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sábado, 7 de enero de 2023

Aplicación de la Integral Definida: Secciones Transversales

Una función continua sobre un intervalo cerrado tiene una integral definida. Esta integral se puede evaluar utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo como vimos y demostramos en publicaciones anteriores. También demostramos que el área bajo una curva y el área entre dos curvas se pueden calcular usando integrales definidas. Ahora queremos extender el uso de integrales definidas para encontrar volúmenes, longitudes de curvas planas, áreas de superficies y, si es posible, ver su aplicación en algunas áreas de la física, como el trabajo realizado por una fuerza o la ubicación del centro de masa de un objeto. Todos estos procesos implican una aproximación por una suma de Riemann que al tomar el límite de esta se convierte en una integral definida.

Hallar volúmenes usando integrales y secciones transversales

El volumen es una medida tridimensional. Al multiplicar la altura, el ancho y la longitud, generalmente encontramos el volumen de una figura geométrica. Por el contrario, el área es bidimensional ocupando normalmente el largo y el ancho. Supongamos que queremos encontrar el volumen de un sólido S. Comenzamos extendiendo la definición de un cilindro de la geometría clásica a un sólido cilíndrico con bases arbitrarias. Si el cilindro sólido tiene un área base conocida A y una altura h, entonces el volumen es

Volumen = área x altura = A∙h

El área de la base se puede obtener mediante una sección transversal. Una sección transversal de un sólido es la región plana formada por la intersección del sólido con un plano (Figura 1). En esta publicación examinaremos tres métodos diferentes para obtener una sección transversal: el método de rebanado, el método del disco y el método de la arandela.

Figura 1. Plano cortando un cilindro creando asi una secion transversal.

Si la sección transversal del sólido S en cada punto x en el intervalo [a, b] es una región S(x) de área A(x), y A es una función continua de x, podemos definir y calcular el volumen del sólido como la integral definida de A(x).

Figura 2. 
Método de corte

En este método básicamente tomamos el intervalo y lo dividimos en subintervalos de ancho ∆xk y cortamos el sólido como lo haríamos con una barra de pan por planos perpendiculares al eje x En los puntos a = x0 < x1 <… < xn = b. los planos cortan el sólido S en losas delgadas, aproximamos la losa entre el plano en xk-1 y el plano en xk por un sólido cilíndrico con área de base A(xk) y altura determinada por la distancia ∆xk = xk – xk–1. El volumen Vk es A(xk)∙∆xk el cual se aproxima al volumen de esa losa:

Volumen de la k-ésima losa = Vk ≈ A(xk)∆xk.

El volumen de todo el sólido se aproxima sumando todas las losas.

Figura 3.

Esta es una suma de Riemann para la función A(x) en [a, b]. ahora como tomamos el límite de las particiones de [a, b] que van a cero, tomamos el límite para encontrar su integral definida.

  • El volumen de un sólido de área transversal integrable A(x) desde x = a hasta x = b es la integral de A desde a hasta b.
(1)

Para calcular el volumen de un sólido seguimos los siguientes pasos.

  • Paso 1. Dibuje el sólido y una sección transversal típica. Si es posible graficar, hágalo ya que le dará una idea clara de lo que está calculando y cuáles serán los límites.
  • Paso 2. Encuentra una fórmula del área de la sección transversal A(x). por lo general, las fórmulas para la sección transversal serán similares a las de un gráfico bidimensional. Si el sólido es muy complicado, podría dividirse en secciones más pequeñas para facilitar el cálculo de sus fórmulas.
  • Paso 3. Encuentra los límites de integración. Esto se especificará o se encontrará como los puntos finales del sólido a lo largo del eje.
  • Paso 4. Integre A(x) para encontrar el volumen. La función que integraremos es la que encontramos en la sección transversal. Este será el valor de A(x).

Ejemplo 1. Una pirámide de 5 m de altura tiene una base cuadrada de 3 m de lado. La sección transversal de la pirámide perpendicular a la altura x m desde el vértice es un cuadrado x m de lado. m significa metros, encuentra el volumen de la pirámide.

