Calculos: Derivadas Parte 4

Derivada de una función compuesta

    Uno de los conceptos más difíciles de trabajar en el álgebra que aprendemos en la escuela es el de las funciones compuestas, ya que estas están formadas por dos o más funciones que hacen que la funciones sean más complejas. Por ejemplo.

Si definimos la función f(x) usando g(x) tendremos.

    Esto sería una función compuesta que resulta simple ya que lo único afectado ha sido la amplitud del sen(x), pero si definimos g(x) usando f(x) tenemos algo más complejo.

    Este tipo de funciones se vuelven aún más complicada cuando intercambiamos variables. Ya que podemos definir una variable con respecto a x, otra con respecto a y, otra con respecto a t, y así sucesivamente y combinarlas todas en una función compuesta. Ejemplo. 

    Su complejidad es un poco más manejable a la hora de buscar derivadas gracias a un método conocido como la regla en cadena.

    Si tenemos una función u = f(x) y otra y = g(u) = g(f(x)) podemos encontrar la derivada usando la regla en cadena. Esta regla nos permite calcular la derivada en cada variable de forma individual y combinarlas a través de la multiplicación para obtener el resultado de la derivada deseada 

Otra forma de representarla.

    En términos menos técnicos; tomamos la derivada de la función exterior y multiplicamos por la derivada de la función interior. Veamos cómo funciona usando sen(3x).

    Definimos las funciones en la parte de arriba ahora podemos calcular las derivadas de forma individual o agrupadas.

Entonces.

Veamos otro ejemplo. 

    Primero vamos a reescribir la función para hacer más obvio las funciones compuestas.

Podemos definir  y 

sustituyendo.

Otro ejemplo. 

    Debemos recordar que sen³(4x) = [sen(4x)]³ así que tenemos el cubo de una función y podemos definir dos funciones para calcular su derivada.

    La parte  también podemos aplicarle la regla de la cadena ya que esta no esta limitada a un solo uso.

    Con estas ideas en mente ya tenemos todas las piezas necesarias para introducir la derivación implícita. Esta la vamos a explicar en su propia publicación pues es un tema que necesita de muchos detalles y es necesario tomarse su tiempo para que todo sea lo más claro posible. Por ahora esto es todo. Si le gusto o tienes alguna sugerencia por favor dejar sus comentarios debajo. La próxima publicación será sobre los dominios de las matemáticas y después regresaremos para concluir las derivadas y agregar algunos ejercicios para practicar.