Fundamentos de la Matematica

     Cuando hablamos de matemática básica nos referimos a los conceptos que formaron el origen de las matemáticas y que sostienen toda la teoría de lo que puede ser algebra, geometría, calculo, y cualquier otra área de matemáticas que puedas considerar. estos son conocidos como operaciones aritmeticas.  Empecemos por el concepto más simple.

Suma

No creo que sea necesario pasar mucho tiempo explicando la suma. La suma es mejor entendida por su otro nombre, “adición”. Esto significa que dos cantidades se agregan o juntan para formar una más grande. Es unas de las operaciones básica de la aritmética ( rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, resta, multiplicación y división). Se expresa con el símbolo de la cruz “+”. Dos cantidades que se suman crean una cantidad más grande, lo que significa que la sumada es mas grande que las dos cantidades individuales.

La suma contiene todas las propiedades de operación.

• Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no modifica el resultado: a+b=b+a.
• Propiedad Asociativa: cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento: a+(b+c) = (a+b)+c = (c+a)+b
• Propiedad Distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4. Mas tarde explicaremos mejor esta propiedad cuando expliquemos la multiplicación.

Ejemplos de la suma.

• esta es la forma original que se les enseño a los niños sobre la suma. La línea se utiliza como un símbolo de igualdad (=).
• 2 + 3 = 5
• 7 + 2 = 9
• 1 + 4 = 5

Suma de números de varias cifras

     Cuando estamos sumando números con más de una cifra hay varias propiedades que hay que recordar. Los números se deben organizar por número de cifras. La cifra a la derecha debe estar todas alienadas. La suma se ejecuta empezando con las cifras de la derecha y se van moviendo hacia la izquierda. Si la suma de un número es mayor o igual que 10, la última cifra se coloca debajo de la línea y la otra cifra se suma al siguiente grupo de números hasta completarlos todos. Suena un poco confuso cuando solo se piensa en la teoría, pero con los ejemplos se hará más claro a que me refiero. Vamos a sumar los números 25+130+15+5+120

1. Como describimos todas las cifras a la derecha deben estar alineadas y ahora cuando empecemos la suma comenzamos en la derecha.
2. La suma de estos números en rojos es 15 y como es mayor que 10 ponemos el 5 debajo de la raya (que simboliza la igualdad) y el 1 lo agregamos la siguiente cifra para sumarla.
3. Luego se suma la siguiente columna y como no es mayor que diez continuamos con la  ultima columna y el resultado final es el resultado de la suma.

Otro Ejemplo.

la suma de los primeros numeros es igual a nueve asi que continuamos con la siguientes cifras.
la suma de las siguientes cifras es 18 asi que colocamos el 8 al final y sumamos el 1 a la siguiente cifra.
la suma de las siguientes cifras es 23 mas el extra 1 es 24, colocamos el 4 al final y sumamos dos a la siguiente cifra.
las suma de las cifras finales es 20 mas el extra 2 es 22, como no existen mas cifras colocamos el numeros tal como es. nuestro resultado final es 22,489. puedes confirmar con tu calculadora. 

En el Proximo post trataremos la siguiente operacion aritmetica, la resta. 

o

Inecuaciones III

     Como hemos hablado anteriormente una inecuación es caracterizada por los símbolos <, >, ≤ ó ≥. Estos símbolos denotan el intervalo del dominio. A la hora de trabajar con inecualidades estas se tratan igual que una ecuación con la diferencia de que al multiplicar o dividir por un numero negativo la dirección de la inecualidad cambia. Si aun no estas del todo convencido te recomiendo ver el siguiente vídeo antes de continuar.

     Sabemos y podemos apreciar en el video que los valores para satisfacer una ecuación son específicos, pero los valores que satisfacen una inecuacion abarcan un  espacio y son mas complejos de definir. probemos con lo siguiente

(A) 2x + 4y  ≤ 5 & (B) x ≥ 1

Gráfica (A)                                                                               Gráfica (B)

Ahora veamos las dos gráficas interceptadas.