Paso 1. El enunciado nos dice que nuestro sólido será una pirámide y la sección transversal nos dice que su base será un cuadrado, entonces dibujamos su altura a lo largo del eje x y su vértice en el origen.

Figura 4. Piramide con base cuadrada alineada con el eje x.

Paso 2. La sección transversal es un cuadrado con un valor de x metros de lado por lo que su área es

A(x) = x2

Paso 3. Los límites de las integraciones están determinados por los extremos a lo largo del eje x. Dado que la altura de la pirámide se alineó arbitrariamente con el eje x, la longitud de la altura servirá como nuestros límites (esto no fue una coincidencia, se eligió deliberadamente de esa manera para simplificar los cálculos), por lo que los límites son de x = 0 a x = 5.

Paso 4. Pongamos todo junto en una buena expresión y calculemos el volumen.

El método del disco

Algunos sólidos se generan al rotar una región plana alrededor de un eje. Este método para calcular el volumen se llama método del disco porque la sección transversal es un disco circular de radio R(x), la distancia del límite de la región plana desde el eje de revolución es el área de la sección transversal. este dado por

A(x) = π(radius)2 = π[R(x)]2

Porque es una revolución. Entonces, la definición de volumen en este caso

(2)

Ejemplo 2. Encuentra el volumen de la región entre la curva y = √x, 0 ≤ x ≤ 4 y gira alrededor del eje x.

Si creamos un gráfico de la función y = √x y luego giramos alrededor del eje x obtenemos el siguiente gráfico.

Figura 5.

Aplicando nuestra fórmula, encontramos el volumen de la región.

Este método para calcular el volumen de un sólido de revolución a menudo se denomina método del disco porque la sección transversal es un disco circular de radio R(x).

Rotación sobre el eje y

Incluso cuando el eje de rotación es diferente, las reglas para encontrar el volumen son las mismas, solo necesitamos ajustar la función acorde.

(3)

Ejemplo 3. Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región entre el eje y y la curva xy = 2, 1 ≤ y ≤ 4, alrededor del eje y.

Dado que el problema nos pide que giremos el sólido alrededor del eje y, debemos definir nuestra función con y como una variable independiente, por lo que obtenemos x = 2/y. ahora podemos crear un gráfico para esta función.

Figura 6.


Esta será la región que usaremos, y los límites de integración se especificaron en la declaración. Poniendo todo junto obtenemos.

El método de arandela

Una arandela es una placa delgada (típicamente en forma de disco, pero a veces cuadrada) con un agujero (típicamente en el medio), por lo tanto, si la región que agitamos para generar un sólido no bordea o cruza el eje, crea un agujero en el sólido. La sección transversal perpendicular al eje de revolución serán arandelas en lugar de discos. Las dimensiones de una arandela están determinadas por un radio interior r(x) y un radio exterior R(x). ya que es una revolución su área está determinada por una fórmula similar a la del disco.

A= π (radio exterior2 – radio interior2) = π[R(x)]2 – π[r(x)]2 = π(R2 – r2)

En consecuencia, su volumen es.

(4)

Ejemplo 4. La región delimitada por la curva y = x2 + 1 y la línea y = – x +3 se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Encuentre el volumen del sólido.

Nos dan dos funciones y nos piden encontrar el volumen del sólido que se produce al girar la función sobre el eje x. Para estos casos, es una buena idea empezar dibujando las funciones para averiguar cómo se verá el sólido. Además, para ver cuál será el radio interior y exterior y los límites de las integraciones.

Encontramos los límites de integración al encontrar las coordenadas x de los puntos de intersección de la curva y la línea en el gráfico, matemáticamente al igualar ambas funciones entre sí.

Ahora que tenemos toda la información que necesitamos, todo lo que queda es calcular el volumen. 

En la próxima publicación tratará de más ejemplos de secciones transversales.

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lunes, 19 de septiembre de 2022

Funciones Logarítmicas

    Sabemos que en matemáticas tenemos 2 clases de logaritmos: el logaritmo común y el logaritmo natural. El logaritmo natural, representado como ln, tiene como base la constante de Euler e con un valor aproximado de 2.718281828459. El logaritmo común, representado como log, tiene una base generalmente de 10 pero puede ser cualquier número. Aunque sus bases difieren, sus propiedades se mantienen.

