Aprende Matemáticas JMD: u substitution

lunes, 27 de noviembre de 2023

Mas Ejemplos de Integración por Partes

Evalúa las siguientes integrales.

Para poder resolver esta integral tendremos que utilizar dos métodos. El método de u sustitución e integración por partes. Usemos letras diferentes para no confundir sustitución de u con integración por partes.

Sea t = πθ àdt = π dθ ; ¹/ _πdu = dθ

Sea u = t à du = dt; dv = cos(t) dt à v = sin(t)

Si usamos LIATE obtenemos u = ln(x) à du = 1/x dx; dv = xdx à v = ½ x ². También te recomiendo que en cada apartado que resuelvas la integral la evalúes, de esa manera podrás llevar un registro de los valores de la respuesta.

La forma más sencilla que considero de evaluar esta integral es dividirla en varias integrales y evaluar cada una individualmente.

Usando integración por partes evaluamos la primera integral. Sea u = x ²à du = 2x; dv = e ^xdx à v = e ^x.

Volvamos a la integración por partes. Curiosamente, la integral que resolveremos es también la segunda integral que tendremos que resolver más adelante, por lo que esto facilitará las cosas.

Sea u = 2x à du = 2dx; dv = e ^xdx à v = e ^x

También es la solución de nuestra siguiente integral, por lo que solo nos falta la integral final.

Ahora debemos juntarlo todo y simplificarlo.

Usemos LIATE para resolver esto. Sea u = cos(y) àdu = –sin(y) dy; dv = e^–ydy àv = –e^–y

Tenemos que volver a aplicar la integración por partes. Sea u = sin(y) àdu = cos(y) dy ; dv = e^–ydy à v = –e^–y

Como en la publicación anterior, podemos terminar con la integral original para poder usar las propiedades de la ecuación y llevarla al otro lado.

Para resolver este caso primero debemos usar la sustitución u y luego descubriremos algo interesante. Para evitar confusiones con la integración por partes, utilizaré una letra diferente. Sea t = 2xà dt = 2dx entonces ½ dt = dx.

Esta integral es similar al problema anterior con un seno en lugar de un coseno. Entonces nuestra respuesta será similar, pero con un cambio de signo y un ½ término extra (si no estás seguro de por qué puedo hacer esta afirmación, busca las propiedades derivadas del seno y el coseno como funciones pares e impares).

Ahora bien, este problema parece muy complicado, pero en realidad es muy simple. De hecho, no necesitamos utilizar la integración por partes para resolver. Preferiríamos utilizar la sustitución u para facilitar mucho el problema.

Sea u = x ² àdu = 2xdx; ½ du = xdx

Si te preguntas cómo encontré la integral para esta función trigonométrica, me expandiré más en la próxima publicación cuando tratemos la integración de funciones trigonométricas.

En este caso necesitamos usar la integración por partes y para simplificar el cálculo, también usaré una identidad trigonométrica para cambiar mi expresión hacia algo más manejable. Sea u = x àdu = dx; dv = tan ²(x)dx; ¿v =? para encontrar la primitiva de tan ²(x) sustituiré la función por una identidad.

Si lees mi post sobre “antiderivadas” podrás encontrar la antiderivada de la sec²(x) que es tan(x), quedando así la antiderivada de tan²(x) = tan(x) – x y esta es v.

Al evaluar la integral a medida que avanzamos evitamos agrupar el problema, lo que a su vez simplifica las cosas.

El valor de tan (π/3) y sec(π/3) no es fácil de encontrar. Generalmente la gente memoriza estos valores o usa una calculadora, en mi caso tengo una tabla diseñada con los valores comunes para los ángulos más comunes. Si alguien está interesado, hágamelo saber y puedo compartirlo en una publicación o en la sección de comentarios.

Mantengamos la tendencia y usemos la integración por partes en este caso. Sea u = x àdu = dx; dv = √ (1 – x). para una mejor comprensión se puede reescribir como dv = (1 – x) ^½dxà v = –2/3 (1 – x) ^3/2. Para este caso voy a encontrar la solución completa de la integral y luego la evaluaré para ver cómo se compara con la anterior.

Ahora podemos evaluar.

