Aplicaciones de la derivada 5: Optimización Aplicada

Cuando hablamos de optimización, buscamos respuestas en preguntas como ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo con perímetro fijo que tiene un área máxima? ¿Cuáles son las dimensiones de la lata cilíndrica menos costosa de un volumen dado? ¿Cuántos artículos se deben producir para lograr la producción más rentable? El problema de la optimización es común en las áreas de economía, física, matemáticas, agricultura, arquitectura e ingeniería civil. En general, podemos reconocer este problema usando palabras clave como máximo, mínimo, mucho, más, etc. En esta sección planeamos ver y analizar casos de optimización desde la perspectiva de las derivadas y cómo se puede aplicar esto a algunos casos.

Los pasos propuestos para resolver un problema verbal y un problema de optimización son muy similares. La idea principal es dividir el problema en secciones que sean fáciles de manipular y puedan llevarnos a las respuestas. Al resolver problemas de optimización, la mejor forma, o la forma más "óptima" de hacerlo, es la siguiente.

• Leer el problema.
• Hacer un dibujo del problema.
• Introducir variables para averiguar qué se sabe y qué buscas.
• Escribir una ecuación para la cantidad desconocida.
• Probar puntos críticos y puntos finales en el dominio de la cantidad desconocida.

Probemos esta idea y veamos cómo se puede usar.

Ejemplo 1. Queremos construir una caja usando una lámina de cartón de 14 x 14 pulgadas y cortando pequeños cuadrados congruentes en las esquinas. ¿Qué tamaño debe tener el corte cuadrado desde la esquina para que la caja contenga la mayor cantidad posible?

Paso 1: Lee el problema. La importancia de leer la declaración es encontrar las palabras clave que describen el problema. Lo que sabemos, lo que necesitamos. Al leer este problema, sabemos que queremos construir una caja que sea un objeto tridimensional. Tenemos una hoja bidimensional que se nos da como un cuadrado con una dimensión de 14 x 14 pulgadas, y cortaremos un pequeño cuadrado de las esquinas para que la caja aguante lo más posible. Esta última parte es la que nos dice que se trata de un problema de optimización.

Paso 2: Haz un dibujo del problema. Comenzamos dibujando una hoja bidimensional y etiquetamos los lados respectivos de cómo queremos romperla. y tendremos la siguiente imagen.

Paso 3: introduce variables para averiguar qué se sabe y qué estás buscando. Como no sabemos qué tan grandes queremos que sean las esquinas cortadas (que es lo que necesitamos resolver), lo llamamos x (ya que los términos desconocidos deben escribirse como una variable), y la imagen cambiará así.

Entonces, si cortamos las esquinas cuadradas y doblamos la hoja para crear la caja, nuestros lados tendrán una longitud de 14 – 2x ya que sacamos una pieza de cada esquina con una longitud de x; y nuestra altura será x. Ahora nuestra caja tridimensional tiene las siguientes unidades.

Paso 4: Escribe una ecuación para la cantidad desconocida. Para encontrar qué tan grande debe ser la esquina cortada cuadrada, tenemos que calcular el volumen de la caja, debemos escribirlo en términos de la longitud x.

V(x) = ancho x largo x alto

V(x) = x (14 – 2x)²

V(x) = 4x (7 – x)² = 4x (49 – 14x + x²) = 196x – 56x² + 4x³

Por inspección podemos ver que x ≤ 7 ya que los lados de la hoja miden 14 in de largo. Podemos deducir que el dominio de x está en el intervalo 0 ≤ x ≤ 7.

Paso 5: pruebe los puntos críticos y los puntos finales en el dominio de la cantidad desconocida. Examinamos la primera derivada de V con respecto a x y encontramos dónde la derivada es cero.

Factorizando

Lo que nos da los puntos x = 7 y x = 7/3. Cuando evaluamos el punto final x = 7 obtenemos un valor de cero que concuerda con el teorema del valor medio, mientras evaluamos el punto crítico x = 7/3 obtenemos 203.3 por lo tanto el volumen máximo es 203.3 in² y el corte debe ser 7/3 en un lado.