Log(A∙B) = log(A) + Log(B)

Ln(A∙B) = ln(A) + Ln(B)

    Por ahora, mi preocupación está asociada con esto. Sus propiedades se aplican de la misma manera y, por lo tanto, las siguientes propiedades para explorar afectan ambos logaritmos por igual, pero para mi cordura y simplicidad usaré el logaritmo natural en lugar del logaritmo común.

    La función ex es una función exponencial general cuya gráfica tiene una pendiente 1 cuando cruza el eje x. Su función inversa se llama logaritmo natural. El valor de este logaritmos se puede expresar como una integral de la forma.

    Del teorema fundamental del cálculo, ln x es una función continua, analizando de la geometría ln x es el área bajo la curva y =1/t si x > 1 de t = 1 a t = x. si x ≤ 0 la función no está definida y para 0 < x < 1 el área bajo la curva es negativa.
    Por la primera parte del teorema fundamental del cálculo.

    Si u es una función diferenciable de x, podemos aplicar la regla de la cadena.

    Si ln |x| para x ≠ 0, entonces.

    Lo que significa que dada una función diferenciable u que nunca es cero.
Ejemplo.

    Sea u = 3 + 2 sin θ; du = 2 cos θ dθ, y cuando u(π/2) = 5; u(-π/2) = 1

    ¿Cuál es la integral de tan x?

    Sea u = cos x; du = - sin x dx


Logaritmo con base a
    Para cualquier número positivo a ≠ 1 el logaritmo de x con base a se denota por  {\log _a}\,x es la inversa de la función exponencial ax tal que

    La función {\log _a}\,x es simplemente un múltiplo numérico de ln x.
    Con esto podemos concluir.
    Hallar derivadas o integrales que involucren base a logaritmo. Los convertimos a logaritmo natural. Si u es una función diferenciable de x.
Ejemplo.  \frac{d}{{dx}}{\log _{10}}\left( {3x + 1} \right).

    Sea u = 3x + 1 y a = 10


    Reescribir la función


    Sea u = ln x; du = 1/x

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martes, 12 de abril de 2022

Teorema Fundamental del Calculo

    El Teorema fundamental del cálculo es un teorema que conecta la integración y la diferenciación, lo que nos permite calcular integrales utilizando una antiderivada de la función del integrando en lugar de tomar los límites de las sumas de Riemann.

    Este teorema se compone de dos partes: la primera parte implica la existencia de antiderivadas para funciones continuas, mientras que la segunda parte nos permite encontrar antiderivadas por integración simbólica evitando la integración numérica.

    Tomar los límites de las sumas de Riemann es un proceso largo y, dependiendo de la función, puede volverse muy difícil de calcular, por lo que fue necesario desarrollar un método más poderoso para evaluar integrales definidas. Este nuevo método se basará en el uso de antiderivadas. Este método combina las dos posiciones del cálculo que hemos estudiado hasta ahora (tomando los límites de sumas finitas para obtener una integral definida y el uso de derivadas y antiderivadas).

Parte 1

    Si f(t) es una función integrable en un intervalo finito I, entonces la integral f en cualquier número fijo x I a otro número a I define una nueva función F cuyo valor en x es

(1)

(las funciones f(x) y F(x) son diferentes).

    La importancia de esta nueva función radica en la conexión que hace entre integrales y derivadas.

    Veamos la geometría detrás de esto para ver cómo se mantiene este resultado.

    Sea f(x) 0 en [a, b], entonces F'(x) se puede calcular usando la definición de la derivada y tomando el límite como h à 0 del cociente de diferencias.

    Si h es pequeña, esta área es aproximadamente igual al área del rectángulo de altura f(x) y ancho h.

Dividiendo ambos lados por h à 0 obtenemos.