Esta integral requerirá que integremos varias veces, por lo que es mejor evaluar a medida que avanzamos para evitar saturar nuestro problema. Por supuesto, eso depende de la persona que resuelve el problema. Si te sientes más cómodo resolviendo todo al final también es bueno.

Sea u = x³ à du = 3x²dx; dv = cos(2x)dx à v = sin(2x)/2

Apliquemos nuevamente la integración por partes. Tenga en cuenta que sin(π) = 0 y cos(π) = –1.

Sea u = x² à du = 2xdx; dv = sin(2x) dx à v = –cos(2x)/2

Una vez más aplicamos la integración por partes.

Sea u = x à du = dx; dv = cos(2x) dx à v = sin(2x)/2

La integral final es fácil de evaluar y no necesitamos aplicar la integración por partes. Así que finalmente podemos resolver todo.

Este es otro problema que parece intimidante, pero es bastante simple. No necesitamos usar la integración por partes porque la sustitución en u la simplificará.

Sea u = √x à du = ½ (x) ^–½dx tal que 2du = dx/√x

jueves, 5 de mayo de 2022

Integrales Indefinidas y el Método de Sustitución

Hasta ahora, hemos estudiado funciones sobre un intervalo finito [a, b] que nos permite encontrar una integral definida en el intervalo especificado. La solución es particular y específica de esa función y ese intervalo (si cambiamos el intervalo, cambiamos la solución). La integral indefinida de una función es el conjunto de todas las antiderivadas. Como dos antiderivadas cualesquiera difieren en una constante, la integral indefinida se representa como

Donde C es cualquier constante arbitraria.

Mientras que la solución de una integral definida es un número, una integral indefinida nos da una función más una constante arbitraria.

Ejemplo:

Estas funciones son muy sencillas y sus antiderivadas son simples, pero la mayoría de las funciones no son así, por lo que debemos desarrollar técnicas más generales para encontrar antiderivadas. Un método que ya probamos fue el método de sustitución, así que ampliémoslo aquí.

Ejecutar la regla de la cadena al revés

Si u es una función diferenciable de x y n es cualquier número diferente de -1, la regla de la cadena nos dice que

Esta misma ecuación dice que $\frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}}$ es una de las antiderivadas de la función ${u^n}\frac{{du}}{{dx}}$ asi que

Que se puede simplificar por du = du/dx.

Esta idea de cambiar o sustituir una expresión compleja por una nueva variable que simplifica la función es la clave del método de sustitución.

Ejemplo 2. Resuelve la integral.

Para resolver esta integración, podemos expandir la exponencial y multiplicar y obtener una expresión en la que podamos usar las propiedades de la integración, pero esta tarea puede llevar mucho tiempo, por lo que lo que podemos hacer es encontrar una sustitución que se ajuste a nuestro modelo anterior.

Hacemos u = x³ + x entonces $du = \,\frac{{du}}{{dx}}dx$ à (3x² + 1) dx. Con esto podemos sustituir la expresión.

Para que la sustitución se realice correctamente, las expresiones deben coincidir con precisión.

Sea u = 2x + 3 à du = 2dx pero la expresión du no coincide con la expresión dx por lo que debemos manipular los términos para que coincida. ½ du = dx.

Teorema: si u = g(x) es una función derivable cuyo recorrido es un intervalo I, y f es continua en I, entonces.

La regla de sustitución proporciona 3 pasos para que el método de sustitución evalúe la integral.

Donde f y g’ son funciones continuas:

Sustituye u = g(x) y $du = \frac{{du}}{{dx}}dx = \frac{{dg}}{{dx}}dx = g'(x)dx$ . Reescribir la integral $\int {f(u)du}$ .
Integrar con respecto a u.
Reemplace u por g(x) en el resultado.

Un integrando puede requerir alguna manipulación algebraica antes de que se pueda aplicar la sustitución. Si la sustitución no simplifica la función, podemos aplicarla de nuevo, o hemos hecho una elección incorrecta. El punto es que la expresión sustituida debe ser más simple que la expresión original, no más complicada.

Ejemplo 3:

Esta expresión es similar a la última integral que resolvimos, excepto que esta vez tenemos un término adicional, por lo que podemos aplicar la misma sustitución y manipularla algebraicamente para encontrar una expresión para x en términos de u.