Polinomios II

Multiplicación de Binomios

      Los binomios tienen algunas características con respecto a la multiplicación que hace los cálculos más simples.

      Si un binomio es multiplicado por sí mismo es igual que ser elevado al cuadrado.

(2x² +3y) * (2x² +3y) = (2x² +3y)²

     La multiplicación de un binomio por su conjugado es igual a la diferencia  del cuadrado de los términos.

(a + b) * (a - b) = a² – b²

     Cuando tenemos un binomio elevado al cuadrado podemos aplicar una técnica llamada binomio de newton. “el primer monomio es elevado al cuadrado, más dos multiplicado por el primer y segundo monomio, más el segundo monomio al cuadrado.”

(2x² +3y)² = (2x²)² + 2(2x)(3y) + (3y)²

4x⁴ + 12xy + 9y²

Demostración 

Recordatorio: en la multiplicación los exponentes de la misma letra se suman y los coeficientes se multiplican

^·          División de polinomios

     A diferencia de la multiplicación, en la división los exponentes se restan y los coeficientes se dividen.  Como toda división contamos con un dividendo (el polinomio que se va a dividir) y un divisor (el polinomio que divide).

Un ejemplo simple para mostrar los pasos:

Resultado: X²

     En este ejemplo vemos los pasos a seguir para realizar una simple división pero como podemos trabajar un problema como el siguiente:

x⁵ + 2x³ − x – 8 ÷ x² − 2x + 1

     

     Para trabajar con un problema así debemos seguir los siguientes pasos. 

1.       Los polinomios deben ser organizado en orden descendente (de mayor a menor) según sus exponentes, si hay algún exponente faltante se expresa con un espacio en blanco o con el numero 0 (cero) ya que cualquier numero multiplicado por cero es igual a cero.

2.       Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

3.       El resultado de esta división se multiplica por cada uno de los términos del divisor.

4.       El resultado de esta división es restado del dividendo.

5.       El proceso se repetirá hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor o el divisor sea igual a cero.

Ejemplo:

(11x² + 6 - 5x³ + x⁴ - 12x) ÷ (-3x + x² + 3)

1er paso: organizar en forma descendente.

2do paso: dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

3er paso: multiplicar por cada término del divisor.

4to paso: restar los términos semejantes.

5to paso: repetir  todo el proceso  hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor o el divisor sea igual a cero.

Otro ejemplo

    Las reglas para la división de fracciones también se aplican para los polinomios.

     A veces el divisor es simplemente un monomio. Esto facilita la división ya que al tener un solo término podemos dividir directamente. 

     con esto concluimos las operaciones básica de los polinomios. para el próximo post empezaremos explicando las variables y ecuaciones y luego regresaremos con nuevas operaciones de polinomios. 

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios. Cuando solo hay dos monomios se le llama binomio, cuando hay tres monomios se les llama trinomio, cuando hay cuatro, cinco o mas no se usan prefijos numerales, simplemente se les llama polinomios.

2x³ + 5x – 3

^{Estos tres monomios unidos conforman un trinomio}

Las operaciones aritméticas que se pueden usar con los polinomios son extensas y cada una tiene sus propias reglas.

Operaciones con Polinomios

·         Suma y resta de polinomios.

Para la suma y/o resta de polinomios se debe tomar en cuenta que los términos tengan la mismas variables y el mismo exponente en cada variable, es decir deben ser términos semejantes y solo los coeficientes se sumaran o restaran mientras que las variables y los exponentes se mantendrán igual.  Ejemplo llamemos al primer polinomio p(x) = 2x² + 6x + 5 y el segundo polinomio Q(x) = 3x² - 2x – 1, la suma entonces la expresamos como:

P(x)  + Q(x) = 5x² +4x + 5

Si usamos la regla de la resta tendremos 

P(x) – Q (x) =  - x²  + 8x + 6

Otra forma de representar la suma/resta de los polinomios podría ser:

p(x) = 2x² + 6x + 5; Q(x) = 3x² - 2x – 1 entonces:

 p(x)  + Q(x) = (2+3)x² + (6-2)x + (5-1) = 5x² +4x+4

Para representar la resta hay que cambiar los signos primero y eso hace los cálculos un poco más tedioso pues hay que mantener la pista de todos los signos para evitar confusiones.

NOTA: para la suma de los polinomios se aplican las reglas conmutativa y asociativa (p(x)  + Q(x) = Q(x) + P(x)).

·         Multiplicación de polinomios.

En la multiplicación de polinomios es un poco más compleja. Los coeficientes se multiplican y los exponentes de las letras que son iguales se suman mientras que las letras diferentes se juntan. Para los signos se utilizan las reglas convencionales de la multiplicación (signos diferentes será negativo, signos iguales será positivo).

Ejemplo:

Nota: el símbolo “x” de multiplicación es remplazado por un punto o paréntesis para evitar confusiones con las variables.

Cuando el número de elementos en los polinomios es diferente hay que multiplicar cada elemento del primer polinomio debe ser multiplicado por cada elemento del segundo polinomio.

