Aprende Matemáticas JMD: secciones transversales

Una función continua sobre un intervalo cerrado tiene una integral definida. Esta integral se puede evaluar utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo como vimos y demostramos en publicaciones anteriores. También demostramos que el área bajo una curva y el área entre dos curvas se pueden calcular usando integrales definidas. Ahora queremos extender el uso de integrales definidas para encontrar volúmenes, longitudes de curvas planas, áreas de superficies y, si es posible, ver su aplicación en algunas áreas de la física, como el trabajo realizado por una fuerza o la ubicación del centro de masa de un objeto. Todos estos procesos implican una aproximación por una suma de Riemann que al tomar el límite de esta se convierte en una integral definida.

Hallar volúmenes usando integrales y secciones transversales

El volumen es una medida tridimensional. Al multiplicar la altura, el ancho y la longitud, generalmente encontramos el volumen de una figura geométrica. Por el contrario, el área es bidimensional ocupando normalmente el largo y el ancho. Supongamos que queremos encontrar el volumen de un sólido S. Comenzamos extendiendo la definición de un cilindro de la geometría clásica a un sólido cilíndrico con bases arbitrarias. Si el cilindro sólido tiene un área base conocida A y una altura h, entonces el volumen es

Volumen = área x altura = A∙h

El área de la base se puede obtener mediante una sección transversal. Una sección transversal de un sólido es la región plana formada por la intersección del sólido con un plano (Figura 1). En esta publicación examinaremos tres métodos diferentes para obtener una sección transversal: el método de rebanado, el método del disco y el método de la arandela.

Figura 1. Plano cortando un cilindro creando asi una secion transversal.

Si la sección transversal del sólido S en cada punto x en el intervalo [a, b] es una región S(x) de área A(x), y A es una función continua de x, podemos definir y calcular el volumen del sólido como la integral definida de A(x).

Figura 2.

Método de corte

En este método básicamente tomamos el intervalo y lo dividimos en subintervalos de ancho ∆x_k y cortamos el sólido como lo haríamos con una barra de pan por planos perpendiculares al eje x En los puntos a = x₀ < x₁ <… < x_n = b. los planos cortan el sólido S en losas delgadas, aproximamos la losa entre el plano en x_k-1 y el plano en x_k por un sólido cilíndrico con área de base A(x_k) y altura determinada por la distancia ∆xk = x_k – x_k–1. El volumen V_k es A(x_k)∙∆x_k el cual se aproxima al volumen de esa losa:

Volumen de la k-ésima losa = V_k ≈ A(x_k)∆x_k.

El volumen de todo el sólido se aproxima sumando todas las losas.

Figura 3.

Esta es una suma de Riemann para la función A(x) en [a, b]. ahora como tomamos el límite de las particiones de [a, b] que van a cero, tomamos el límite para encontrar su integral definida.

El volumen de un sólido de área transversal integrable A(x) desde x = a hasta x = b es la integral de A desde a hasta b.

(1)

Para calcular el volumen de un sólido seguimos los siguientes pasos.

Paso 1. Dibuje el sólido y una sección transversal típica. Si es posible graficar, hágalo ya que le dará una idea clara de lo que está calculando y cuáles serán los límites.
Paso 2. Encuentra una fórmula del área de la sección transversal A(x). por lo general, las fórmulas para la sección transversal serán similares a las de un gráfico bidimensional. Si el sólido es muy complicado, podría dividirse en secciones más pequeñas para facilitar el cálculo de sus fórmulas.
Paso 3. Encuentra los límites de integración. Esto se especificará o se encontrará como los puntos finales del sólido a lo largo del eje.
Paso 4. Integre A(x) para encontrar el volumen. La función que integraremos es la que encontramos en la sección transversal. Este será el valor de A(x).

Ejemplo 1. Una pirámide de 5 m de altura tiene una base cuadrada de 3 m de lado. La sección transversal de la pirámide perpendicular a la altura x m desde el vértice es un cuadrado x m de lado. m significa metros, encuentra el volumen de la pirámide.

Paso 1. El enunciado nos dice que nuestro sólido será una pirámide y la sección transversal nos dice que su base será un cuadrado, entonces dibujamos su altura a lo largo del eje x y su vértice en el origen.

Figura 4. Piramide con base cuadrada alineada con el eje x.

Paso 2. La sección transversal es un cuadrado con un valor de x metros de lado por lo que su área es

A(x) = x²

Paso 3. Los límites de las integraciones están determinados por los extremos a lo largo del eje x. Dado que la altura de la pirámide se alineó arbitrariamente con el eje x, la longitud de la altura servirá como nuestros límites (esto no fue una coincidencia, se eligió deliberadamente de esa manera para simplificar los cálculos), por lo que los límites son de x = 0 a x = 5.

Paso 4. Pongamos todo junto en una buena expresión y calculemos el volumen.

El método del disco

Algunos sólidos se generan al rotar una región plana alrededor de un eje. Este método para calcular el volumen se llama método del disco porque la sección transversal es un disco circular de radio R(x), la distancia del límite de la región plana desde el eje de revolución es el área de la sección transversal. este dado por

A(x) = π(radius)² = π[R(x)]²

Porque es una revolución. Entonces, la definición de volumen en este caso

(2)

Ejemplo 2. Encuentra el volumen de la región entre la curva y = √x, 0 ≤ x ≤ 4 y gira alrededor del eje x.

Si creamos un gráfico de la función y = √x y luego giramos alrededor del eje x obtenemos el siguiente gráfico.

Figura 5.

Aplicando nuestra fórmula, encontramos el volumen de la región.

Este método para calcular el volumen de un sólido de revolución a menudo se denomina método del disco porque la sección transversal es un disco circular de radio R(x).

Rotación sobre el eje y

Incluso cuando el eje de rotación es diferente, las reglas para encontrar el volumen son las mismas, solo necesitamos ajustar la función acorde.

(3)

Ejemplo 3. Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región entre el eje y y la curva xy = 2, 1 ≤ y ≤ 4, alrededor del eje y.

Dado que el problema nos pide que giremos el sólido alrededor del eje y, debemos definir nuestra función con y como una variable independiente, por lo que obtenemos x = 2/y. ahora podemos crear un gráfico para esta función.

Figura 6.

Esta será la región que usaremos, y los límites de integración se especificaron en la declaración. Poniendo todo junto obtenemos.

El método de arandela

Una arandela es una placa delgada (típicamente en forma de disco, pero a veces cuadrada) con un agujero (típicamente en el medio), por lo tanto, si la región que agitamos para generar un sólido no bordea o cruza el eje, crea un agujero en el sólido. La sección transversal perpendicular al eje de revolución serán arandelas en lugar de discos. Las dimensiones de una arandela están determinadas por un radio interior r(x) y un radio exterior R(x). ya que es una revolución su área está determinada por una fórmula similar a la del disco.

A= π (radio exterior² – radio interior²) = π[R(x)]² – π[r(x)]² = π(R² – r²)

En consecuencia, su volumen es.

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Ejemplo 4. La región delimitada por la curva y = x² + 1 y la línea y = – x +3 se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Encuentre el volumen del sólido.

Nos dan dos funciones y nos piden encontrar el volumen del sólido que se produce al girar la función sobre el eje x. Para estos casos, es una buena idea empezar dibujando las funciones para averiguar cómo se verá el sólido. Además, para ver cuál será el radio interior y exterior y los límites de las integraciones.

Encontramos los límites de integración al encontrar las coordenadas x de los puntos de intersección de la curva y la línea en el gráfico, matemáticamente al igualar ambas funciones entre sí.