Sistema de Ecuaciones

    Un sistema de ecuación es un sistema de dos o más ecuaciones que comparten una solución en común. Esta solución es común entre todas las ecuaciones. Un sistema de ecuación puede ser linear, cuadrática, cúbica, etc, depende del grado de la variable. En este caso primero estudiaremos ecuaciones lineales. Vamos a presentar tres formas diferentes de resolver los sistemas de ecuaciones lineales. personalmente creo que estos son los tres sistemas mas fácil y útiles, ya que pueden ayudar en el futuro a facilitar el entendimiento de cosas más complicadas.

    Lo primero a presentar es que estos sistemas de ecuaciones serán de dos variables Ax+By=C. estos es lo que permite que los métodos que vamos a usar funcionen.

    En un sistema de ecuaciones pueden haber tres tipos de soluciones. (1) las ecuaciones tienen una solución en común, (2) las ecuaciones no tienen solución en común, (3) la solución de las ecuaciones es infinita (de forma gráfica tendrá más sentido que la solución matemática). Los métodos que vamos a usar son el método de substitución, y el método de eliminación, el método gráfico, en este post hablaremos del método de substitución y eliminación.

Método de Substitución.
consideremos el siguiente sistema de ecuación.

5x - 2y = 4

2x + 3y =13

    el método de substitución se utiliza para eliminar una de las dos variables (cualquiera que deseamos), y terminamos con una simple ecuación de una variable que podemos usar para encontrar los valores que satisfacen la ecuación. los pasos a seguir son los siguientes.

• 1ero. Resuelve una de las ecuaciones para una de las variables.
• 2do. Sustituye esa variable en la otra ecuación.
• 3ero. Resuelve la ecuación del paso dos.
• 4to. Sustituye el resultado del paso tres en la primera ecuación para encontrar el valor de la otra variable,
• 5to. Verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.

Utilicemos el ejemplo de arriba y resolvamos la primera ecuación para la variable "y"

5x – 2y = 4

-5x           -5x

-2y = 4 -5x

y = (4 - 5x)/-2

 Ahora que conocemos el valor de "y'' podemos remplazarlo en la segunda ecuación y así sabremos el valor de "x''.

2x + 3y =13
2x + 3((4 - 5x)/-2) =13,  Ahora podemos resolver la ecuación lineal para 'x'  y el resultado que obtenemos es x = 2. Utilizando la solución de 'y' y reemplazando 'x' por su valor encontramos el valor de 'y'

y = (4 - 5(2))/-2

y = 3

    Y así es como funciona el método de sustitución. requiere manipulación de variables y gran dominio de los principios básicos del álgebra.

Método de Eliminación

    requiere el uso de las dos ecuaciones simultáneamente donde eliminamos una ecuación y una variable y así nos quedamos con una ecuación lineal para resolver. Los pasos para resolver un sistema de ecuación con este método son los siguientes.

• 1ero. escribir ambas ecuaciones en forma estándar Ax + By = C
• 2do. hacer que los coeficientes de un par de las variables sean iguales y opuestos, es decir, que tengan el mismo valor numérico pero con signos opuestos.
• 3ero. sumar las dos nuevas ecuaciones y confirmar que una de las variables se elimina. el resultado de la suma deberá ser una ecuación con una variable.
• 4to. resuelve la ecuación encontrada en el paso tres.
• 5to. sustituye el resultado del paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable 
• 6to. verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.

Vamos a verificar con el mismo sistema de ecuación 

5x - 2y = 4

2x + 3y =13

Ambas ecuaciones ya están escritas en la forma estándar así que ahora vamos hacer los coeficientes de una variable igual. vamos a elegir 'y' pues sus valores son más pequeños. para hacer esto debemos de multiplicar cada variable por el coeficiente opuesto, es decir:

(1) 5x - 2y = 4

(2) 2x + 3y =13

el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (1) es -2, y el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (2) es +3. como tenemos que cambiar el signo de uno de los coeficiente para que se cancelen vamos a cambiar el signo del coeficiente de la ecuación (1), de esta forma uno será positivo y el otro negativo. Luego multiplicamos las ecuaciones por los coeficientes opuestos.

