Funciones Logarítmicas

    Sabemos que en matemáticas tenemos 2 clases de logaritmos: el logaritmo común y el logaritmo natural. El logaritmo natural, representado como ln, tiene como base la constante de Euler e con un valor aproximado de 2.718281828459. El logaritmo común, representado como log, tiene una base generalmente de 10 pero puede ser cualquier número. Aunque sus bases difieren, sus propiedades se mantienen.

Log(A∙B) = log(A) + Log(B)

Ln(A∙B) = ln(A) + Ln(B)

    Por ahora, mi preocupación está asociada con esto. Sus propiedades se aplican de la misma manera y, por lo tanto, las siguientes propiedades para explorar afectan ambos logaritmos por igual, pero para mi cordura y simplicidad usaré el logaritmo natural en lugar del logaritmo común.

    La función e^x es una función exponencial general cuya gráfica tiene una pendiente 1 cuando cruza el eje x. Su función inversa se llama logaritmo natural. El valor de este logaritmos se puede expresar como una integral de la forma.

    Del teorema fundamental del cálculo, ln x es una función continua, analizando de la geometría ln x es el área bajo la curva y =1/t si x > 1 de t = 1 a t = x. si x ≤ 0 la función no está definida y para 0 < x < 1 el área bajo la curva es negativa.

    Por la primera parte del teorema fundamental del cálculo.

    Si u es una función diferenciable de x, podemos aplicar la regla de la cadena.

    Si ln |x| para x ≠ 0, entonces.

    Lo que significa que dada una función diferenciable u que nunca es cero.

Ejemplo.

    Sea u = 3 + 2 sin θ; du = 2 cos θ dθ, y cuando u(π/2) = 5; u(-π/2) = 1

    ¿Cuál es la integral de tan x?

    Sea u = cos x; du = - sin x dx

Logaritmo con base a

    Para cualquier número positivo a ≠ 1 el logaritmo de x con base a se denota por   es la inversa de la función exponencial a^x tal que

    La función  es simplemente un múltiplo numérico de ln x.

    Con esto podemos concluir.

    Hallar derivadas o integrales que involucren base a logaritmo. Los convertimos a logaritmo natural. Si u es una función diferenciable de x.

Ejemplo. 

    Sea u = 3x + 1 y a = 10

    Reescribir la función

    Sea u = ln x; du = 1/x

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Función Trigonométrica Inversa

    Las funciones trigonométricas relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con las proporciones de las longitudes de dos lados, al conocer el ángulo podemos calcular la proporción de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo. Estas funciones son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Algunas de estas funciones están escritas en términos de otras funciones y pueden escribirse en forma compleja usando la fórmula de Euler:

    Podemos memorizar las proporciones o calcularlas en base a su compleja definición siempre que los ángulos se escriban en radianes en lugar de grados.

    En matemáticas hasta ahora, hemos visto que cada operación tiene múltiples enfoques y la memorización es un buen atajo pero no una herramienta imprescindible para hacer las operaciones. Otra propiedad importante de las matemáticas es que la mayoría de las operaciones (las que hemos cubierto hasta ahora) son reversibles. Puedes ir y venir y aprender cosas nuevas al respecto. Las operaciones que son reversibles se consideran tener una operación inversa.

    Ya conocemos las operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son operaciones inversas entre sí. La idea es la misma en trigonometría. Las funciones trigonométricas inversas hacen lo contrario de las funciones trigonométricas "normales". En general, si conoce la relación trigonométrica pero no el ángulo, puede usar la función trigonométrica inversa correspondiente para encontrar el ángulo.

¡Alerta de malentendidos!

    La expresión sin^-1(x), no es lo mismo que 1/sin(x). En otras palabras, el −1 no es un exponente. En cambio, simplemente significa función inversa. Otra forma de representar las funciones trigonométricas     inversas es con el uso del prefijo arc- que posee la misma connotación que -1 (sin^-1 = arcsin).

Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas es uno a uno, deben estar restringidas para tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de resultados de las funciones inversas son subconjuntos de los dominios de las funciones originales.

Nombres	Notación	Definición	Rango en radianes
arco seno	y = arcsin (x)	x = sin (y)	- π/2 <y < π/2
arco coseno	y = arccos (x)	x = cos(y)	0 < y < π
arco tangente	y = arctan (x)	x = tan(y)	- π/2 < y < π/2
arco cotangente	y = arccot (x)	x = cot(y)	0 < y < π
arco secante	y = arcsec (x)	x = sec(y)	0 < y < π/2 ó π/2 < y < π
arco cosecante	y = arccsc (x)	x = csc(y)	- π/2 < y < 0 ó 0< y < π/2

    Ahora que entendemos qué son las funciones trigonométricas inversas, veamos sus propiedades derivadas e integrales.

•    Si f(x) y g(x) son funciones inversas entre sí (f(g(x)) = x y g(f(x)) = x), entonces la derivada g'(x) se puede obtener usando la siguiente fórmula.

    En el caso del seno inverso, tenemos.

    Esta no es una fórmula muy útil. Veamos si podemos conseguir una fórmula mejor. Comencemos recordando la definición de la función seno inversa.

