Aprende Matemáticas JMD: Integrales Indefinidas y el Método de Sustitución

Hasta ahora, hemos estudiado funciones sobre un intervalo finito [a, b] que nos permite encontrar una integral definida en el intervalo especificado. La solución es particular y específica de esa función y ese intervalo (si cambiamos el intervalo, cambiamos la solución). La integral indefinida de una función es el conjunto de todas las antiderivadas. Como dos antiderivadas cualesquiera difieren en una constante, la integral indefinida se representa como

Donde C es cualquier constante arbitraria.

Mientras que la solución de una integral definida es un número, una integral indefinida nos da una función más una constante arbitraria.

Ejemplo:

Estas funciones son muy sencillas y sus antiderivadas son simples, pero la mayoría de las funciones no son así, por lo que debemos desarrollar técnicas más generales para encontrar antiderivadas. Un método que ya probamos fue el método de sustitución, así que ampliémoslo aquí.

Ejecutar la regla de la cadena al revés

Si u es una función diferenciable de x y n es cualquier número diferente de -1, la regla de la cadena nos dice que

Esta misma ecuación dice que $\frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}}$ es una de las antiderivadas de la función ${u^n}\frac{{du}}{{dx}}$ asi que

Que se puede simplificar por du = du/dx.

Esta idea de cambiar o sustituir una expresión compleja por una nueva variable que simplifica la función es la clave del método de sustitución.

Ejemplo 2. Resuelve la integral.

Para resolver esta integración, podemos expandir la exponencial y multiplicar y obtener una expresión en la que podamos usar las propiedades de la integración, pero esta tarea puede llevar mucho tiempo, por lo que lo que podemos hacer es encontrar una sustitución que se ajuste a nuestro modelo anterior.

Hacemos u = x³ + x entonces $du = \,\frac{{du}}{{dx}}dx$ à (3x² + 1) dx. Con esto podemos sustituir la expresión.

Para que la sustitución se realice correctamente, las expresiones deben coincidir con precisión.

Sea u = 2x + 3 à du = 2dx pero la expresión du no coincide con la expresión dx por lo que debemos manipular los términos para que coincida. ½ du = dx.

Teorema: si u = g(x) es una función derivable cuyo recorrido es un intervalo I, y f es continua en I, entonces.

La regla de sustitución proporciona 3 pasos para que el método de sustitución evalúe la integral.

Donde f y g’ son funciones continuas:

Sustituye u = g(x) y $du = \frac{{du}}{{dx}}dx = \frac{{dg}}{{dx}}dx = g'(x)dx$ . Reescribir la integral $\int {f(u)du}$ .
Integrar con respecto a u.
Reemplace u por g(x) en el resultado.

Un integrando puede requerir alguna manipulación algebraica antes de que se pueda aplicar la sustitución. Si la sustitución no simplifica la función, podemos aplicarla de nuevo, o hemos hecho una elección incorrecta. El punto es que la expresión sustituida debe ser más simple que la expresión original, no más complicada.

Ejemplo 3:

Esta expresión es similar a la última integral que resolvimos, excepto que esta vez tenemos un término adicional, por lo que podemos aplicar la misma sustitución y manipularla algebraicamente para encontrar una expresión para x en términos de u.