(3) (5x - 2y = 4) --> 15x - 6y = 12

(2) (2x + 3y =13) --> 4x + 6y = 26

Ahora que  podemos eliminar 'y'  lo hacemos como una simple suma de primer grado.

15x - 6y = 12

4x + 6y = 26

19x      = 38

Esto es sólo una ecuación de primer grado que podemos resolver

x = 38/19 --> x = 2

Sustituyendo cualquiera de las ecuaciones por este valor podemos encontrar el valor de 'y' y confirmar que y = 3. Personalmente podría decir que este proceso es más simple y rápido.

Esto será todo por ahora. Para el próximo post usaremos más ejemplos para solidificar este conocimiento y explicaremos el método gráfico. Preguntas y sugerencias por favor dejarlas en los comentarios o en la Pagina de Facebook. Si algún tema de interés que les gustaría debatir o alguna ayuda pueden contactarme en cualquier momento. 

Inecualidades II

Inecualidades lineales con una variable

Una inecuación lineal con una variable puede ser escrita en la forma "Ax + B < C," Donde A, B y C son números reales con A ≠ 0.

Como definimos en el pasado post la solución de las inecuaciones se expresan en la forma de notación de intervalo. la siguiente tabla resume esto.



Para resolver una inecuación debemos encontrar todos los números que hacen la inecuación verdadera. por lo general una inecuación tiene un infinito número de soluciones. Las técnicas utilizadas para resolver una inecuación nos permten encontrar el número más pequeño y el más alto aceptable en la solución, estos son los extremos del intervalo. veamos una inecuación directamente.

14 + 2m < 3m

14 +2m -2m < 3m - 2m

14 < m

En esta inecuación tenemos que nuestro resultado es 14 menor que "m". esto quiere decir que cualquier número donde "m" sea mayor que 14 satisface la inecuación. Un ejemplo en la forma de intervalo es el siguiente(14,infinito)

Algo que cabe destacar es que las inecuaciones se resuelven usando el mismo procedimiento que el de una ecuación, sin embargo hay un pequeño cambio que se debe resaltar. Cada vez que se multiplica o se divide por un número negativo el signo de la inecuación cambia. Ejemplo.

-2x +4 > -2

-2x > -2 -4

-2x > -6

X > -6/-2

X < 3 

El signo inicial era x >  pero al dividir por un número negativo (-2) el signo cambio x <

¿Qué significa esto gráficamente?

El número es la línea fronteriza que divide el plano en los números que satisfacen la inecuación y los números que no. Los números que satisfacen la inecuación están sombreados para ser distinguidos de la otra frontera, es decir hay un lado más ocuro que el otro y ese lado más oscuro son los valores que satisfacen la inecuación. La línea de la frontera depende del símbolo que se usa. Si los símbolos usados son <,> la línea frontera será una línea cortada (----). Si los símbolos usados son mayor o igual que, menor o igual que la línea es una línea sólida ( ____ ). Veamos un ejemplo

el ejemplo previo indica que "x" es menor que 3, esto sera una linea cortada.

si vemos la frontera donde X=3 es una linea cortada que significa que el número 3 no es parte de la solucion. la parte sombreada son todos los numeros que hacen la inecuacion verdadera y la parte no sombreada son los números que hacen la inecuacion falsa.

Hay otra forma de graficar y está es en la recta numérica. Aquí la representación puede ser con sus paréntesis y corchetes, o puede ser con círculos abiertos o cerrados. Esto depende de la persona que lo decida usar. Veamos un ejemplo.

Estan son las dos formas mas comunes de la recta numérica. Ahora les dejo unos ejercicios para que practiquen, estas inecuaciones son para que las resuelvan y traten de hacer su gráfica. En el próximo post estarán las respuestas.

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Inecuaciones

     Como su nombre lo indica expresa que dos entidades no son iguales. Resolver una inecualidad es similar a la forma de resolver ecuaciones. los símbolos usados para inecuaciones son <, >,  ≥ y ≤. estos estan asociados con el intervalo que representan. Antes de mostrar como trabajar con las inecuaciones hay que estar familiarizado con algunos términos primero.

Notación de Intervalos.