     Se puede ver en la gráfica existe un área en común donde las dos gráficas se interceptan. esta área es la solución general de las dos inecuaciones. así es como se resuelve un sistema de inecuaciones. el área en común es la solución al sistema. 

     Al igual que en las ecuaciones no siempre habrá una respuesta en todos los sistemas. veamos algunos ejemplos:

x + y ≥ -1

x + y≤ 2

La primera inecuación nos da la línea y ≥ -x -1 con una pendiente negativa.

La primera inecuación nos da la línea y ≤ 2 - x con una pendiente negativa

Si resolvemos estas inecuaciones por uno de los metodos que aprendimos para resolver sistemas de ecuaciones lineales tendremos:
0 ≥ -1

0 ≤ 2  

     Donde la solucion obvia nos dice que la region con el punto (0,0) es la solucion, pero las lineas no se intersectan. para un sistema de ecuaciones esto no seria una solucion ya que solo puede haber una solucion unica, por lo tanto las lineas deben ser intersectadas en un punto, pero para las ecuaciones este caso no es necesario. veamos las graficas de ambas lineas por separado y luego su intersection y el area del conjunto solucion.

conjunto solucion

x + y < 2

x + y > -1

Otro caso

3x + y ≥ 2

x+y/3 ≤ -10 
     si resolvemos esta inecuacion veremos que las lineas no tienen area en comun y por lo tanto no existe una solucion. 
 

3x + y > 2

x + y/3 < -10

 

No Solucion 

     Así se tratan las inecuaciones usando el método gráfico. Este método facilita encontrar el dominio del sistema de la inecuación. Aquí les dejo algunos problemas para que practiquen. En próximo post presentare las respuestas en un video.

     Por pedido algunas personas a partir del próximo post estaré reforzando los aspectos básicos de la matemática. Comentarios y sugerencias son bien apreciados. Pueden contactarme a través de comentarios o directamente en nuestra página de Facebook https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJmd/

Sistemas de Ecuaciones II

Método Gráfico
Este método puede ser el más fácil y a la vez el más complicado. Requiere de precisión y exactitud a la hora de crear una gráfica, así que comencemos mostrando las gráficas de primer grado.

la gráfica de primer grado es una linea recta. esta es la razón por la que se le llama ecuaciones lineales, pues su gráfica es una linea recta. La forma de la linea es y = mx + b donde "m" es la pendiente, pero para nuestro caso es sólo el número que acompaña a la x. a la hora de crear una gráfica lo primero es escribir la ecuación en esta forma. ejemplo:

2x + y = 5 o simplemente y = -2x +5

para resolver creamos una tabla de al menos tres o cinco valores. Lo bueno de esto y lo que hace el método gráfico tan fácil es que los valores de la tabla son arbitrarios, es decir, podemos elegir cualquier valor para la variable independiente y sustituirlos en la ecuación para encontrar el valor de la otra variable y así poder crear la gráfica.
Ejemplo: vamos a crear la gráfica para  y = -2x +5

X	Y
-2	9
-1	7
0	5
1	3
2	1

X= -2; y = -2(-2) + 5 à y = 9

X= -1; y = -2(-1) + 5 ày = 7

X= 0; y = -2(0) + 5 à y = 5

X= 1; y = -2(1) + 5 à y = 3

X= 2; y = -2(2) + 5 à y = 1

el valor de x son los valores que elegí. Lo que hace X independiente y Y totalmente dependiente. ahora que tenemos los valores podemos crear nuestra gráfica. usando la pagina desmos.com/calculator la grafica que conseguimos es

de esta forma es como podemos hacer una gráfica, pero como la gráfica es simplemente una linea podemos usar uno de los principios de geometría: "la distancia mas corta entre dos puntos es una linea recta." lo que significa que solo necesitamos dos puntos para describir la trayectoria de la linea. la forma de hacerlo es seleccionando los puntos X = 0, Y = 0  entonces tendremos la siguiente tabla.

