Calculos: Derivadas Parte 4

Derivada de una función compuesta

    Uno de los conceptos más difíciles de trabajar en el álgebra que aprendemos en la escuela es el de las funciones compuestas, ya que estas están formadas por dos o más funciones que hacen que la funciones sean más complejas. Por ejemplo.

Si definimos la función f(x) usando g(x) tendremos.

    Esto sería una función compuesta que resulta simple ya que lo único afectado ha sido la amplitud del sen(x), pero si definimos g(x) usando f(x) tenemos algo más complejo.

    Este tipo de funciones se vuelven aún más complicada cuando intercambiamos variables. Ya que podemos definir una variable con respecto a x, otra con respecto a y, otra con respecto a t, y así sucesivamente y combinarlas todas en una función compuesta. Ejemplo. 

    Su complejidad es un poco más manejable a la hora de buscar derivadas gracias a un método conocido como la regla en cadena.

    Si tenemos una función u = f(x) y otra y = g(u) = g(f(x)) podemos encontrar la derivada usando la regla en cadena. Esta regla nos permite calcular la derivada en cada variable de forma individual y combinarlas a través de la multiplicación para obtener el resultado de la derivada deseada 

Otra forma de representarla.

    En términos menos técnicos; tomamos la derivada de la función exterior y multiplicamos por la derivada de la función interior. Veamos cómo funciona usando sen(3x).

    Definimos las funciones en la parte de arriba ahora podemos calcular las derivadas de forma individual o agrupadas.

Entonces.

Veamos otro ejemplo. 

    Primero vamos a reescribir la función para hacer más obvio las funciones compuestas.

Podemos definir  y 

sustituyendo.

Otro ejemplo. 

    Debemos recordar que sen³(4x) = [sen(4x)]³ así que tenemos el cubo de una función y podemos definir dos funciones para calcular su derivada.

    La parte  también podemos aplicarle la regla de la cadena ya que esta no esta limitada a un solo uso.

    Con estas ideas en mente ya tenemos todas las piezas necesarias para introducir la derivación implícita. Esta la vamos a explicar en su propia publicación pues es un tema que necesita de muchos detalles y es necesario tomarse su tiempo para que todo sea lo más claro posible. Por ahora esto es todo. Si le gusto o tienes alguna sugerencia por favor dejar sus comentarios debajo. La próxima publicación será sobre los dominios de las matemáticas y después regresaremos para concluir las derivadas y agregar algunos ejercicios para practicar. 

Calculos: Derivadas Parte 3

    Las funciones trigonométricas se definen como el cociente entre los lados de un triángulo y sus ángulos. Estas son las siguientes.

    Por lo general estos son abreviados y asociados a un ángulo.

    Algo importante que se puede derivar de aquí es que todas las funciones pueden ser re-escritas en términos de seno y coseno.

    Lo que simplifica el proceso ya que si el seno y el coseno son diferenciable entonces los demás deben serlo también. Si no estás familiarizado con trigonometría esto resultara un poco confuso ya que usaremos algunas identidades trigonométricas para facilitar el trabajo. Vamos entonces a buscar la derivada del seno y el coseno.

    Ejemplo 1.  usaremos la definición de derivadas para calcular esto.

    Para simplificar usaremos la identidad. 

    Como todos tienen el mismo denominador podemos separarlos.

    Podemos factorizar el factor común sen(x) y aplicar una de las propiedades de los límites.

    Cuando h = 0 tenemos cos (h) = cos (0) = 1 entonces cos (0) – 1 = 0 así que tenemos. 

    En el caso de sen(h)/h tenemos que sen (0) = 0 así que la misma técnica no funcionará, pero hay un dato importante a recordar y es que sen (x) ~ x cuando x es pequeña y podemos usar esto ya que queremos h → 0.

    Así que  cuando h es pequeña 

    tenemos que. 

    Ejemplo 2.  usando la definición de la derivada.

    La identidad para el coseno es diferente a la del seno.

    Y aplicamos los mismos pasos que aplicamos previamente.