 

Ejemplo 2. Se va a inscribir un rectángulo en un semicírculo de radio 3. ¿Cuál es el área más grande que puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?

Paso 1. El problema es preguntarnos qué tan grande puede ser un rectángulo para caber dentro de un semicírculo de radio 3.

Paso 2.

Paso 3. Como no conocemos las dimensiones del rectángulo, podemos nombrar su longitud como x para el lado horizontal, mientras que el lado vertical se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras. 

Paso 4. Ahora podemos escribir expresiones para la altura, la longitud y el área del rectángulo.

Longitud: 2x,           Altura: √(9 - x²),            Área: 2x√(9 - x²)

Dado que el semicírculo establece un límite para la longitud, el dominio debe estar en el intervalo 0 ≤ x ≤ 3.

Paso 5. Para encontrar el valor máximo absoluto de la función debemos evaluar la derivada de la función del área cuando es cero.

No está definido cuando x = 3 pero aún podemos encontrar los ceros.

Multiplicando ambos lados por     tenemos

Solo de los valores posibles cuentan. El positivo está en el dominio establecido, por lo que este es un punto crítico. Ahora podemos evaluar el área en este punto crítico así como la longitud y la altura.

Aunque parece una expresión algebraica intimidante, su respuesta y solución son muy simples. La solución final nos dice que el área tiene un valor máximo de 9 cuando la longitud del rectángulo es 3√2 y su altura es 3√(1/2).

 

Ejemplo 3. Queremos diseñar una lata de medio litro con forma de cilindro circular recto. ¿Qué dimensiones utilizarán la menor cantidad de material? Exprese su respuesta en centímetros.

Para encontrar las dimensiones de una lata cilíndrica, debemos convertir los litros en una forma de volumen con centímetros. Por suerte la relación es estándar.

1 litro = 1000 cm³ à ½ litro = 500 cm³

El volumen de la lata (cilindro) está dado por

Donde r es el radio y h es la altura de la lata. El área de superficie del cilindro se calcula usando.

Ahora la parte más importante es el significado de la frase "menos material". Para una primera aproximación podemos ignorar el espesor del material y el desperdicio en la fabricación pero aun así tenemos el problema de tratar con dos variables. Podemos resolver una de las ecuaciones para una variable y sustituirla en la siguiente ecuación de esa manera solo tenemos una variable de la que preocuparnos. Entonces, resolvamos la ecuación de volumen para la Altura.

Por lo tanto,

Ahora podemos encontrar un valor de r > 0 que maximice el valor de A, y esto nos permitirá encontrar las mejores medidas para nuestra lata. Dado que A es derivable sin extremos, puede tener un valor mínimo donde su primera derivada es cero.

Observe en el gráfico que para r pequeño (un recipiente cilíndrico alto y delgado), el término 1000/r domina y A es grande. Para r grande (un recipiente cilíndrico corto y ancho), el término 2πr² domina y A nuevamente es grande.

¿Qué sucede en  ? Examinemos la segunda derivada.

Es cóncava hacia arriba en todo el dominio de A, por lo que este valor es de hecho un mínimo absoluto. Podemos usar esto para encontrar el valor de la altura de la lata.

con un poco de manipulación del álgebra, obtenemos

la lata de medio litro que usa menos material tiene una altura igual a su radio con r ≈ 4.3 cm y h ≈ 4.3 cm.

La optimización es muy práctica para situaciones de la vida real y entenderla les será de gran utilidad. En la próxima publicación estaré introduciendo la idea de antiderivadas. Esta será fundamental para entender las integrales que son nuestro próximo tema. Si les gusto el contenido por favor compartirlo con otras personas y si tienen sugerencia las puedes escribir en la sección de comentarios. De verdad queremos escuchar su opinión. Será de gran ayuda.

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