Aplicaciones de la Derivada 3: Funciones monótonas y la Prueba de la Primera Derivada

    A la hora de hacer la gráfica de una función en algebra nos han enseñado a usar diferentes valores de x para encontrar suficientes valores de y que nos permitan crear una gráfica a partir de la unión de los puntos o simplemente memorizar la forma de la gráfica, sin embargo existe un método más simple y consistente para crear graficas e incluso aprender información adicional sobre la gráfica.

    Uno de los aspectos importantes a conocer en una grafica es ver donde la grafica cambia (aumenta o disminuye). Con excepción de la grafica de la pendiente, las graficas por lo general tienen este patrón de incremento (de izquierda a derecha) o disminución (de izquierda a derecha) en un intervalo. Este tipo de funciones son llamadas funciones monótonas y existe un tercer corolario del teorema del valor medio que nos permite identificar estas propiedades.

• Supongamos que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Si f’(x) > 0 en cada punto x en (a, b), entonces f esta aumentado en [a, b]; si f’(x) < 0 en cada punto x (a, b), entonces f está disminuyendo.

    Para recordarles, cuando usamos la expresión f’(x) nos referimos a la derivada de la función .

    Para comprobar esto elegimos dos puntos x₁ y x₂ en [a, b] con x₁ y x₂ y aplicando el teorema del valor medio tenemos que

Se puede reescribir como

    Para un arbitrario valor c entre x₁ y x₂. El signo del lado derecho es determinado por f’(c) ya que x₂ – x₁ es positivo pues x₁ < x₂ y por lo tanto f(x₂) > f(x₁) si f’ es positivo y f(x₂) < f(x₁) si f’ es negativo.

    Ejemplo. Encuentre los puntos críticos de f(x) = x³ – 12x – 5 e identifica donde f esta aumentando y disminuyendo.

    Para encontrar los puntos críticos debemos evaluar la derivada cuando es cero.

f(x) = x³ – 12x – 5

f’(x) = 3x² – 12 = 3(x² – 4)

f’(x) = 0 = 3(x² – 4)

3(x – 2) (x + 2) = 0

    Es cero cuando x = –2 y x = 2. Estos puntos críticos subdividen el dominio en los intervalos (–∞, –2), (–2, 2), (2, ∞). Para determinar si aumenta o disminuye debemos evaluar las regiones eligiendo un punto en ella y determinando su signo.

• –∞ < x < –2 elegimos x = –3 (esto es arbitrario)

f’ (–3) = 3(–3 + 2) (–3 – 2) = +15

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

• –2 < x < 2 elegimos x = 0

f’ (0) = 3(0 + 2) (0 – 2) = –12

como el signo es negativo esto indica que está disminuyendo.

• 2 < x < ∞ elegimos x = 3

f’ (3) = 3(3 + 2) (3 – 2) = +15

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

    De forma grafica podemos representarlo de la siguiente forma.

    Una función aumenta o disminuye sobre una región no en un punto.

Prueba de la primera derivada para extremos locales

    Si analizamos la grafica presentada arriba veremos algunas características interesantes con respecto a los valores mínimos y máximos. Estas observaciones las podemos agrupar y crear la prueba de la primera derivada para los extremos locales.

    Supongamos que c es un punto crítico de una función continua y que es diferenciable en cada punto de un intervalo que contiene c.

1.      Si f’ cambia de negativo a positivo en c entonces f tiene un mínimo local.

2.      Si f’ cambia de positivo a negativo en c entonces f tiene máximo local.

3.      Si f’ no cambia en c entonces f no tiene extremos locales en c.

    En la gráfica podemos ver que c₃ contiene un mínimo local mientras c₂ es un máximo local y los puntos c₁ y c₅ no contienen extremos locales.

    Ejemplo. Encuentra los puntos críticos de f(x) = (x² – 3) e^x. Identifica los intervalos donde esa aumentando y disminuyendo. Encuentra valores extremos y absolutos si los hay.

