorema del Valor Medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Considerado como el teorema más importante del cálculo. Una forma mas restringida de este fue demostrada por Michel Rolle en 1691 para polinomios sin la técnica de cálculos y hoy es conocida como el teorema de Rolle que acabamos de comprobar. El teorema del valor medio postula lo siguiente.

• Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) tal que la tangente en el punto c es paralela a la recta secante en los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), en lenguaje geométrico es fácil de formular y entender como se muestra a continuación.

    Prueba. imaginamos el gráfico f y dibujamos una línea a través de los puntos A (a, f(a)) y B (b, f(b)). La función de la línea la podemos representar usando la ecuación de la pendiente.

    La diferencia vertical entre las gráficas f y g la representamos con la función h(x).

    La función h satisface la hipótesis del teorema de Rolle en [a, b]; es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) pues f y g lo son. También h(a) = h(b) = 0 por lo tanto existe un h’(c) = 0 en un punto c ∈ (a, b). Este es el punto que deseamos para la ecuación, para ello vamos a diferenciar ambos lados con respecto a x y luego establecer x = c.

Cuando h’(c) = 0

    Esto también confirma que el teorema de Rolle es una versión mas restringida de lo que es el teorema del valor medio.

    Ejemplo. La función f(x) = x² es continua de 0 ≤ x ≤ 2 y diferenciable en 0 < x < 2 como f (0) = 0 y f (2) = 4, el teorema del valor medio nos dice que existe un punto c en este intervalo donde la derivada f’(x) = 2x, debe tener un valor de (4-0) / (2-0) = 2. En este caso encontramos el valor de c resolviendo la ecuación 2c = 2 que nos da c = 1.

    ¿Qué tal si queremos saber la relación entre dos funciones que tienen la misma derivada en un intervalo determinado?

    Existe un segundo corolario que nos dice que sus valores se diferencian por una constante.

    Corolario 2. Si f’(x) = g’(x) en cada punto x de un intervalo abierto (a, b), entonces existe una constante C tal que f(x) = g(x) + C para todas x ∈ (a, b). Eso es f – g es una función constante en (a, b).

    Dos funciones pueden tener la misma derivada pero no necesariamente ser iguales. Estas difieren en una constante.

    El teorema del valor medio es de mucha importancia para la siguiente sección de calculo que trataremos. También ha sido utilizada para comprobar las leyes logarítmicas y exponenciales. Aquí debajo les presentare un ejemplo de estas y con esa idea ustedes pueden intentar probar las demás leyes.

    Prueba que ln(bx) = ln(b) + ln(x).

    El argumento comienza observando que ln(b) y ln(x) tienen la misma derivada.

    Acorde a nuestro segundo corolario las funciones difieren por una constante, lo que significa que

    ya que esta ecuación se mantiene para todos los valores positivos de x, debe mantenerse para x = 1. Por lo tanto,

    Ahora podemos sustituir y ver 

    Comprueba que 

    Sea y₁ = e^x₁ y y₂ = e^x₂, entonces tomando el logaritmo de ambos lados.

x₁ = lny₁ y x₂ = lny₂

x₁+x₂ = lny₁+lny₂ 

    Aplicando la regla de multiplicación de logaritmos

x₁+x₂ = lny₁y₂

    Exponenciándolos nuevamente

e^x₁^+x₂ = e ^lny₁^y₂

= y₁y₂ 

    Sustituyendo

e^x₁^+x₂ = e^x₁.e^x₂

 

Definición

• Corolario: Es una proposición que no necesita ser verificada, ya que se deduce muy fácilmente de lo demostrado.

Ahora pueden seguirnos y contactarnos a través de Facebook, Twitter y correo electrónico.

 

• Facebook: https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJMD
• Twitter: @JMDciencias
• Correo: institutodecienciasjmd@hotmail.com

 

También pueden seguir nuestro otro blog si les interesa aprender sobre el interesante mundo de la física. 

 

• Facebook: https://www.facebook.com/JMDFisica
• Blogger: jmdfisica.blogspot.com

Aplicaciones de la Derivada: valores extremos absolutos y locales

    Estamos de vuelta con nuestro tema de cálculos. En esta ocasión vamos a tratar sobre las aplicaciones de la derivada. Esta sección estará dividida en cinco publicaciones que están entrelazadas. Cada sección hablara sobre una aplicación diferente y como estas se enlazan entre sí y su importancia. Nuestra primera sección trata sobre valores extremos absolutos y locales.

    Una de las aplicaciones de la derivada es la de encontrar valores extremos, sean estos mínimos o máximos. Un valor extremo es aquel donde una función o la gráfica de una función cambia de dirección creando así un valle o un pico en el caso de un valor máximo es un pico mientras en el caso de un mínimo crea un valle.

• Sea ƒ una función con dominio D. entonces ƒ tiene un valor máximo absoluto en D en el punto c si

para todas x en D

Y un valor mínimo absoluto si 

para todas x en D.

    Para darles una mejor idea de lo que son los valores extremos veamos nuestra confiable función ƒ(x) = x² sobre diferentes intervalos.