     El lenguaje matemático usado para describir un conjunto de números se les conoce como notación. En una notación de intervalos al describir los límites (donde empieza y donde termina), describimos el intervalo que ocupa dicho conjunto de números o notación. Usemos un ejemplo simple. Para describir los diez primeros números, sin contar el cero, nos referimos al conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ó mas bien los números del 1 al 10. En lenguaje aritmético simplemente tenemos [1,10] donde 1 es el límite de inicio o el número más pequeño posible dentro de la notación, y 10 el límite final o el número más alto posible dentro de la notación, eso es la notación de intervalo. 

     Para las ecuaciones la respuesta es un valor específico. En la recta numérica se representa como un punto. Esto indica que solo ese número satisface la ecuación. En la inecuación es diferente. Examinemos los símbolos que presentamos al inicio.

•  < menor que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera menor que el valor de la derecha. 
•  > mayor que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera más alto que el valor de la derecha.
•  ≥ mayor o igual que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera más alto o puede ser igual que el valor de la derecha.
•  ≤ menor o igual que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera menor o puede ser igual que el valor de la derecha.

Ejemplos.

     Si organizamos los números 10 y 5 en ese orden decimos que 10 > 5, se lee diez es mayor que cinco. si ponemos el cinco primero, entonces 5 < 10, se lee cinco es menor que diez.

Otros ejemplos.

             3 < 4                                         7 > 2                                          300 < 450
   tres menor que cuatro            siete mayor que dos       trescientos menor que cuatrocientos cincuenta

¿Por qué es esto importante?
     Las inecuaciones no expresan una única solución, en cambio, indican que la solución será todo numero mayor o menor que el numero identificado. Ejemplo: -2 < x < 1, en este caso tenemos todos los números que hacen "x" mayor que menos dos pero menor que uno (-1, 0, 0.5, 0.9), la respuesta no es solo números naturales así que se puede decir que los números que satisfacen la inecuación son infinitos.
     Como describimos previamente, conocer notaciones es importante para conocer que números abarca la respuesta. Hay varios tipos de intervalos: intervalos abiertos, intervalos cerrados e intervalos semiabiertos.

• Intervalo abierto: se expresa con dos paréntesis "( )." Se usan para expresar que una cantidad es mayor o menor y los límites no están incluídos en la solución, ejemplo. (5,8) son todos los números entre cinco y ocho sin contar el cinco o el ocho, 6, 7 son dos números.
• Intervalo cerrado: se expresa con dos corchetes "[ ]." Se usa para expresar que los límites están incluídos en la respuesta, ejemplo. [5,8] son todos los números del cinco al ocho incluyendo el cinco y el ocho, 5,6,7,8.
• Intervalo semiabierto: se expresa con un corchete y un paréntesis. Indica que uno de los límites esta incluído y el otro no. Puede ser de dos formas "( ]" o "[ )" ejemplo. (5,8] los números del cinco al ocho sin incluir el cinco pero se incluye el ocho.

el símbolo infinito "∞" aparece muy a menudo y siempre se utiliza paréntesis con el: ejemplo (-∞,∞); [5,∞); (-∞,3].

¿Por qué los intervalos son importantes?

los intervalos ayudan a reconocer el tipo de símbolo utilizado en la inecuación, el paréntesis denota que la operación sera mayor o menor que; los corchetes denotan que la operación puede ser mayor, menor o igual que. ejemplo.

(5,8)  (5 números mayores que cinco, 8) números menores que 8.

[5,8] [5 números mayores o igual que cinco, 8] números menores o igual que 8.

Por ahora esto es todo. en el próximo post continuaremos con las inecuaciones. Ahora que los intervalos han sido clarificados la mejor forma de recordar esto es a traves de la práctica. así que vamos a usar algunas inecuaciones para ver como funciona en el próximo post.

Si tienen alguna pregunta no duden en escribirme o dejar un comentario. Pueden encontrarnos en facebook como aprende matematicas jmd o directamente en este post.

Uso de las ecuaciones lineales en el mundo real

     Las ecuaciones de primer grado también son conocidas como ecuaciones lineales (más adelantes explicaré por que). Producir una expresión matemática está directamente vínculada con nuestro conocimiento de las operaciones básicas. aquí hay algunas formas de reconocer las simple operaciones matemáticas en un enunciado.