    Este resultado forma la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

  • Si f es continua en [a, b], entonces F(x) = \int\limits_a^x {f(t)} dt es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es f(x). 
(2)

    Básicamente, el teorema nos dice que, si F es la antiderivada de f, entonces la derivada de F es igual a f porque la derivada de la antiderivada te dará la función original. podemos comprobar esto utilizando el conocimiento que hemos recopilado hasta ahora. Comencemos usando la definición de derivada.

    Esto podemos reescribirlo usando la propiedad de aditividad que vimos en la publicación pasada.

    Según el teorema del valor medio, el valor antes de tomar el límite es uno de los valores que toma f entre x y x+h, es decir, para algún número c en este intervalo.

    Cuando h à 0, x+h se aproxima a x forzando a c a aproximarse también a x (porque c está atrapada entre x y x+h).

En conclusión.

    Esto es cierto incluso para x = a o b, ya que se convierte en un límite unilateral con h à o+ o h à o- respectivamente. Veamos algunos ejemplos.

    Usando el teorema fundamental del cálculo para encontrar dy/dx.

    Este primer ejemplo es muy simple ya que esta formulado directamente como lo indica el teorema así que solo hacemos una sustitución de variable t por x en la función.

    Este ejemplo tiene algo diferente y es que los valores de la integración están invertidos así que debemos colocarlos en el orden parecido al presentado en el teorema. Para ello podemos utilizar propiedad de integración que vimos en la publicación pasada.


    Este ejemplo es muy diferente a los dos previos ya que tenemos que el límite de integración no es x sino x2 haciendo que y sea una función compuesta de las dos variables. Para resolver esto debemos usar sustitución y la regla en cadena de la derivación.

Sustituimos x2 = u à du/dx = 2x

Aplicamos la regla en cadena  \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}.


    En este ultimo ejemplo debemos aplicar todas las diferentes variedades que utilizamos en los ejemplos anteriores. Empecemos reorganizando los puntos extremos de la integral.

Ahora aplicamos sustitución. v = 2+3x2 à dv/dx = 6x

Finalmente aplicamos la regla en cadena  \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} \cdot \frac{{dv}}{{dx}}.


Parte 2

    La segunda parte del teorema describe cómo evaluar integrales definidas utilizando antiderivadas en los límites superior e inferior en lugar de calcular los límites de las sumas de Riemann.

  • Si f es continua en todo punto en [a, b] y F es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces.

(3)

    El teorema de evaluación es importante porque nos dice que para calcular la integral definida necesitamos hacer dos cosas:

  1. Encuentre una antiderivada de la función.
  2. Evalúe la antiderivada en los extremos (a, b) de modo que el número F(b) - F(a) sea igual \int\limits_a^b {f(x)} dx.

    Este proceso es mucho más fácil que usar el cálculo de sumas de Riemann. La notación usual para la diferencia F(b) - F(a) es.

    Dependiendo del número de términos que tenga F. Veamos algunos ejemplos.

    Usando la parte 2 del teorema fundamental del cálculo evalué las siguientes integrales.

    Nuestro primer ejemplo es simple, y para encontrar su antiderivada podemos usar la tabla de reglas de la publicación de antiderivadas para obtener lo siguiente.

    Es importante estar atento a los signos. La mayoría de los errores en matemáticas son asociados a estos pues nos sentidos tan cómodos con ellos que fácilmente los omitimos y cometemos errores.

    Esta función se ve un poco intimidante, pero usando nuestras propiedades podemos dividirlas en partes y hacer que su cálculo mucho más fácil.

    Ahora tenemos dos integrales donde la primera es bastante simple de computar mientras que en la segunda podemos usar una de las propiedades trigonométricas para resolver una función mas simple o puedo sustituir la variable por una mas simple.

Sea x = 2t à dx = 2 dt. Así que dt = ½ dx.

Empecemos simplificando la expresión.

    Elegí representarlo de esta forma para que se haga obvio como calcular la antiderivada.

    Como se puede ver si trabajamos con antiderivadas el problema de integración se resuelve en unas cuantas líneas de computación haciendo del problema algo más fácil de manejar. En la próxima publicación voy a expandir el método de sustitución al igual que las integrales indefinidas. También estaré tocando las funciones inversas trigonométricas para ver como son representadas en una derivada y una integral.

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