X	Y
0
	0

Ahora solucionamos la ecuación previa con solo estos valores y llenamos nuestra tabla y tendremos la misma gráfica.

X	Y
0	5
5/2	0

así funciona el método gráfico. como dije bastante simple pero a la vez complicado. Como puede ser?

usemos el siguiente escenario para una sistema de ecuaciones. 

(A) x + y = 10
(B) 2x - y = 4

Este es un sistema de ecuaciones común. usemos el método gráfico para crear una gráfica de cada 

ecuación y las pondremos en el mismo plano para comparar y encontrar una respuesta en común.

empecemos con la ecuación (A): x + y = 10

X	Y
0	10
10	0

Ahora la ecuación (B): 2x - y = 4

X

Y


0

-4


2

0

Con estos resultados podemos crear nuestras dos gráficas. Usemos Desmos.com para crearla.

 
como la gráfica muestra la linea roja corresponde a la ecuación (A) y la linea azul corresponde a la 
ecuación (B). Ambas se interceptan en un punto común y este punto en común es la solución al sistema
de ecuación




El punto (4.667,5.333) o (14/3, 16/3) satisfacen la ecuación. puedes confirmarlo reemplazando "x" y 
"y" en la ecuación por estos valores y deberás obtener lo mismo.


Como se puede ver el método gráfico es simple de usar pero encontrar la respuesta requiere precisión a la
hora de crear la gráfica pues si tenemos fracciones no es tan obvio a como puede ser con números enteros. 

 Preguntas y sugerencias por favor dejarlas en los comentarios o en la Pagina de Facebook. Si algún tema de interés que les gustaría debatir o alguna ayuda pueden contactarme en cualquier momento. Muy pronto estaremos abriendo un canal de Youtube donde pueden ver los ejemplos y una explicación de lo que hacemos aquí. 

Sistema de Ecuaciones

    Un sistema de ecuación es un sistema de dos o más ecuaciones que comparten una solución en común. Esta solución es común entre todas las ecuaciones. Un sistema de ecuación puede ser linear, cuadrática, cúbica, etc, depende del grado de la variable. En este caso primero estudiaremos ecuaciones lineales. Vamos a presentar tres formas diferentes de resolver los sistemas de ecuaciones lineales. personalmente creo que estos son los tres sistemas mas fácil y útiles, ya que pueden ayudar en el futuro a facilitar el entendimiento de cosas más complicadas.

    Lo primero a presentar es que estos sistemas de ecuaciones serán de dos variables Ax+By=C. estos es lo que permite que los métodos que vamos a usar funcionen.

    En un sistema de ecuaciones pueden haber tres tipos de soluciones. (1) las ecuaciones tienen una solución en común, (2) las ecuaciones no tienen solución en común, (3) la solución de las ecuaciones es infinita (de forma gráfica tendrá más sentido que la solución matemática). Los métodos que vamos a usar son el método de substitución, y el método de eliminación, el método gráfico, en este post hablaremos del método de substitución y eliminación.

Método de Substitución.
consideremos el siguiente sistema de ecuación.

5x - 2y = 4

2x + 3y =13

    el método de substitución se utiliza para eliminar una de las dos variables (cualquiera que deseamos), y terminamos con una simple ecuación de una variable que podemos usar para encontrar los valores que satisfacen la ecuación. los pasos a seguir son los siguientes.

• 1ero. Resuelve una de las ecuaciones para una de las variables.
• 2do. Sustituye esa variable en la otra ecuación.
• 3ero. Resuelve la ecuación del paso dos.
• 4to. Sustituye el resultado del paso tres en la primera ecuación para encontrar el valor de la otra variable,
• 5to. Verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.