Expresión Verbal Expresión Matemática Adicción o Suma la suma de un número y 7 x + 7 6 mas que un número x +6 24 agregado a un número x + 24 un número aumentado por cinco x + 5 la suma de dos números x + y Resta o Sustracción dos menos que un número x - 2 doce menos un número 12 - x un número disminuido por doce x - 12 un número sustraído de 10 10 - x la diferencia entre dos números x - y Multiplicación 16 veces un número 16x un número multiplicado por 6 6x dos tercio de un número 2/3 X el producto de dos números xy División el cociente de 8 y un número 8/x un número dividido entre 13 x/13 la relación de dos números x/y cinco entre otro número 5/x

     La sustracción y la división no tienen propiedad conmutativa así que el orden en el que se organiza es muy importante ya que puede influir a obtener una respuesta diferente. El signo de igualdad a menudo es expressado con la palabra "es" o directamente diciendo "igual a" o "igual que," por ejemplo " la suma de dos números es igual a 3 (x + y = 3). 

     Existen muchas formas diferentes de resolver un enunciado matemático. Aquí les mostraré una de las formas para hacerlo. Para este método solo debemos seguir los siguientes pasos.

1ero. Leer el problema detenidamente hasta que entiendas lo que se te pide.

2do. Asignar una variable para representar la cantidad desconocida. 

3ero. Escribir la ecuación usando las expresiones de la variable

4to. Resolver la ecuación para encontrar el valor de la variable

5to. Comprobar que el valor encontrado satisface la ecuación

6to. Establece tu respuesta.

Veamos un ejemplo. 

La longitud de un rectángulo es 1cm más que el doble de su ancho y su perímetro es 110cm. establezca la longitud y el ancho del rectángulo.

1ero. Lee el problema detenidamente hasta que entiendas lo que se te pide. 

En el problema se nos pide que encontremos el valor de la longitud y el valor de la anchura.

2do. Asigna una variable para representar la cantidad desconocida.
Para este problema tenemos la longitud y el ancho. sabemos que la longitud es 1cm mas que el doble de su ancho, pero no sabemos el ancho asi que dejaremos que nuestra variable sea el ancho y lo representamos con x mientras la longitud sera 1 + 2x que es lo que el enunciado describe.

3ero. Escribe la ecuación usando las expresiones de la variable.

Para escribir una ecuación con estos datos debemos tomar en cuenta el último factor que en este caso es el perímetro. La fórmula para encontra el perímetro es la suma de todos los lados y como un rectangulo consta de cuatro lados donde su longitud y su ancho es igual para ambos lados podemos expresarlo de la siguiente manera:

perimetro = longitud +longitud + ancho + ancho

perimetro(P) = 2(longitud) + 2(ancho) 

P = 2(1 + 2x) + 2x

4to. Resuelve la ecuación para encontrar el valor de la variable

2(1 + 2x) + 2x = 110

2 + 4x + 2x = 110

2 - 2 + 6x = 110 - 2

6x = 108

6x/6 = 108/6

x = 18

5to. Comprobar que el valor encontrado satisface la ecuación

ancho = 2x = 2(18) = 36

longitud = 2(1 +2x) = 2(1 + 2(18)) = 2(1+36) = 2(37) = 74

perimetro = 36 + 74 = 110

6to. Establece tu respuesta.

longitud = 74                           ancho = 36

Otro ejemplo:

Dos de los mas prominentes pitcher de las grandes ligas fueron Roger Clemens y Greg Maddux. Durante 1984 y 1999 ellos picharon en 916 juegos. Clemens pichó 44 juegos más que Maddux. ¿Cuántos juegos picharon cada uno?

1ero. Nuestro problema es identificar cuantos juegos picharon cada uno.

2do. La información que tenemos es que Clemens pichó 44 juegos más que Maddux. Con esta información vamos a describir a Maddux con la letra "m" y Clemens "m + 44."

3ero. Nuestra ecuación nos dice que la cantidad total de juegos fue 916, esto implica que la suma de los juegos de los dos pitchers debe ser esa cantidad "m + (m + 44) = 916."

