El Teorema fundamental del cálculo es un teorema que conecta la integración y la diferenciación, lo que nos permite calcular integrales utilizando una antiderivada de la función del integrando en lugar de tomar los límites de las sumas de Riemann.
Este teorema se
compone de dos partes: la primera parte implica la existencia de antiderivadas
para funciones continuas, mientras que la segunda parte nos permite encontrar
antiderivadas por integración simbólica evitando la integración numérica.
Tomar los límites
de las sumas de Riemann es un proceso largo y, dependiendo de la función, puede
volverse muy difícil de calcular, por lo que fue necesario desarrollar un
método más poderoso para evaluar integrales definidas. Este nuevo método se
basará en el uso de antiderivadas. Este método combina las dos posiciones del
cálculo que hemos estudiado hasta ahora (tomando los límites de sumas finitas
para obtener una integral definida y el uso de derivadas y antiderivadas).
Parte
1
Si f(t) es una función integrable en un intervalo finito I, entonces la integral f en cualquier número fijo x ∈ I a otro número a ∈ I define una nueva función F cuyo valor en x es
(las funciones f(x)
y F(x) son diferentes).
La importancia de
esta nueva función radica en la conexión que hace entre integrales y derivadas.
Veamos la
geometría detrás de esto para ver cómo se mantiene este resultado.
Sea f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces F'(x)
se puede calcular usando la definición de la derivada y tomando el límite como h
à 0 del cociente de diferencias.
Si h es
pequeña, esta área es aproximadamente igual al área del rectángulo de altura f(x)
y ancho h.
Dividiendo ambos
lados por h à 0 obtenemos.
Este resultado
forma la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.
- Si f es continua en [a, b],
entonces
es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es f(x).
Básicamente, el
teorema nos dice que, si F es la antiderivada de f, entonces la
derivada de F es igual a f porque la derivada de la antiderivada
te dará la función original. podemos comprobar esto utilizando el conocimiento
que hemos recopilado hasta ahora. Comencemos usando la definición de derivada.
Esto podemos
reescribirlo usando la propiedad de aditividad que vimos en la publicación
pasada.
Según el teorema
del valor medio, el valor antes de tomar el límite es uno de los valores que
toma f entre x y x+h, es decir, para algún número c
en este intervalo.
Cuando h à 0, x+h se aproxima a x
forzando a c a aproximarse también a x (porque c está
atrapada entre x y x+h).
En conclusión.
Esto es cierto
incluso para x = a o b, ya que se convierte en un límite
unilateral con h à o+ o h à o- respectivamente. Veamos algunos
ejemplos.
Usando el teorema fundamental del cálculo para encontrar dy/dx.
Este primer
ejemplo es muy simple ya que esta formulado directamente como lo indica el
teorema así que solo hacemos una sustitución de variable t por x
en la función.
Este ejemplo
tiene algo diferente y es que los valores de la integración están invertidos
así que debemos colocarlos en el orden parecido al presentado en el teorema.
Para ello podemos utilizar propiedad de integración que vimos en la publicación
pasada.
Este ejemplo es
muy diferente a los dos previos ya que tenemos que el límite de integración no
es x sino x2 haciendo que y sea una
función compuesta de las dos variables. Para resolver esto debemos usar
sustitución y la regla en cadena de la derivación.
Sustituimos
x2 = u à du/dx = 2x
.
En este ultimo
ejemplo debemos aplicar todas las diferentes variedades que utilizamos en los
ejemplos anteriores. Empecemos reorganizando los puntos extremos de la integral.
Ahora aplicamos
sustitución. v = 2+3x2 à dv/dx = 6x
.
Parte
2
La segunda parte
del teorema describe cómo evaluar integrales definidas utilizando antiderivadas
en los límites superior e inferior en lugar de calcular los límites de las
sumas de Riemann.
- Si f es continua en todo punto en [a, b] y F es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces.
El teorema de
evaluación es importante porque nos dice que para calcular la integral definida
necesitamos hacer dos cosas:
- Encuentre una antiderivada de la función.
- Evalúe la antiderivada en los extremos (a, b)
de modo que el número F(b) - F(a) sea igual
.
Este proceso es
mucho más fácil que usar el cálculo de sumas de Riemann. La notación usual para
la diferencia F(b) - F(a) es.
Dependiendo del
número de términos que tenga F. Veamos algunos ejemplos.
Usando la parte 2
del teorema fundamental del cálculo evalué las siguientes integrales.
Nuestro
primer ejemplo es simple, y para encontrar su antiderivada podemos usar la
tabla de reglas de la publicación de antiderivadas para obtener lo siguiente.
Es importante
estar atento a los signos. La mayoría de los errores en matemáticas son
asociados a estos pues nos sentidos tan cómodos con ellos que fácilmente los
omitimos y cometemos errores.
Esta función se ve
un poco intimidante, pero usando nuestras propiedades podemos dividirlas en
partes y hacer que su cálculo mucho más fácil.
Ahora tenemos dos
integrales donde la primera es bastante simple de computar mientras que en la
segunda podemos usar una de las propiedades trigonométricas para resolver una
función mas simple o puedo sustituir la variable por una mas simple.
Sea x = 2t à dx = 2 dt. Así que dt = ½
dx.
Empecemos
simplificando la expresión.
Elegí
representarlo de esta forma para que se haga obvio como calcular la
antiderivada.
Como se puede ver
si trabajamos con antiderivadas el problema de integración se resuelve en unas
cuantas líneas de computación haciendo del problema algo más fácil de manejar. En
la próxima publicación voy a expandir el método de sustitución al igual que las
integrales indefinidas. También estaré tocando las funciones inversas
trigonométricas para ver como son representadas en una derivada y una integral.
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