     

    Si lo desean pueden practicar con las demás funciones e incluso usar técnicas de diferenciación que mostramos anteriormente, pero los resultados deberían ser estos.

    

    Trabajar con funciones trigonométricas poder ser complicado si no conocemos las identidades apropiadas. Aquí les dejare algunas de las más comunes para que les sirva de guía.

Feliz año nuevo para todos. En la próxima publicación seguiremos con la parte de la regla en cadena. Estoy buscando más ideas para agregar temas al blog así que todas las sugerencias son aceptadas.

Problemas sin Resolver en Matemáticas

    Los teorema y principios en matemáticas son bastante usual. Ellos explican los reglamentos de cómo ciertos conceptos son aplicados en las diferentes áreas de la matemática. Estos han pasado pruebas rigurosas y han sido confirmados a través de procedimientos matemáticos. Unos de los teoremas más famosos y usados es el "teorema de Pitágoras" que establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Otros teoremas igual de importantes son el teorema del binomio, el teorema de Bayes, el teorema de Tales y si has trabajado en cálculos habrás oído del teorema de Stokes (en el futuro estaremos hablando de este en nuestra sección de cálculo), pero no todos los problemas y fundamentos han sido completamente comprobado. De hecho, existe un vasto número de problemas que aún no tienen solución y hay instituciones que otorgan premios a las personas que son capaces de resolverlos.

Desde el tiempo del Renacimiento se ha visto un incremento en el número de problemas resueltos. Y cada siglo el número de problemas aumentan y el número de resultados también. Esto se debe a los avances de la tecnología y la creación de nuevos métodos para hacer calculaciones que anteriormente no existían.  Unos de los conjuntos de problemas más famosos a resolver son conocidos como "Problemas del Milenio".

Postulados por Clay Mathematics Institute en el año 2000. son siete problemas cuya resolución será premiada con la suma de un millón de dólares por cada problema. Hasta la fecha solo uno de los siete problemas postulados ha sido resuelto y es "la conjetura de Poincaré". Entre los problemas que restantes están

• P versus NP: que trata sobre las clases de complejidad. en esencia la pregunta es simplemente ¿es P = NP completo? O simplemente es posible "verificar" rápidamente soluciones positivas a un problema del tipo SI/NO".
• La conjetura de Hodge: este es un problema de geometría algebraica que establece que ciertos grupos de cohomología de De Rham son algebraicos, esto es, son sumas de dualidades de Poincaré de clases homólogas de subvariedades.   Se lo que pueden pensar muchas palabras grandes y no entiendo casi ningunas. Para entender este problema mejor es necesario tener conocimiento de topología algebraica para comenzar, así que no es de mucho preocuparse pues es bastante complejo.
• La hipótesis de Riemann: establece que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real 1/2. tal vez preguntes que es la función zeta de Riemann, bueno esta tiene su fundamento en la teoría de números y la distribución de números primos. Se define como

• Existencia de Yang-Mills y del salto de masa: está relacionada con la teoría cuántica de campos y la teoría de Yang-Mills, un concepto avanzado en Física donde se generaliza el campo electromagnético y se descubrió la cromodinámica cuántica.
• Las ecuaciones de Navier-Stokes: describe el movimiento de líquidos y gases y su complejidad se debe al uso de ecuaciones no lineales. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de flujo laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.
• La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: envuelve curvas elípticas definidas sobre racionales.

    Cabe destacar que la solución de estos problemas también abarca la posibilidad de que estos problemas no tengan solución o su solución no es única, pero esto debe ser probado de forma matemática también. 

    Además de estos famosos problemas también existen una vasta mayoría de problemas todas las áreas de las matemáticas como Álgebra, Análisis, Combinatoria, Teoría de Números, números primos, geometría, entre otras áreas más.

    Algunos de mis problemas favoritos son los del juego tres en raya o tic-tac toe que establece "Dado un ancho de tablero de tic-tac-toe, ¿cuál es la dimensión más pequeña para que X tenga garantizada una estrategia ganadora?" y Sudoku donde exije una de estas tres respuestas: 

¿Cuál es el número máximo de datos para un rompecabezas mínimo?