Primero debemos buscar su derivada.

Podemos usar la regla del producto para ello.

= 2xe^x + (x² – 3) e^x

f' (x) = (x² + 2x –3) e^x

Como e^x nunca es cero, la derivada será cero sí.  

x² + 2x – 3

factorizando

(x + 3) (x – 1) = 0

    Los puntos críticos están en x = –3 y x = 1 así que nuestro dominio se subdivide en las regiones –∞ < x < –3, –3 < x < 1 y 1 < x < ∞.

• –∞ < x < –3 elegimos x = –4 (una vez más, esto es arbitrario)

f’ (–4) = ((–4)²+2(–4) –3) e^–4 = +5e^–4

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

• –3 < x < 1 elegimos x = 0

f’ (0) = ((0)²+2(0) – 3) e⁰ = –3

como el signo es negativo esto indica que está disminuyendo.

• 1 < x < ∞ elegimos x = 2

f’ (2) = ((2)² + 2(2) – 3) e² = +5e²

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

    Si evaluamos los valores de los puntos críticos tenemos que x = 1 f (1) = –2e es el valor más pequeño que obtenemos pero x = –3 f (–3) = 6e^–3 no es el valor mas alto por lo que conocemos que tenemos un mínimo absoluto pero no un máximo absoluto.

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Geometría: Introducción

    La palabra geometría es una combinación de la palabra griega “geo-” que significa tierra y “-métrica” que significa medida. Es una de las ramas de las matemáticas más elegantes ya que trata de formas visuales que conocemos de la vida cotidiana, pero utiliza pruebas precisas.

    Aprender geometría no requiere habilidades previas como aritmética básica. Por lo tanto, la geometría es adecuada como introducción a las matemáticas para la escuela primaria y su aprendizaje es completamente lineal lo que permite que cualquier persona la aprenda en cualquier momento.

    La geometría que se estudia en el plano (aquella por la cual conocemos las diferentes figuras geómetras) se le conoce como geometría euclidiana, en honor al matemático griego Euclides quien escribió el libro más famoso de matemática y el segundo más leído en la historia.  

    Considerado el padre de la geometría debido a su gran aporte al campo con su libro “elementos” que está compuesto de 13 volúmenes, Euclides presenta la información que no se asume ser verdadera, se muestra. Empezamos desde un numero de axiomas que establecen la fundación de la geometría. Todo el material es derivado y probado consistente con los axiomas. Es esta forma única de presentar la información que hizo de su libro tan famoso. La gente no era considerada como educada si ellos no tenían conocimiento del Libro “Elementos” de Euclides por más de 2000 años después de su publicación.

    En su libro es presento cinco postulados que presentaban los conocimientos geométricos de la Grecia antigua. Los postulados de son:

1. ,Dos puntos distintos cualesquiera determinan un segmento de recta.

   

   
   

2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

   

   
   

3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

   

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

   

   
   
   

5. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

    Este ultimo postulado es menos obvio que los demás, pero cuando se intento comprobar termino creando dos nuevas geometrías: la geometría hiperbólica también conocida como geometría de Lobachevsky y la geometría elíptica también conocida como geometría de Riemann. El propósito de esto es entender los fundamentos para explorar mas complicadas formas en el futuro.

“Las leyes de la naturaleza no son más que los pensamientos matemáticos de Dios” - Euclides.

    Así como Euclides nosotros vamos a basar nuestro estudio de la geometría empezando por crear el conjunto de axiomas que servirán de base para todo el trabajo que haremos en el futuro y a medida que nuevas cosas empiecen aparecer iremos describiendo como estos axiomas juegan un papel importante.

    Empezaremos por definir conceptos importantes para la fundación de la geometría. Puntos, líneas y tipos de líneas, ángulos y tipos de ángulos, rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones así también como las herramientas usadas en geometría. También debemos tener presente el significado de la nomenclatura. Algunos de los símbolos que vamos a encontrar serán.