Ejemplo: 3x² . (2x³ – 3x² + 4x -2)

Multiplicación de un binomio por un trinomio. P(x) = 2x² – 3; Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x)

Hay que tener cuidado a la hora de multiplicar y asegurarse que todos los términos del primero estas siendo multiplicados por todos los términos del segundo. Como resultado obtenemos.

4x⁵ - 6x⁴ + 8x³ - 6x³ + 9x² - 12x como se puede ver hay dos números que son semejantes. Cuando esto sucede aplicamos la regla de operación de los signos que ellos tengan. En este caso será una resta porque los signos son diferentes. Como resultado final tendremos.

4x⁵ – 6x⁴ + 2x³ +9x² -12x

Continuaremos la explicación en el próximo post, si tienen una pregunta pueden escribirme al correo, Facebook, google plus, o dejar un comentario. Les dejo unos cuantos videos para que vean una explicación grafica del tema.

Suma de polinomios

https://www.youtube.com/watch?v=oSTi6Mxqj8M

https://www.youtube.com/watch?v=fhMBrzn7VTE

resta de polinomios

https://www.youtube.com/watch?v=V3j9rkFYNfY

https://www.youtube.com/watch?v=cYa90WpGahQ

multiplicación de polinomios

https://www.youtube.com/watch?v=PISqWbVV7P4

https://www.youtube.com/watch?v=ve5gBvV7dIY

Monomios

Un monomio es una expresion algebraica que consta de:

     Es la expresión más pequeña del algebra.  Un monomio puede tener mas de una letra como también puede no tener ninguna. Un monomio es diferenciado de otro gracias al signo. Al conjunto de mas de dos monomios es conocido como polinomio (poli -multiple).

     La únicas operaciones posibles en un monomio son multiplicación y exponenciación pero para ello es necesario asignar un valor a la variable o parte literal. Si otro monomio es agregado dejaría de ser un monomio.

 Solo puede ser clasificado como monomio aquellos que tienen exponente natural.

Puntos a tomar en cuenta a la hora de definir un monomio

•       Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).
•      Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.
•      Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.
•      Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que: 

•   El grado es definido por el exponente de las letras. Este puede ser absoluto (la suma de los exponentes de todas sus partes literales) o con relación a una letra.

Grado de un monomio

el grado es determinado por los exponentes de las letras.

La expresión  2x²y tiene un grado absoluto 3 (grado de x = 2; el grado de y = 1)

Monomios semejantes.

     Dos monomios son semejantes si estos contienen la misma y el mismo grado exponencial, el coeficiente puede variar.

2a³b² es similar a 15a³b²

       

EL PROXIMO POST SERA SOBRE LOS MONOMIOS Y SUS OPERACIONES MATEMATICAS

Algebra

Algebra

    Cuando las personas escuchan la palabra algebra  lo primero que llega a sus mentes es algo como:

·        X²  + 3x - 8 = 0

·        La suma de dos números son 15. El primero es mayor que el segundo por cinco. ¿Cuáles son esos valores?

    Estos son buenos ejemplos del campo de estudio del algebra pero no el álgebra puede resumidas a expresiones como estas.  El siguiente ejemplo es otra muestra de algebra.

-

2

=

4

Esto lo hemos visto desde que fuimos introducidos a operaciones aritméticas con números (suma, resta, multiplicación,…, etc.), hemos tenidos que resolver esta clase de problemas. Ahora si sustituimos el cuadro por alguna letra, digamos X, tenemos:

X

-

2

=

4

Ahora si tenemos una expresión a la que estamos acostumbrados pero es simplemente lo mismo a lo que hemos visto desde pequeños. Entendido esto ¿Qué es realmente Algebra?

Algebra es el lenguaje mediante el cual describimos patrones. Piense en ello como una taquigrafía, o algo parecido. Al contrario de tener que algo una y otra vez, el álgebra nos ofrece una forma sencilla de expresar un proceso repetitivo. También es visto como un "guardián" del asunto. Una vez que lograr una comprensión del álgebra, los temas de matemáticas de nivel superior se vuelven accesibles. Es usado por personas con un montón de diferentes puestos de trabajo, como la carpintería, la ingeniería y el diseño de moda. 

Con los videos juegos podemos correr, saltar o encontrar cosas secretas. Bueno, con álgebra jugamos con letras, números y símbolos, y también llegar a encontrar cosas secretas. Si nos enfocamos en ver algebra como un juego donde debemos encontrar el valor de la variable entonces será mucho más simple.

La historia del álgebra, como en general la de la matemática, comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax² + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x² + y² = z², con varias incógnitas.

Los antiguos babilonios, por su parte, resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles.

Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-jabru que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra)

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x³ + 2>x² + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra.

Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos.

 Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.

 Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano de los números complejos.

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas.