    Usando la primera parte de esta definición, el denominador en la derivada se convierte en,

    Ahora podemos aplicar

    Usando la segunda parte de la definición de la función seno inversa, el denominador se convierte en.

    Poniendo todo esto junto, hemos encontrado la derivada para el arco seno.

    Aplicamos el mismo método para encontrar todas las demás derivadas y las compilamos en una tabla.

    Pero, ¿y si la función inversa tiene una función de x en lugar de un valor como u(x)? ¿Cómo afectaría esto a la derivada?

    Lo bueno es que el cambio no es tan grande simplemente tenemos que aplicar la regla de la cadena. Para ver esto, podemos reescribir las fórmulas anteriores en una más general para ver cómo se verán afectadas.

    Sea u = u(x). las derivadas de las funciones trigonométricas inversas con respecto a x son.

    Ahora las derivadas no son solo para valores de x sino para todo tipo de funciones que dependen de x. Ahora que conocemos las derivadas, podemos usarlas para encontrar integrales del mismo tipo.

    Sea a cualquier número distinto de cero y u una función de x.

    Ahora lo más importante es poder reconocer este patrón con otras funciones. Examinemos algunos ejemplos.

Sea u² = x² à u = x y du = dx; a² = 16 à a = 4.

Sea u² = 4x² à u = 2x reescribiendo x = u/2 and du = 2dx; a² = 1 à a = 1.

    ¿Qué pasa con una integral de esta forma?

    Para resolver este problema, utilizamos una técnica llamada integración por partes que aún no hemos explorado. Entonces, por ahora lo mantendremos en espera hasta que expliquemos esta técnica y haremos ejemplos de estas funciones inversas.

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Mas Ejemplos de Integrales.

     Vamos a trabajar algunos ejercicios para ver las propiedades que aprendimos en la pasada publicación.

Evalúa las integrales.

    Este es un ejercicio bastante directo. Primero debemos hacer una sustitución que permita la simplificación del ejercicio y luego evaluar la sustitución en los límites para obtener nuevos límites. Recordemos que la raíz cuadrada es igual que la potencia ½. Para nuestra sustitución elegí.

• Sea u = y + 1 à du = dy
• Cuando y = 0, u = 1
• Cuando y = 3, u = 4

Nuestra sustitución será. 

    En este caso la sustitución añade un término extra así que debemos ser cuidadoso con eso.

• Sea u = 1 + t⁴ à du = 4t³ dt; ¼ du = t³ dt
• Cuando t = 0, u = 1
• Cuando t = 1, u = 2

    La sustitución hizo de este problema algo bastante simple. Otro método que podíamos utilizar fue el de la distribución de potencial y luego evaluar la integral para cada termino. La integral a evaluar seria la siguiente.

t³(1 + t⁴)³ = t³(1 + 3t⁴ + 3t⁸ + t¹²)

= t¹⁵ + 3t¹¹ + 3t⁷ + t³

    For this problem the important fact to remember is that the denominator is simply a negative exponential.

• Sea u = 4 + r² à du 2r dr; ½ du = r dr
• Cuando r = 0, u = 4
• Cuando r = 1, u = 5

• Sea u = 1 – cos (3t) à du = 3sin (3t) dt; 1/3 du = sin (3t) dt
• Cuando t = 0, u = 0
• Cuando t = π/6, u = 1

Encuentra el área de la región sombreada.

    Los siguientes ejercicios tratan sobre el análisis grafico para determinar las propiedades que necesitamos para calcular áreas usando integrales. Para ello necesitamos conocer la función que compone el área sombreada y los limites tanto del eje x como del eje y ya que no sabemos cual de los dos ejes nos facilitara la integral.

    Tenemos que la función es descrita en términos de x así que evaluaremos esta integral con respecto a x. los límites de integración con respecto a x son – 2 < x < 2 lo que lo hace un intervalo simétrico Antes de tratar de resolver voy a confirmar si la función es par o impar. Ya que los límites de integración satisfacen la condición de simetría. 

    La función es impar por lo que la integral debe ser cero. Esto también lo podemos apreciar al ver la gráfica ya que el área de la función es como un reflejo de si misma. Vamos a confirmarlo.

• Sea u = 4 – x2 à du = – 2x dx; – ½ du = x dx

    Este caso es bastante directo, tenemos una función definida en términos de x y su intervalo es – π < x < 0. Si hay algo que nos puede servir para solucionar este problema es el conocimiento de que el seno es una función impar y el coseno es una función par, es decir sin (–x) = – sin (x); cos (–x) = cos (x).

• Sea u = 1+ cos x à du = – sin x dx; – du = sin x dx

    In this case we can rewrite the functions to integrate with respect to x, but it will be easier to Integrate with respect to y instead. El intervalo de las funciones va 0 < y < 1 y como estamos usando el eje y el orden de las funciones va de derecha a izquierda, obtenemos f(y) = 12y² – 12y³ y g(y) = 2y² – 2y.

 

    Podemos integrar esta área usando el eje x. de arriba hacia abajo tenemos que f(x) = 1 y g(x) = cos² x y los límites de integración a = 0 y b = π.

    Para resolver este problema utilizaremos dos identidades trigonométricas para simplificar el problema.

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