    Las letras elegidas son irrelevantes, lo importante es reconocer que cuando presentemos información de esta forma sepan a qué nos referimos. Empecemos con definiciones importantes.

    Los objetos mas simples en la geometría son el punto, la línea y el plano. Esta simplicidad hace que sea difícil dar una definición exacta de lo que son, pero podemos construir una basada en sus propiedades.

    Un punto se utiliza para marcar una posición en el espacio y no contiene estructura interna, no tiene tamaño. Cuando dibujamos un punto es obvio que este tiene dimensiones (tal vez al nivel de micrómetros o nanómetro) pero en realidad es solo una representación de un objeto que no tiene ninguna estructura solo representa una marca en una posición. Representamos un punto con una letra mayúscula

    Una sucesión de puntos sin espacio entre ellos nos ayuda a formar lo que es una línea. Una línea no tiene anchura y se extiende hasta el infinito por ambos lados. Por lo general se representa con dos flechas en los extremos que indican que se extiende. De un punto se pueden crear infinitas líneas en todas las direcciones. Entre dos puntos podemos crear lo que llamamos un segmento de una línea. Podemos nombrar un segmento de línea usando los nombres de los puntos con un marcador arriba que indica si es una línea o un segmento. Usamos la doble flecha (↔) para indicar que es una línea usamos una barra (-) para indicar que es un segmento de línea.

    Un plano es una superficie plana, que se extiende infinitamente. Tiene largo y ancho pero no profundidad, un espacio bidimensional. La parte superior de una mesa, un piso o una pared es parte de un plano. Podemos nombrar un plano usando cualquiera de los tres puntos que se encuentran en el plano. La idea de un plano que se extiende infinitamente es prácticamente imposible pero secciones de un plano como una hoja de papel la usamos como referencia en el día a día.

    La idea del infinito es algo más allá de lo que podemos construir sin embargo su uso es bastante importante. En geometría podemos usar escala para determinar propiedades ya que las propiedades deben mantenerse tanto en el finito como en lo infinito.

    Con esto hacemos nuestra introducción a la geometría. En la próxima publicación estaremos hablando sobre líneas. No olviden compartir y dejar sus comentarios 

Los Dominios de la Matemáticas

    Si te graduaste de la secundaria o bachiller e incluso la universidad es posible que los conceptos de matemática más complicados que lograste ver fueron trigonometría y/o calculo vectorial, a menos que eligieras una carrera más centralizada en matemáticas como ingeniería o física o matemáticas. Aunque esto es parte de una rama de las matemáticas la verdad es que esto no encierra el vasto y complicado mundo que es la matemática.

    El comienzo de las matemáticas comenzó con el concepto de contar. Esto se ha demostrado incluso en la naturaleza, donde otros animales entienden y aplican la idea. La herramienta de registro más antigua para contar era un hueso con marcas de verificación y de ahí surgió la idea de crear un sistema numérico que con aportes de todas las sociedades antiguas (egipto, india, china, persia, mesopotamia por nombrar algunos) llegó a ser lo que usamos y conocemos hoy. 

Antiguo hueso usado para contar.

sistemas numéricos de diferentes civilizaciones en el mundo antiguo

    Los reinos de la matemática se dividen en dos gigantes: Matemática pura, que es el estudio de conceptos, ideas y técnicas matemáticos, y matemática aplicada que ayuda a resolver problemas del mundo real mediante el uso de conceptos teóricos.

Subdivisiones en Matemáticas Pura

    Las matemáticas puras en su mayoría se utilizan para obtener ideas que parecen no tener ningún uso práctico hasta que alguien las encuentra y aplica como el uso de números imaginarios cuya invención se atribuye a Rafael Bombelli en 1572 pero su aplicación no vino sino hasta más tarde con la postulaciones de la dinámica de fluidos. Algunos de los conceptos más conocidos en matemáticas puras y subdivisiones son:

• Sistema numérico: aquí encontramos los diferentes grupos que conforman la idea de contar tales como números naturales, números enteros, números racionales, reales y complejos, cuaterniones, cardinales, octoniones, etc.