Función	Dominio	Extremos Absoluto
ƒ(x) = x2	(-∞,∞)	no máximo absoluto
		mínimo absoluto 0 cuando x = 0
	[0,2]	máximo absoluto 4 cuando x = 2
		mínimo absoluto 0 cuando x = 0
	(0,2]	máximo absoluto 4 cuando x = 2
		no mínimo absoluto
	(0,2)	no extremos absolutos

    Como podemos ver en algunos casos no tiene valor máximo ni mínimo, solo en los casos de un intervalo cerrado donde la función es continua podemos encontrar un valor máximo absoluto y mínimo absoluto. Esta noción nos permite crear el siguiente teorema.

    Si ƒ es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces ƒ alcanza ambos un máximo absoluto M y un mínimo absoluto m en [a, b] y m ≤ ƒ(x) ≤ M para cada otra x en [a, b].

    Pero no solo podemos encontrar valores máximos y mínimos absolutos, sino también locales, es decir regiones que crean un valle o un pico pero no son extremos absolutos. De hecho una lista de todos los máximos y mínimos locales incluirá los valores absolutos si estos existen.

    Si ƒ tiene un local máximo o mínimo en un punto interior c de su dominio y ƒ’ es definido en c, entonces

Nota: La prueba de este teorema esta al final de la publicación. Si deseas verla puedes saltar al final de la publicación y luego regresar a esta sección.

    El teorema dice que la primera derivada de una función es siempre cero en un punto interior donde la función tiene un valor extremo local y la derivada está definida. Por lo tanto, los únicos lugares donde una función ƒ puede tener un valor extremo (local o global) son

• puntos interiores donde ƒ' = 0.
• puntos interiores donde ƒ' es indefinido.
• puntos finales del dominio de ƒ.

    Ejemplo. Encuentra el valor máximo, mínimo y locales de la función f(x) = x² en el intervalo [-2, 1].

    Como ya describimos los extremos son posibles candidatos, ahora debemos ver si existe algún punto en el dominio. Para ello usamos su derivada y la evaluamos en cero. El valor que encontramos es x = 0 ese es un punto crítico. Ahora la podemos evaluar

ƒ’(x) = 2x = 0

x = 0

ƒ (0) = (0)² = 0

ƒ (-2) = (-2)² = 4

ƒ (1) = (1)² = 1

    Basado en los resultados decimos que ƒ(x) = x² tiene un valor máximo absoluto 4 en x = - 2 y un valor mínimo absoluto de 0 en x = 0 en el intervalo dado.

Ejemplo. Evalúa   

    Los puntos críticos son x = 1 y x = 0, pero cero esta fuera del rango así que solo contaremos el valor de x = 1

    De estos resultados podemos deducir que su valor máximo ocurre x = 4 y su valor mínimo cuando x = 1 mientras que cuando x = 0.5 es un punto crítico (un máximo local).

    Existen numerosas aplicaciones prácticas en las que se desea encontrar el valor máximo o mínimo de una determinada cantidad. Estas aplicaciones existen en economía, negocios e ingeniería. Por ejemplo, la forma de una botella de agua o cualquier otro recipiente es fácilmente determinado minimizando la cantidad de material necesario para fabricarlo así se ahorra costo de producción. El diseño de los sistemas de tuberías en las ciudades a menudo minimiza la caída de presión, lo que a su vez minimiza los tamaños de bomba requeridos y reduce los costos. Las formas de las vigas de acero se basan en maximizar la resistencia por lo que las formas que son utilizadas son casi siempre las mismas.

    En nuestro próximo tema estaremos tratando el teorema del valor medio. Aquí esta la prueba del teorema.

Prueba que f(c) es cero en un extremo local.

    Supongamos que ƒ tiene un valor máximo local en x = c así que ƒ(x) – ƒ(c) ≤ 0 para todos los valores de x cerca del valor c. Como c es in punto interior del dominio de ƒ, su derivada esta definida por el límite de los dos lados. 

    Esto implica que el límite del lado derecho como del lado izquierdo deben existir cuando x = c e igualmente ƒ’(c). Sí examinamos estos límites separados veremos que

    Es el lado derecho, por lo tanto (x – c) > 0 y ƒ(x) ≤ ƒ(c).

    Es el lado izquierdo, por lo tanto (x – c) < 0 y ƒ(x) ≥ ƒ(c).

    Las ecuaciones juntas implican que ƒ’(c) = 0 porque ƒ’(c) no puede ser positivo y negativo al mismo tiempo. El único número que no es ni positivo ni negativo es cero, así que eso es lo que debe ser. 

Ahora pueden seguirnos y contactarnos a través de Facebook, Twitter y correo electrónico.

 

• Facebook: https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJMD
• Twitter: @JMDciencias
• Correo: institutodecienciasjmd@hotmail.com

 

También pueden seguir nuestro otro blog si les interesa aprender sobre el interesante mundo de la física. 

 

• Facebook: https://www.facebook.com/JMDFisica
• Blogger: jmdfisica.blogspot.com