4to.

 m + (m + 44) = 916

2m + 44 = 916

        -44    -44

2m = 872

m = 872/2

m = 436

5to. comprobamos nuestra respuesta (m + m +44)

436 + 436 + 44 = 872 +44 = 916

6to. nuestra respuesta es:

Maddux pichó 436 juegos

Clemens pichó 436 + 44 = 480

Con estos ejemplos creo que ya pueden dominar la aplicación de problemas. si tienen alguna pregunta por favor dejen su comentario o visiten nuestra página en facebook. El próximo post hablaremos de inecualidades y luego explicaremos el método gráphico para resolver ecucaciones e inecuaciones.

Aquí está la respuesta del pasado post.

x = 7

x = 6

X = -12

x = 1

Ecuaciones IV

consideremos el siguiente ejercicio.

Algunas personas tienden a ver este problema y lo consideran dificil o hasta imposible de resolver pero si usamos los pasos conocidos veremos que facil es resolverlo.

como podemos ver tenemos un denominador que nos hace mas dificil la operacion. lo primero que debemos hacer es distribuir el simbolo de multiplicacion en el numerador. de esta forma estaremos simplificando la ecuacion.

ahora viene la parte divertida. para eliminar el denominador debemos encontrar el minimo comun denominador y multiplicar toda la ecuacion por este de esa forma se elimina el denominador. 

si distribuimos el MCD veremos como los denominadores se cancelan.

36x + 72 + 45 = 20x + 50 - 45x

Ahora todo lo que debemos hacer es resolver nuestra ecuacion, agrupando las variables de un lado y los numeros del otro lado.

36x - 20x + 45x + 72 -72 + 45 -45 = 20x -20x + 50 - 72 - 45 -45x + 45x

36x - 20x + 45x + 72 -72 + 45 -45 = 20x -20x + 50 - 72 - 45 -45x + 45x

61x = -67

x = - 67/61

aqui les dejo unos cuantos ejercicios para que practiquen las ecuaciones. en el proximo post estaran las respuestas. si tienen alguna pregunta pueden escribirme a este post o la pagina de facebook. 

• 2x+6 = 20
• 3x - 1 = 2x +5
• 3x + 9 = 2x - 3
• x + 9 = 2 
•    5 

Ecuaciones III

     Una vez dominados los conceptos del orden de operaciones podemos utilizarlos para resolver ecuaciones de primer grado. el procedimiento es simple, solo  hay que seguir los siguientes pasos:

1- Quitar paréntesis (si hay alguno).

2- Quitar denominadores (si hay alguno.

3- Agrupar los términos en x en un lado de la ecuación y los términos independientes en el otro (tomando en cuenta el cambio de los signos).

4- Reducir los términos semejantes.

5- Despejar la incógnita.

     nota: no siempre se seguirán los pasos en orden ya que hay ecuaciones que no tienen paréntesis o tal ves no tienen denominador. 

     para el paso numero tres hay que tomar en cuenta el signo de igualdad, ya que los números o los monomios que se pasan de un lado hacia otro cambian su signo (si es positivo en un lado, sera negativo en el otro; si esta multiplicando en un lado, estará dividiendo en el otro; si es un exponente en un lado, sera una raíz en el otro).

Veamoslo en un ejemplo. 

2(2x – 3) = 6 + x

     

     Lo primero es resolver lo que está en el paréntesis. Como podemos ver el parentesis ya esta reducido a su mnima expresión ya que 2x y -3 no son términos semejantes asi que pasamos a la siguente operación, multiplicar el polinomio por dos.

·         2*2x -2*3 = 6 + x

·         4x – 6 = 6 + x

     Saltamos el paso dos porque no hay denominadores y  vamos al paso tres, agrupar los terminos semejantes. Para ello elegi la izquiera del signo de igual para colocar los números con letras y el lado derecho los números. Para ello se suman o restan en ambos la variable o números con signos cambiados (en el lado izquiero -6 cambio ha ser +6 y en el lado derecho +x cambio a –x)

4x – 6 = 6 + x

-x + 6    +6 –x

El resultado

3x = 12

El tres esta multiplicando con la x asi que usando su opuesto tendremos que dividir.

3x/3 = 12/3

X = 4

otro ejemplo.