Utilicemos el ejemplo de arriba y resolvamos la primera ecuación para la variable "y"

5x – 2y = 4

-5x           -5x

-2y = 4 -5x

y = (4 - 5x)/-2

 Ahora que conocemos el valor de "y'' podemos remplazarlo en la segunda ecuación y así sabremos el valor de "x''.

2x + 3y =13
2x + 3((4 - 5x)/-2) =13,  Ahora podemos resolver la ecuación lineal para 'x'  y el resultado que obtenemos es x = 2. Utilizando la solución de 'y' y reemplazando 'x' por su valor encontramos el valor de 'y'

y = (4 - 5(2))/-2

y = 3

    Y así es como funciona el método de sustitución. requiere manipulación de variables y gran dominio de los principios básicos del álgebra.

Método de Eliminación

    requiere el uso de las dos ecuaciones simultáneamente donde eliminamos una ecuación y una variable y así nos quedamos con una ecuación lineal para resolver. Los pasos para resolver un sistema de ecuación con este método son los siguientes.

• 1ero. escribir ambas ecuaciones en forma estándar Ax + By = C
• 2do. hacer que los coeficientes de un par de las variables sean iguales y opuestos, es decir, que tengan el mismo valor numérico pero con signos opuestos.
• 3ero. sumar las dos nuevas ecuaciones y confirmar que una de las variables se elimina. el resultado de la suma deberá ser una ecuación con una variable.
• 4to. resuelve la ecuación encontrada en el paso tres.
• 5to. sustituye el resultado del paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable 
• 6to. verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.

Vamos a verificar con el mismo sistema de ecuación 

5x - 2y = 4

2x + 3y =13

Ambas ecuaciones ya están escritas en la forma estándar así que ahora vamos hacer los coeficientes de una variable igual. vamos a elegir 'y' pues sus valores son más pequeños. para hacer esto debemos de multiplicar cada variable por el coeficiente opuesto, es decir:

(1) 5x - 2y = 4

(2) 2x + 3y =13

el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (1) es -2, y el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (2) es +3. como tenemos que cambiar el signo de uno de los coeficiente para que se cancelen vamos a cambiar el signo del coeficiente de la ecuación (1), de esta forma uno será positivo y el otro negativo. Luego multiplicamos las ecuaciones por los coeficientes opuestos.

(3) (5x - 2y = 4) --> 15x - 6y = 12

(2) (2x + 3y =13) --> 4x + 6y = 26

Ahora que  podemos eliminar 'y'  lo hacemos como una simple suma de primer grado.

15x - 6y = 12

4x + 6y = 26

19x      = 38

Esto es sólo una ecuación de primer grado que podemos resolver

x = 38/19 --> x = 2

Sustituyendo cualquiera de las ecuaciones por este valor podemos encontrar el valor de 'y' y confirmar que y = 3. Personalmente podría decir que este proceso es más simple y rápido.

Esto será todo por ahora. Para el próximo post usaremos más ejemplos para solidificar este conocimiento y explicaremos el método gráfico. Preguntas y sugerencias por favor dejarlas en los comentarios o en la Pagina de Facebook. Si algún tema de interés que les gustaría debatir o alguna ayuda pueden contactarme en cualquier momento. 

Inecualidades II

Inecualidades lineales con una variable

Una inecuación lineal con una variable puede ser escrita en la forma "Ax + B < C," Donde A, B y C son números reales con A ≠ 0.

Como definimos en el pasado post la solución de las inecuaciones se expresan en la forma de notación de intervalo. la siguiente tabla resume esto.



Para resolver una inecuación debemos encontrar todos los números que hacen la inecuación verdadera. por lo general una inecuación tiene un infinito número de soluciones. Las técnicas utilizadas para resolver una inecuación nos permten encontrar el número más pequeño y el más alto aceptable en la solución, estos son los extremos del intervalo. veamos una inecuación directamente.