George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

Para esta ocasión vamos a ampliar y explicar algunos de los conceptos más importantes del algebra. Estos son:

• ·        Ecuaciones lineales
• ·        Desigualdades
• ·        Funciones parte 1
• ·        Ecuaciones lineales con dos variables
• ·        Sistemas de ecuaciones lineales
• ·        Ecuaciones cuadráticas
• ·        Factorizaciones
• ·        Funciones parte 2
• ·        Ecuaciones exponenciales
• ·        Razones y proporciones.

Para mayor conocimiento puede visitar los siguientes sitios:

https://es.khanacademy.org/math/algebra

https://www.youtube.com/watch?v=ocu_CnIwuRU

es.wikipedia.org/wiki/Álgebra

http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html

Medidas de Dispersión III

Desviación típica o Estándar (s)

la definición mas simple para la desviación estándar es la raíz cuadrada de la variación.

donde cada X representa cada valor de los datos restado por la media y elevado al cuadrado, y dividido entre la cantidad de datos recolectados (N).

Propiedades de la Desviación Estándar

1. la desviación estándar sera siempre un valor positivo o cero en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2. si a todos los valores de la variable se les suma un numero, la desviación estándar no varia.

3. si todos los valores de la variable se multiplican por un numero, la desviación estándar queda multiplicada por dicho numero.

4. si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación total. 

Nota: si no se puede determinar la media tampoco sera posible determinar la desviación típica.

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. es representado en datos como ± (mas o menos) para indicar el rango aceptable que cubren los datos. 

Ejemplo:

Calcular la desviación estándar de los siguientes datos: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

primero: calculamos la media o promedio

conociendo la media procedemos a calcular su desviación estándar

si organizamos nuestros datos tendremos que nuestro promedio fue 9 ± 3.87. cualquier valor entre el rango 5.13 y 12.87 es aceptable para el promedio.   

si tenemos una tabla de distribución los cálculos son aun más fácil de conseguir.

con el total de datos recolectados y el total número de observaciones podemos determinar el promedio.

con el número mágico que tenemos sombreado en amarillo que es simplemente la suma de todos los números de arriba podemos calcular nuestra desviación estándar ya que esta tabla representa cada número de la ecuación

 y como resultado tenemos.

Espero que esto les haya ayudado. debajo encontraran algunos links para videos que explican este proceso y otros sitios web que les puedes ayudar. 

http://www.ditutor.com/estadistica/desviacion_estandar.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar.html

https://www.youtube.com/watch?v=W8gyyMsMx80

https://www.youtube.com/watch?v=YC9158GWkpY

https://www.youtube.com/watch?v=2FPsN0oZsyU

Medidas de dispersion II

Desviación Media

se define como la media aritmética del valor absoluto de las desviaciones individuales de los valores de la variable con relación a un  promedio.  En su cálculo a diferencia del rango y la desviación intercuartìlica. Se toman en cuenta todos los valores de la variable lo que la hace ser más objetiva que las dos anteriores.

• Desviación Media Para datos NO agrupados:

Ejemplo: El número de pasajeros que abordaron 7 autobuses del transporte público al salir de su terminar durante una hora fue como sigue:

Xi= 35, 40, 43, 44, 45, 46, 46 

 Hallar la desviación media del conjunto de datos anteriores.

1er Paso: Hallar la media aritmética (promedio)

2do. Paso: Restar a cada valor de la variable del promedio

Xi	Xi-X
35	|35-43| = 8
40	|40-43| = 3
43	|43-43| = 0
44	|44-43| = 1
45	|45-43| = 2
46	|46-43| = 3
46	|46-43| = 3

3er Paso. Sumar todos los valores y restarlo por la cantidad de valores

DM =  Σ|Xi-X|  = 8+3+0+1+2+3+3 = 20 = 2.9 pasajeros = 3 pasajeros (redondeado)

                N                     7                   7

• Desviacion Media para Datos Agrupados

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

Peso en Kgs	fi                 (No. Personas)
[50, 60)	8
[60, 70)	10
[70, 80)	16
[80, 90)	14
[90, 100)	10
[100, 110)	5
[110, 120)	2
Total	65

1er Paso: Hallar la media aritmética para datos agrupados

X=Σ|Xi.fi|

        N

Con todos los datos organizados ahora si podemos calcular la desviacion media

Varianza s²

Es la media aritmetica del cuadrado de las desviaciones respect a la media de una distribucion estadistica.

Se representa como S² o σ^2.

Para encontrar la varianza sigue estos pasos:

1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado). 
3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado. 

¿por qué al cuadrado?

Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza)

Y también hacen que las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 100²=10,000 es mucho más grande que 50²=2,500.

Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que lo deshacemos (con la raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.

Propiedades de la varianza 

Dos propiedades importantes de la varianza son:

1.     La varianza de una constante es cero

2.     Otra propiedad importante es que si se tiene la varianza s² de de un conjunto de datos y a cada observación se multiplica por una constante b, entonces la nueva varianza de los datos se obtiene multiplicando a la varianza de los datos por  b².

Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establcidas en los capítulos anteriores, la varianza se puede escibir como  

Ejemplo

Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Solución: Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media: 

La varianza es:

Otro ejemplo:

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050