Aprende Matemáticas JMD: Antiderivada

Hemos estudiado cómo calcular la derivada de una función, pero qué pasa si queremos saber la función de una derivada dada. En términos propios, diremos que si f es una función, queremos encontrar una función F cuya derivada sea f. si existe la función F, la llamamos la antiderivada de la función f, y este es el vínculo que conecta derivadas e integrales en cálculo.

Una función F es una antiderivada de f en un intervalo abierto I si F’(x) = f(x) para todo x en I.

El proceso de encontrar una antiderivada requiere que pensemos al revés, pero hay derivadas simples que con solo mirarlas podemos identificar su antiderivada.

Ejemplo 1. Funciones y antiderivadas.

f(x) = 2x à F(x) = x² g(x) = cos(x) à G(x) = sin(x) h(x) = 1/x à H(x) = ln |x|

Podemos comprobar las respuestas diferenciando F(x), G(x) y H(x) y ver si obtenemos f(x), g(x) y h(x) de regreso. Sin embargo, estas soluciones no son únicas, existen otras funciones que pueden proporcionar la misma función derivada, como x² + 1 ó x² + C para cualquier constante C. uno de los corolarios del Teorema del valor medio nos dice dos (funciones) antiderivadas cualesquiera difieren por una constante. Esto nos permite crear un nuevo teorema para las antiderivadas.

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es

F(x) + C

(1)

la antiderivada más general de ƒ sobre I es una familia de funciones cuyas gráficas son traslaciones verticales unas de otras.

Ejemplo 2. Encuentra la antiderivada de f(x) = 3x².

Como la derivada de x³ es 3x², la antiderivada general es

F(x) = x³ + C

El valor de la constante se puede encontrar usando condiciones especiales como las condiciones iniciales. en el ejemplo 2 si queremos que la antiderivada satisfaga F(1) = –1.

F(1) = (1)³ + C = –1

1 + C = –1

C = –2

Por lo tanto la antiderivada de la función 3x² que satisface F(1) = –1 es.

F(x) = x³– 2

Al trabajar hacia atrás, podemos derivar fórmulas y reglas para antiderivadas, pero hacer esto requerirá mucho tiempo para examinar múltiples casos y encontrar patrones. Afortunadamente para nosotros, esto ya se ha hecho, así que solo necesitamos memorizar y aprender a trabajar con ellos. Algunas de las reglas más generales para antiderivadas son estas.

Integral Indefinida

El conjunto de todas las antiderivadas de f se llama integral indefinida y se denota por.

(2)

El símbolo utilizado aquí es un signo integral, la función f es el integrando y x es la variable de integración. Usando esta notación, podemos reformular la solución del ejemplo 1 de la siguiente manera:

Esta notación se explorará más en nuestra próxima serie de cálculo y es crucial en el desarrollo de lo que se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo.

Ejemplo 3. Evaluar $\int {({x^3} - 4x + 7)\,dx}$ .

Podemos calcular cada antiderivada por separado usando la tabla anterior.

Problema de Valor Inicial y Ecuaciones Diferenciales

Encontrar una antiderivada es lo mismo que encontrar una función que satisfaga la ecuación.

$\frac{{dy}}{{dx}} = f(x)$

(3)

A esto se le llama ecuación diferencial. Para resolverlo necesitamos una función y(x) que satisfaga la ecuación. Esta función se encuentra tomando la antiderivada de f(x). la antiderivada más general.

F(x) + C

Da la solución general de la ecuación diferencial y(x). Si se nos dan condiciones especiales como

y(x₀) = y₀

Eso indica el estado inicial de la función, esto quiere decir que la función tiene el valor y₀cuando x = x₀. La combinación de una ecuación diferencial y esta condición inicial se denomina problema de valor inicial (PVI), y la solución a este problema son soluciones particulares que satisfacen las condiciones iniciales. En el ejemplo 2, la función y(x) = x³ – 2 es la solución particular de la ecuación diferencial $\frac{{dy}}{{dx}} = 3{x^2}$ satisfaciendo la condición inicial y(1) = –1. Este tipo de problemas se encuentran en todas las ramas de la ciencia.

Estudio del crecimiento y decadencia de la población.
Absorción de glucosa por el cuerpo.
Propagación de epidemias
Segunda ley de movimiento de Newton
Circuitos RL en electricidad
Y mucho más.

El entendimiento de las antiderivadas se hace más fácil por medio de la practica así que aquí les dejo unos ejercicios para que practiquen y en la próxima publicación les presentare los resultados.

Encuentre las antiderivadas de cada función.

x²- 2x + 1
x^-4 + 3x²+ 2
x^-3/2 + x²
$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}$
$- \frac{1}{2}x - \frac{4}{3}$
$\sin (\pi x) - 3\sin (3x)$
$- \pi \csc \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) \cdot \cot \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)$