Divisiones y clasificaciones de los números

• Estructuras: cuando tomamos números y los ponemos en ecuaciones como álgebra, vectores y matrices.

• La teoría de números: contiene ideas sobre cómo trabajar con el sistema numérico, como la combinatoria (creación de gráficos y árboles), la teoría de grupos (como cubo rubik, y las permutación) y la teoría de órdenes.

    Estos tres a su vez se entrelazan entre si creando ramas de la matemática como álgebra lineal.

• Formas y espacios: aquí tenemos la geometría, la trigonometría, geometría fractal (patrones con invariante de escala), topología (como la banda Möbius), geometría diferencial (donde estudiamos formas en superficies curvas).

Banda Möbius 

• Cambios: cálculos (diferenciales e integrales), cálculo vectorial (lo mismo que cálculos pero aplicada a vectores), sistema dinámico (sistemas que evolucionan en tiempo como sistemas de fluidos), teoría del caos (que dependen y son muy sensibles a las condiciones iniciales) y análisis complejo que trabaja con las propiedad de funciones con números complejos.

Subdivisiones en Matemáticas Aplicadas.

    Aquí las relaciones están más conectadas y no existe una línea divisoria exacta entre muchas de las que existen. Cada una de las subdivisiones es una carrera en si pero a la vez también sirve de soporte para otras.

• Matemáticas en otras ciencias: fisica matematica o fisica teórica, quimica matematica  que busca explicar y crear modelo de moléculas y biomatemática que se aplica en modelo de biología evolutiva y recientemente es usado en la exploración de patrones en hojas como el abre y cierre de estomas.
• Ingeniería: Las cosas de construcción de ingeniería requieren muchas matemáticas utilizando principalmente teoría de control.
• Análisis numérico: cuando las matemáticas son demasiado complejas para resolver analíticamente usamos aproximación y prueba y error.
• Teoría de juegos: estudia ¿cuál es la mejor opción dado un conjunto de reglas? Como en la economía, y psicología.
• Probabilidad: Estudia eventos aleatorios mientras que la estadística estudia grande colecciones de procesos aleatorios organizados en data, usado ampliamente and matematica financiera.

Probabilidades son muy utilizadas en juegos de azar en casinos.

• Optimización: trata de calcular la mejor opción dada un conjunto de opciones y limitaciones. Es algo que aplicamos en el dia a dia cuando buscamos el mejor producto o el mejor precio a pagar.
• Ciencias de la computación: como aprendizaje automático, programación.

Los avances de la computadora se deben a los desarrollos en programación.

•  Criptografía: usa idea de combinatoria y teoría de números para crear códigos difícil de resolver. Es usado en la creación de contraseñas y nuevos lenguaje de programación.

    Una nueva rama de estudios se centra en los fundamentos de las matemáticas. Estudia las reglas fundamentales de las matemáticas como axiomas. la teoría de conjuntos y la lógica matemática aparecen aquí. Los problemas sin resolver en matemáticas pertenecen a esta rama. Teoría de la complejidad y teoría de la  estudian qué se puede y qué no se puede calcular y cuánto tiempo lleva. Esta se utiliza en la creación de sistemas más viable como la creación de computadoras cuánticas. Conocer sus límites y viabilidad para  ver si una computadora cuántica seria superior a una supercomputadora en términos de tiempo y calculaciones.

    Estas son las divisiones principales de la matemática. Cuántas de estas ramas conoces y dominas? Cual de estos dominios estás interesado en aprender? Quisiera ver su opinión en los comentarios. En nuestra próxima publicación estaremos brindando las respuestas a los problemas de la derivadas.