14 + 2m < 3m

14 +2m -2m < 3m - 2m

14 < m

En esta inecuación tenemos que nuestro resultado es 14 menor que "m". esto quiere decir que cualquier número donde "m" sea mayor que 14 satisface la inecuación. Un ejemplo en la forma de intervalo es el siguiente(14,infinito)

Algo que cabe destacar es que las inecuaciones se resuelven usando el mismo procedimiento que el de una ecuación, sin embargo hay un pequeño cambio que se debe resaltar. Cada vez que se multiplica o se divide por un número negativo el signo de la inecuación cambia. Ejemplo.

-2x +4 > -2

-2x > -2 -4

-2x > -6

X > -6/-2

X < 3 

El signo inicial era x >  pero al dividir por un número negativo (-2) el signo cambio x <

¿Qué significa esto gráficamente?

El número es la línea fronteriza que divide el plano en los números que satisfacen la inecuación y los números que no. Los números que satisfacen la inecuación están sombreados para ser distinguidos de la otra frontera, es decir hay un lado más ocuro que el otro y ese lado más oscuro son los valores que satisfacen la inecuación. La línea de la frontera depende del símbolo que se usa. Si los símbolos usados son <,> la línea frontera será una línea cortada (----). Si los símbolos usados son mayor o igual que, menor o igual que la línea es una línea sólida ( ____ ). Veamos un ejemplo

el ejemplo previo indica que "x" es menor que 3, esto sera una linea cortada.

si vemos la frontera donde X=3 es una linea cortada que significa que el número 3 no es parte de la solucion. la parte sombreada son todos los numeros que hacen la inecuacion verdadera y la parte no sombreada son los números que hacen la inecuacion falsa.

Hay otra forma de graficar y está es en la recta numérica. Aquí la representación puede ser con sus paréntesis y corchetes, o puede ser con círculos abiertos o cerrados. Esto depende de la persona que lo decida usar. Veamos un ejemplo.

Estan son las dos formas mas comunes de la recta numérica. Ahora les dejo unos ejercicios para que practiquen, estas inecuaciones son para que las resuelvan y traten de hacer su gráfica. En el próximo post estarán las respuestas.

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Inecuaciones

     Como su nombre lo indica expresa que dos entidades no son iguales. Resolver una inecualidad es similar a la forma de resolver ecuaciones. los símbolos usados para inecuaciones son <, >,  ≥ y ≤. estos estan asociados con el intervalo que representan. Antes de mostrar como trabajar con las inecuaciones hay que estar familiarizado con algunos términos primero.

Notación de Intervalos.

     El lenguaje matemático usado para describir un conjunto de números se les conoce como notación. En una notación de intervalos al describir los límites (donde empieza y donde termina), describimos el intervalo que ocupa dicho conjunto de números o notación. Usemos un ejemplo simple. Para describir los diez primeros números, sin contar el cero, nos referimos al conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ó mas bien los números del 1 al 10. En lenguaje aritmético simplemente tenemos [1,10] donde 1 es el límite de inicio o el número más pequeño posible dentro de la notación, y 10 el límite final o el número más alto posible dentro de la notación, eso es la notación de intervalo. 

     Para las ecuaciones la respuesta es un valor específico. En la recta numérica se representa como un punto. Esto indica que solo ese número satisface la ecuación. En la inecuación es diferente. Examinemos los símbolos que presentamos al inicio.

•  < menor que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera menor que el valor de la derecha. 
•  > mayor que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera más alto que el valor de la derecha.
•  ≥ mayor o igual que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera más alto o puede ser igual que el valor de la derecha.
•  ≤ menor o igual que: indica que el valor a la izquierda del símbolo siempre sera menor o puede ser igual que el valor de la derecha.

Ejemplos.

     Si organizamos los números 10 y 5 en ese orden decimos que 10 > 5, se lee diez es mayor que cinco. si ponemos el cinco primero, entonces 5 < 10, se lee cinco es menor que diez.

Otros ejemplos.