2x - 5 = 7 + 6x          sumar 5 en ambos lados

2x - 5 + 5 = 7 +6x + 5

2x = 12 + 6x             restar 6x en ambos lados

2x - 6x = 12 +6x - 6x

-4x = 12                  divide entre -4

-4x/-4 = 12/-4

x = -3

     Estos son los pasos para resolver ecuaciones de primer grado. recuerda las variables deben estar de un  lado y los números del otro lado del signo de igualdad. puedes comprobar que el valor de x es correcto sustituyendo x en la ecuación original y el resultado debe ser el mismo en ambos lados. 

2(-3) - 5 = 7 +6(-3)

-6 - 5 = 7 - 18

-11= -11

     Eso es todo por ahora. en el próximo post habrán más ejemplos de como trabajar con ecuaciones. aquí están la respuesta de los ejercicios del post pasado.

• 43 
• 14 
• 30 
• 23 
• -8 
• 22 
• -135 
• -252 
• 24 
• 10 
• 12 
• 10 
• 129 
• -32

Ecuaciones II

     Las ecuaciones han sido el método utilizado para explicar el día a día del álgebra. Al igual que los monomios estas también pueden ser clasificada por el grado de sus variables. Si la el exponente de la variable más alto es uno entonces se considera una ecuación de primer grado, si el exponente es dos será una ecuación de segundo grado etcétera.

Un ejemplo de cómo se vería las ecuaciones sería el siguiente:

• 2x – 3 + 3 = 53 - 3x ecuación de primer grado 
• 9x2 + 6x + 10 = 0 ecuación de segundo grado 

     Empezaremos explicando las ecuaciones de primer grado al ser más fácil y luego progresaremos hacia lo más complicado. 

     Antes de empezar hay un procedimiento importante a considerar y es el orden de las operaciones aritméticas. El orden determina que operación se ejecuta primero por ejemplo, que es primero multiplicación o suma; resta o división. El orden empieza por los paréntesis. Mientras más adentro del paréntesis mayor prioridad tiene la operación; una vez eliminado el paréntesis siguen los exponentes estos pueden ser potencias o raíces cuadradas; luego siguen la multiplicación o división. No importa cual sea se pueden alternar y el resultado no cambia; al final se ejecuta la suma o resta.  Puede ser difícil recordar el orden pero para eso se puede usar un acrónimo para no olvidarlo, PEMDAS 

Paréntesis 

Exponentes 

Multiplicación / División 

Adición / Sustracción  

Utilicemos algunos ejemplos.

• (3+2) x 2 
• 7 + (6 × 52 + 3) 
• 2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 

(3+2) x 2 = 

5 x 2 = 10 

     Según PEMDAS primero debemos resolver lo que está dentro del paréntesis. Una vez resuelto podemos multiplicar. 

7 + (6 × 52 + 3) = 

7 + (6 x 25 + 3) = 

7 + (150 +3) = 

7 + 153 = 160 

     Según PEMDAS primero resolvemos lo que está dentro del paréntesis. Aquí tenemos tres operaciones diferentes, comenzaron primero con el exponente, luego la multiplicación y luego la suma. Al final la última operación suma.  

2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 =  

 2 [- 6 ] + 8 / 2 = 

-12 + 8 / 2 = 

-12 + 4 = - 8

     Primero debemos resolver lo que está dentro del paréntesis, tomando en cuenta la regla de los signos para la multiplicación; una vez resuelto tenemos la opción de hacer la división o la multiplicación (no importa cual sea primero el resultado será el mismo); finalmente podemos hacer la resta.  

     Una vez dominados el orden podemos fácilmente resolver una ecuación. 

     Para el próximo post explicaremos todos los pasos de resolver una ecuación. Mientras tanto aquí ahí algunos problemas para resolver. Las respuestas disponible en el próximo post 

• 37 + 6(3-2)
• -2 + 6 x 3 - 2 
•  2 + 7 · 8 / 2 
•  5 · (9 – 6) + 8 
•  2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 
• 2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] 
• 3 { 4 – [ 6 · 2 (9 – 5) + 1 ] }
• 9 { 2 – [ 6 + (4)² + 8 ] } 
• 4 · 2(3 + 6)/ 3   
• 3 + (2 + 3)2 – 6/ 2 
• 4 [ 1 – ( 5 – 11)/ 3]
• 2 { 6 – 2 ( 9 – 4)/ 5 + 1} 
• 3 { 42 – ( -3 + 1)/ 2}
• 4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)/ 2 + 8] }