¿Cuántos rompecabezas tienen exactamente una solución?

¿Cuántos rompecabezas con exactamente una solución son mínimos?

    Estoy seguro de que en los próximos años veremos más respuestas a estos problemas.  Si quieres saber más sobre estos problemas sin solución puedes dejar tu comentario aquí debajo. Mi meta es ayudar a las personas a ver las matemáticas como algo entretenido y no intimidante. Si te sientes motivado en aprender algo específico de matemáticas también puedes describirlo en la sesión de comentario esto será todo por ahora. La semana que viene buscaremos otros artículos de actualidad sobre las matemáticas. Aquí debajo les dejo algunos nombres sobre otros problemas si están interesados.

• Los 23 problemas de Hilbert
• Los problemas de Landau
• Los problemas de Taniyama
• Las 24 preguntas de Thurston
• Problemas de Simón
• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
• Problema de representación de celosía finita
• Conjetura de Hadamard
• Conjetura de Jacobson
• Conjetura de Crouzeix
• La conjetura de las cuatro exponenciales
• Determinar si existe algún número perfecto impar.
• Demostrar qué números se pueden representar como una suma de tres o cuatro números cúbicos (positivos o negativos).
• Prueba de que 10 es un número solitario.

Calculos: Derivadas parte 2

 Reglas comunes de la diferenciación.

Teorema 2. si f(x) y g(x) son diferenciables, entonces.

    Vayamos a comprobar algunas de las propiedades.

• Si f(x) = c, donde c es una constante, entonces.

• Si k es un número, entonceses.

Ejemplo #1. Previamente demostramos usando la fórmula del límite que si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x. Siguiendo la fórmula de los exponentes de x tenemos.

Ejemplo #2. Que tal

    Otra forma de presentar la raíz cuadrada es como x^1/2, entonces. 

Ejemplo #3. 

    Sabemos que la fórmula se puede aplicar en este caso, así que podemos reescribirla como.

    Para recordar las reglas de la derivada de multiplicación y cociente de funciones es mas complicado asi que las personas les gusta usar mnemotécnicas para ellos. En el caso de la derivada de multiplicación de funciones. Siempre recuerdo la frase "la Ferocidad Del Gato se le Suma al Gato De Felicia" donde las letras en mayúscula me recuerdan como se efectua la operacion.

    Puedes crear tus propias mnemotécnicas que funcionen para ti y compartirlas con los demás en la sección de comentarios.

Ejemplo #4. 

    Podemos resolverla de dos formas. La primera es usando las fórmula de la multiplicación de dos funciones.

Ejecutando la multiplicación de polinomios.

Reduciendo factores comunes

La otra forma de resolverlo es distribuyendo primero y luego ejecutando la derivada.

    Obtenemos la misma respuesta. Es importante tomar en cuenta que existe la posibilidad que la distribución tome mucho tiempo y hasta produzca funciones más complejas que las originales. Un caso muy común de esto es cuando tenemos multiplicaciones entre funciones trigonométricas.

     Si una función f es diferenciable entonces f '(x) es una función también. Si f '(x) es diferenciable entonces f ''(x) es una funcion tambien y asi sucesivamente. Esto significa que una puede tener más un orden superior de derivadas.

Ejemplo #5 Cuál es el orden más alto de derivadas de la función

    Todas las derivadas por encima del 4to orden son cero pues f ⁽⁴⁾(x) = 0  así que el orden más alto de derivadas es 3. con ecuaciones de exponente cuantitativo el orden depende del valor del exponente.  La función e ^x  es un caso curioso ya que su orden es infinito.

    Esto es todo por ahora. Espero que esto les sea de ayuda. Cuales mnemotécnicas has usado en matemáticas para recordar una fórmula? Compártela en los comentarios. En la próxima publicación presentaremos un tema interesante donde discutiremos el futuro de nuestro blog y como vamos a cambiar su estructura.