             3 < 4                                         7 > 2                                          300 < 450
   tres menor que cuatro            siete mayor que dos       trescientos menor que cuatrocientos cincuenta

¿Por qué es esto importante?
     Las inecuaciones no expresan una única solución, en cambio, indican que la solución será todo numero mayor o menor que el numero identificado. Ejemplo: -2 < x < 1, en este caso tenemos todos los números que hacen "x" mayor que menos dos pero menor que uno (-1, 0, 0.5, 0.9), la respuesta no es solo números naturales así que se puede decir que los números que satisfacen la inecuación son infinitos.
     Como describimos previamente, conocer notaciones es importante para conocer que números abarca la respuesta. Hay varios tipos de intervalos: intervalos abiertos, intervalos cerrados e intervalos semiabiertos.

• Intervalo abierto: se expresa con dos paréntesis "( )." Se usan para expresar que una cantidad es mayor o menor y los límites no están incluídos en la solución, ejemplo. (5,8) son todos los números entre cinco y ocho sin contar el cinco o el ocho, 6, 7 son dos números.
• Intervalo cerrado: se expresa con dos corchetes "[ ]." Se usa para expresar que los límites están incluídos en la respuesta, ejemplo. [5,8] son todos los números del cinco al ocho incluyendo el cinco y el ocho, 5,6,7,8.
• Intervalo semiabierto: se expresa con un corchete y un paréntesis. Indica que uno de los límites esta incluído y el otro no. Puede ser de dos formas "( ]" o "[ )" ejemplo. (5,8] los números del cinco al ocho sin incluir el cinco pero se incluye el ocho.

el símbolo infinito "∞" aparece muy a menudo y siempre se utiliza paréntesis con el: ejemplo (-∞,∞); [5,∞); (-∞,3].

¿Por qué los intervalos son importantes?

los intervalos ayudan a reconocer el tipo de símbolo utilizado en la inecuación, el paréntesis denota que la operación sera mayor o menor que; los corchetes denotan que la operación puede ser mayor, menor o igual que. ejemplo.

(5,8)  (5 números mayores que cinco, 8) números menores que 8.

[5,8] [5 números mayores o igual que cinco, 8] números menores o igual que 8.

Por ahora esto es todo. en el próximo post continuaremos con las inecuaciones. Ahora que los intervalos han sido clarificados la mejor forma de recordar esto es a traves de la práctica. así que vamos a usar algunas inecuaciones para ver como funciona en el próximo post.

Si tienen alguna pregunta no duden en escribirme o dejar un comentario. Pueden encontrarnos en facebook como aprende matematicas jmd o directamente en este post.

Uso de las ecuaciones lineales en el mundo real

     Las ecuaciones de primer grado también son conocidas como ecuaciones lineales (más adelantes explicaré por que). Producir una expresión matemática está directamente vínculada con nuestro conocimiento de las operaciones básicas. aquí hay algunas formas de reconocer las simple operaciones matemáticas en un enunciado.

Expresión Verbal Expresión Matemática Adicción o Suma la suma de un número y 7 x + 7 6 mas que un número x +6 24 agregado a un número x + 24 un número aumentado por cinco x + 5 la suma de dos números x + y Resta o Sustracción dos menos que un número x - 2 doce menos un número 12 - x un número disminuido por doce x - 12 un número sustraído de 10 10 - x la diferencia entre dos números x - y Multiplicación 16 veces un número 16x un número multiplicado por 6 6x dos tercio de un número 2/3 X el producto de dos números xy División el cociente de 8 y un número 8/x un número dividido entre 13 x/13 la relación de dos números x/y cinco entre otro número 5/x

     La sustracción y la división no tienen propiedad conmutativa así que el orden en el que se organiza es muy importante ya que puede influir a obtener una respuesta diferente. El signo de igualdad a menudo es expressado con la palabra "es" o directamente diciendo "igual a" o "igual que," por ejemplo " la suma de dos números es igual a 3 (x + y = 3). 

