Aprende Matemáticas JMD: prueba de la derivada

A la hora de hacer la gráfica de una función en algebra nos han enseñado a usar diferentes valores de x para encontrar suficientes valores de y que nos permitan crear una gráfica a partir de la unión de los puntos o simplemente memorizar la forma de la gráfica, sin embargo existe un método más simple y consistente para crear graficas e incluso aprender información adicional sobre la gráfica.

Uno de los aspectos importantes a conocer en una grafica es ver donde la grafica cambia (aumenta o disminuye). Con excepción de la grafica de la pendiente, las graficas por lo general tienen este patrón de incremento (de izquierda a derecha) o disminución (de izquierda a derecha) en un intervalo. Este tipo de funciones son llamadas funciones monótonas y existe un tercer corolario del teorema del valor medio que nos permite identificar estas propiedades.

Supongamos que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Si f’(x) > 0 en cada punto x en (a, b), entonces f esta aumentado en [a, b]; si f’(x) < 0 en cada punto x (a, b), entonces f está disminuyendo.

Para recordarles, cuando usamos la expresión f’(x) nos referimos a la derivada de la función $\frac{{df}}{{dx}}$ .

Para comprobar esto elegimos dos puntos x₁ y x₂ en [a, b] con x₁ y x₂ y aplicando el teorema del valor medio tenemos que

Se puede reescribir como

Para un arbitrario valor c entre x₁ y x₂. El signo del lado derecho es determinado por f’(c) ya que x₂ – x₁ es positivo pues x₁ < x₂ y por lo tanto f(x₂) > f(x₁) si f’ es positivo y f(x₂) < f(x₁) si f’ es negativo.

Ejemplo. Encuentre los puntos críticos de f(x) = x³ – 12x – 5 e identifica donde f esta aumentando y disminuyendo.

Para encontrar los puntos críticos debemos evaluar la derivada cuando es cero.

f(x) = x³ – 12x – 5

f’(x) = 3x² – 12 = 3(x² – 4)

f’(x) = 0 = 3(x² – 4)

3(x – 2) (x + 2) = 0

Es cero cuando x = –2 y x = 2. Estos puntos críticos subdividen el dominio en los intervalos (–∞, –2), (–2, 2), (2, ∞). Para determinar si aumenta o disminuye debemos evaluar las regiones eligiendo un punto en ella y determinando su signo.

–∞ < x < –2 elegimos x = –3 (esto es arbitrario)

f’ (–3) = 3(–3 + 2) (–3 – 2) = +15

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

–2 < x < 2 elegimos x = 0

f’ (0) = 3(0 + 2) (0 – 2) = –12

como el signo es negativo esto indica que está disminuyendo.

2 < x < ∞ elegimos x = 3

f’ (3) = 3(3 + 2) (3 – 2) = +15

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

De forma grafica podemos representarlo de la siguiente forma.

Una función aumenta o disminuye sobre una región no en un punto.

Prueba de la primera derivada para extremos locales

Si analizamos la grafica presentada arriba veremos algunas características interesantes con respecto a los valores mínimos y máximos. Estas observaciones las podemos agrupar y crear la prueba de la primera derivada para los extremos locales.

Supongamos que c es un punto crítico de una función continua y que es diferenciable en cada punto de un intervalo que contiene c.

1. Si f’ cambia de negativo a positivo en c entonces f tiene un mínimo local.

2. Si f’ cambia de positivo a negativo en c entonces f tiene máximo local.

3. Si f’ no cambia en c entonces f no tiene extremos locales en c.

En la gráfica podemos ver que c₃ contiene un mínimo local mientras c₂ es un máximo local y los puntos c₁ y c₅ no contienen extremos locales.

Ejemplo. Encuentra los puntos críticos de f(x) = (x² – 3) e^x. Identifica los intervalos donde esa aumentando y disminuyendo. Encuentra valores extremos y absolutos si los hay.

Primero debemos buscar su derivada.

Podemos usar la regla del producto para ello.

= 2xe^x + (x² – 3) e^x

f' (x) = (x² + 2x –3) e^x

Como e^x nunca es cero, la derivada será cero sí.

x² + 2x – 3

factorizando

(x + 3) (x – 1) = 0

Los puntos críticos están en x = –3 y x = 1 así que nuestro dominio se subdivide en las regiones –∞ < x < –3, –3 < x < 1 y 1 < x < ∞.

–∞ < x < –3 elegimos x = –4 (una vez más, esto es arbitrario)

f’ (–4) = ((–4)²+2(–4) –3) e^–4 = +5e^–4

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

–3 < x < 1 elegimos x = 0

f’ (0) = ((0)²+2(0) – 3) e⁰ = –3

como el signo es negativo esto indica que está disminuyendo.

1 < x < ∞ elegimos x = 2

f’ (2) = ((2)²+ 2(2) – 3) e² = +5e²

como el signo es positivo esto indica que está aumentando.

Si evaluamos los valores de los puntos críticos tenemos que x = 1 f (1) = –2e es el valor más pequeño que obtenemos pero x = –3 f (–3) = 6e^–3 no es el valor mas alto por lo que conocemos que tenemos un mínimo absoluto pero no un máximo absoluto.