Aplicaciones de la Derivada: valores extremos absolutos y locales

    Estamos de vuelta con nuestro tema de cálculos. En esta ocasión vamos a tratar sobre las aplicaciones de la derivada. Esta sección estará dividida en cinco publicaciones que están entrelazadas. Cada sección hablara sobre una aplicación diferente y como estas se enlazan entre sí y su importancia. Nuestra primera sección trata sobre valores extremos absolutos y locales.

    Una de las aplicaciones de la derivada es la de encontrar valores extremos, sean estos mínimos o máximos. Un valor extremo es aquel donde una función o la gráfica de una función cambia de dirección creando así un valle o un pico en el caso de un valor máximo es un pico mientras en el caso de un mínimo crea un valle.

• Sea ƒ una función con dominio D. entonces ƒ tiene un valor máximo absoluto en D en el punto c si

para todas x en D

Y un valor mínimo absoluto si 

para todas x en D.

    Para darles una mejor idea de lo que son los valores extremos veamos nuestra confiable función ƒ(x) = x² sobre diferentes intervalos.

Función	Dominio	Extremos Absoluto
ƒ(x) = x2	(-∞,∞)	no máximo absoluto
		mínimo absoluto 0 cuando x = 0
	[0,2]	máximo absoluto 4 cuando x = 2
		mínimo absoluto 0 cuando x = 0
	(0,2]	máximo absoluto 4 cuando x = 2
		no mínimo absoluto
	(0,2)	no extremos absolutos

    Como podemos ver en algunos casos no tiene valor máximo ni mínimo, solo en los casos de un intervalo cerrado donde la función es continua podemos encontrar un valor máximo absoluto y mínimo absoluto. Esta noción nos permite crear el siguiente teorema.

    Si ƒ es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces ƒ alcanza ambos un máximo absoluto M y un mínimo absoluto m en [a, b] y m ≤ ƒ(x) ≤ M para cada otra x en [a, b].

    Pero no solo podemos encontrar valores máximos y mínimos absolutos, sino también locales, es decir regiones que crean un valle o un pico pero no son extremos absolutos. De hecho una lista de todos los máximos y mínimos locales incluirá los valores absolutos si estos existen.

    Si ƒ tiene un local máximo o mínimo en un punto interior c de su dominio y ƒ’ es definido en c, entonces

Nota: La prueba de este teorema esta al final de la publicación. Si deseas verla puedes saltar al final de la publicación y luego regresar a esta sección.

    El teorema dice que la primera derivada de una función es siempre cero en un punto interior donde la función tiene un valor extremo local y la derivada está definida. Por lo tanto, los únicos lugares donde una función ƒ puede tener un valor extremo (local o global) son

• puntos interiores donde ƒ' = 0.
• puntos interiores donde ƒ' es indefinido.
• puntos finales del dominio de ƒ.

    Ejemplo. Encuentra el valor máximo, mínimo y locales de la función f(x) = x² en el intervalo [-2, 1].

    Como ya describimos los extremos son posibles candidatos, ahora debemos ver si existe algún punto en el dominio. Para ello usamos su derivada y la evaluamos en cero. El valor que encontramos es x = 0 ese es un punto crítico. Ahora la podemos evaluar

ƒ’(x) = 2x = 0

x = 0

ƒ (0) = (0)² = 0

ƒ (-2) = (-2)² = 4

ƒ (1) = (1)² = 1

    Basado en los resultados decimos que ƒ(x) = x² tiene un valor máximo absoluto 4 en x = - 2 y un valor mínimo absoluto de 0 en x = 0 en el intervalo dado.

Ejemplo. Evalúa   

    Los puntos críticos son x = 1 y x = 0, pero cero esta fuera del rango así que solo contaremos el valor de x = 1

    De estos resultados podemos deducir que su valor máximo ocurre x = 4 y su valor mínimo cuando x = 1 mientras que cuando x = 0.5 es un punto crítico (un máximo local).

    Existen numerosas aplicaciones prácticas en las que se desea encontrar el valor máximo o mínimo de una determinada cantidad. Estas aplicaciones existen en economía, negocios e ingeniería. Por ejemplo, la forma de una botella de agua o cualquier otro recipiente es fácilmente determinado minimizando la cantidad de material necesario para fabricarlo así se ahorra costo de producción. El diseño de los sistemas de tuberías en las ciudades a menudo minimiza la caída de presión, lo que a su vez minimiza los tamaños de bomba requeridos y reduce los costos. Las formas de las vigas de acero se basan en maximizar la resistencia por lo que las formas que son utilizadas son casi siempre las mismas.

    En nuestro próximo tema estaremos tratando el teorema del valor medio. Aquí esta la prueba del teorema.

Prueba que f(c) es cero en un extremo local.

    Supongamos que ƒ tiene un valor máximo local en x = c así que ƒ(x) – ƒ(c) ≤ 0 para todos los valores de x cerca del valor c. Como c es in punto interior del dominio de ƒ, su derivada esta definida por el límite de los dos lados. 

    Esto implica que el límite del lado derecho como del lado izquierdo deben existir cuando x = c e igualmente ƒ’(c). Sí examinamos estos límites separados veremos que

    Es el lado derecho, por lo tanto (x – c) > 0 y ƒ(x) ≤ ƒ(c).

    Es el lado izquierdo, por lo tanto (x – c) < 0 y ƒ(x) ≥ ƒ(c).

    Las ecuaciones juntas implican que ƒ’(c) = 0 porque ƒ’(c) no puede ser positivo y negativo al mismo tiempo. El único número que no es ni positivo ni negativo es cero, así que eso es lo que debe ser. 

Ahora pueden seguirnos y contactarnos a través de Facebook, Twitter y correo electrónico.

 

• Facebook: https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJMD
• Twitter: @JMDciencias
• Correo: institutodecienciasjmd@hotmail.com

 

También pueden seguir nuestro otro blog si les interesa aprender sobre el interesante mundo de la física. 

 

• Facebook: https://www.facebook.com/JMDFisica
• Blogger: jmdfisica.blogspot.com