     Existen muchas formas diferentes de resolver un enunciado matemático. Aquí les mostraré una de las formas para hacerlo. Para este método solo debemos seguir los siguientes pasos.

1ero. Leer el problema detenidamente hasta que entiendas lo que se te pide.

2do. Asignar una variable para representar la cantidad desconocida. 

3ero. Escribir la ecuación usando las expresiones de la variable

4to. Resolver la ecuación para encontrar el valor de la variable

5to. Comprobar que el valor encontrado satisface la ecuación

6to. Establece tu respuesta.

Veamos un ejemplo. 

La longitud de un rectángulo es 1cm más que el doble de su ancho y su perímetro es 110cm. establezca la longitud y el ancho del rectángulo.

1ero. Lee el problema detenidamente hasta que entiendas lo que se te pide. 

En el problema se nos pide que encontremos el valor de la longitud y el valor de la anchura.

2do. Asigna una variable para representar la cantidad desconocida.
Para este problema tenemos la longitud y el ancho. sabemos que la longitud es 1cm mas que el doble de su ancho, pero no sabemos el ancho asi que dejaremos que nuestra variable sea el ancho y lo representamos con x mientras la longitud sera 1 + 2x que es lo que el enunciado describe.

3ero. Escribe la ecuación usando las expresiones de la variable.

Para escribir una ecuación con estos datos debemos tomar en cuenta el último factor que en este caso es el perímetro. La fórmula para encontra el perímetro es la suma de todos los lados y como un rectangulo consta de cuatro lados donde su longitud y su ancho es igual para ambos lados podemos expresarlo de la siguiente manera:

perimetro = longitud +longitud + ancho + ancho

perimetro(P) = 2(longitud) + 2(ancho) 

P = 2(1 + 2x) + 2x

4to. Resuelve la ecuación para encontrar el valor de la variable

2(1 + 2x) + 2x = 110

2 + 4x + 2x = 110

2 - 2 + 6x = 110 - 2

6x = 108

6x/6 = 108/6

x = 18

5to. Comprobar que el valor encontrado satisface la ecuación

ancho = 2x = 2(18) = 36

longitud = 2(1 +2x) = 2(1 + 2(18)) = 2(1+36) = 2(37) = 74

perimetro = 36 + 74 = 110

6to. Establece tu respuesta.

longitud = 74                           ancho = 36

Otro ejemplo:

Dos de los mas prominentes pitcher de las grandes ligas fueron Roger Clemens y Greg Maddux. Durante 1984 y 1999 ellos picharon en 916 juegos. Clemens pichó 44 juegos más que Maddux. ¿Cuántos juegos picharon cada uno?

1ero. Nuestro problema es identificar cuantos juegos picharon cada uno.

2do. La información que tenemos es que Clemens pichó 44 juegos más que Maddux. Con esta información vamos a describir a Maddux con la letra "m" y Clemens "m + 44."

3ero. Nuestra ecuación nos dice que la cantidad total de juegos fue 916, esto implica que la suma de los juegos de los dos pitchers debe ser esa cantidad "m + (m + 44) = 916."

4to.

 m + (m + 44) = 916

2m + 44 = 916

        -44    -44

2m = 872

m = 872/2

m = 436

5to. comprobamos nuestra respuesta (m + m +44)

436 + 436 + 44 = 872 +44 = 916

6to. nuestra respuesta es:

Maddux pichó 436 juegos

Clemens pichó 436 + 44 = 480

Con estos ejemplos creo que ya pueden dominar la aplicación de problemas. si tienen alguna pregunta por favor dejen su comentario o visiten nuestra página en facebook. El próximo post hablaremos de inecualidades y luego explicaremos el método gráphico para resolver ecucaciones e inecuaciones.

Aquí está la respuesta del pasado post.

x = 7

x = 6

X = -12

x = 1