Funddamentos de Calculo II

Gráfica de funciones

     Si f es una función con dominio D, su gráfica consiste en los puntos en el plano cartesiano cuyas coordinadas son los pares de puntos entrada-salida de f. En forma de notación la gráfica se describe 

     No todas las curvas pueden ser la gráfica de una función. Una función solo puede tener un valor f(x) por cada valor x lo que significa que si trazamos una línea vertical en la gráfica de la función, esta solo intercepta la gráfica en un punto f(x) por cada valor de x. veamos un ejemplo

     Como se puede ver al trazar una línea vertical sobre (a) y (b) esta intercepta la gráfica en un solo punto (no importa donde se trace la línea vertical), pero en (c) vemos que la línea vertical toca dos o mas punto. Por lo tanto (a) y (b) son funciones, pero (c) no es una función. Algunas gráficas son difícil de describir usando una función, ya que la gráfica puede ser muy complicada, por ejemplo.

     Gráficas de esta forma pueden ser representadas usando dos o mas funciones en restringido dominio. Por restringido dominio me refiero a la posibilidad de dividir la gráfica en sub-graficas donde cada área es definida por una función que describe el comportamiento de la gráfica en esa área. En el ejemplo anterior podemos dividir la gráfica en tres subáreas o mas.

Si la gráfica es denominada f(x) entonces podemos definirla como

donde cada intervalo  es definido por una diferente función y al graficar todo junto crea la gráfica deseada. Veamos otro ejemplo.

  Esta Función esta definida en todo el espacio, pero sus valores dependen de diferentes funciones a diferentes intervalos. Si creamos la gráfica veremos que su dominio se extiende por todo el espacio y aunque contiene diferentes funciones para diferentes intervalos, en general es una sola función.

     
     Otra característica importante es que las funciones pueden ser par o impar. Una función es denominada par si al substituir f(x) por f(-x) da como resultado f(x) nuevamente. Una función es denominada impar si al sustituir f(x) por f(-x) da como resultado -f(x). las graficas de funciones pares son simétricas con respecto al eje y lo que significa que una reflexión de la grafica con respecto al eje y, no cambia la gráfica. Por otro lado, las graficas de las funciones impares son simétricas con respecto al origen por lo que una rotación de 180 grados no transforma la gráfica.   

Funciones comunes.

Una gran variedad de funciones aparece frecuentemente en cálculos. Estas son las mas comunes que posiblemente estaremos trabajando.

Funciones lineares. Una función de la forma f(x)=mx+b donde m y b son constantes es conocida como una función linear. "m" representa la pendiente por lo general es descrita por la formula 

mientras "b" es conocido como el punto de inicio. Diferentes valores de m indican la inclinación de la línea mientras que diferentes valores de b indican su origen
 

Funciones de potencia. una función de la forma 

donde "a" es una constante, es considerada una función de potencia. Existen tres casos que pueden pasar. 

• Cuando "a" es un numero entero positivo (a > 0). su gráfica va a ser determinada dependiendo si este número es ser par o impar. 

• Cuando "a" es un numero entero negativo (a < 0). Su gráfica será una hipérbola, pero dependiendo si es par o impar su gráfica será la siguiente.

 

• Cuando "a" es una fracción. Las funciones también son representadas como raíces y su gráfica varia con respecto al tipo de fracción. En la fracción de la potencia el denominador es considerado como la raíz.

 

Funciones trigonométricas. como son 6 las funciones trigonométricas donde ellas dependen del seno y el coseno. es bueno ver la relación de forma gráfica. 

la gráfica roja corresponde al coseno y la azul al seno. como se puede ver es la misma gráfica con una diferencia de 90 grados en la fase

 

Donde la gráfica roja es el seno y la azul es la cosecante también conocida como 1/seno.

Donde la gráfica roja es el coseno y la azul es la secante también conocida como 1/coseno.

 La gráfica roja es la tangente; el azul mas oscuro pertenece al seno, y el azul mas claro pertenece a la secante desde que la tangente es también conocida como seno/coseno o seno*secante.

 La gráfica roja es la cotangente; el azul mas oscuro pertenece al coseno, y el azul mas claro pertenece a la cosecante desde que la cotangente es también conocida como coseno/seno o coseno*cosecante o la inversa de la tangente.

En el próximo post explicaremos el concepto de los limites. Como siempre sugerencias son aceptadas.

Fundamentos de Calculo

Revision de Funciones, Dominio y Rango, Representacion de Funciones

Funciones son una herramienta que nos ayuda a describir el mundo real en el lenguaje matemático. Puede ser representado por una ecuación, una gráfica, tabla numérica, o descripción verbal, pero en esta sección nos enfocamos en gráficos y ecuaciones. Las funciones son caracterizadas por contener variables independientes y dependiente.

Una variable es considerada independiente cuando su valor es determinado por la persona que ejecuta la operación. Una variable es considera dependiente cuando su valor se obtiene a través de las funciones. Variables independientes conforman lo que es el dominio de la función y las variables dependientes forman el rango o imagen. En este aspecto podemos redefinir una función como la relación entre variables independiente para producir variables dependientes.

En este caso x es la variable independiente y y es la variable dependiente y la expresión completa es la función que lo produce. En términos gráficos por lo general el eje x es la línea horizontal usado como la variable independiente mientras que el eje y es la línea vertical usada como la variable dependiente. La grafica de la función se presenta en la siguiente imagen.

Sino estas familiarizado con esta descripción de dominio y rango, te recomiendo leer mis publicaciones sobre inecualidades primero (el link esta al final).

El dominio de las funciones es determinado buscando los números que hacen la función invalida (no producen números reales) por ejemplo.

·      

Algunas relaciones importantes para recordar son las siguientes:

En el próximo post expandiremos la conversación de las funciones desde el punto gráfico y los tipos de funciones más usados.  Si necesitas un repaso sobre dominio y rango aquí está el enlace.

https://aprendematematicasjmd.blogspot.com/2016/02/inecualidades-ii.html

https://aprendematematicasjmd.blogspot.com/2017/05/inecuaciones-iii.html

Fundamentos de la matematicas IV

La División
Posiblemente la operación aritmética más difícil de aprender, pero al mismo tiempo la más efectiva y nunca se olvida. La división es conocida como el inverso de la multiplicación. sus componentes son divisor, dividendo, cociente y residuo:

El divisor: es el número que va a dividir
El dividendo: es el número que se va a dividir
El cociente: es el número que se obtiene como resultado de la division
El residuo: es el sobrante despues de haber realizado la división. Divisiones exacta tienen como residuo cero.

La división esta representada con los símbolos  ÷  /, así que tecnicamente las fracciones son simplemente divisiones que no han sido ejecutadas.

Propiedades de la división

• no-conmutativa,  ${\displaystyle 5\div 3\neq 3\div 5}$;
• no-asociativa, ${\displaystyle 12\div (4\div 3)\neq (12\div 4)\div 3}$
• todo número dividido por 1 es igual al mismo número 5 ÷ 1 = 5
• no número puede ser dividido por cero 5 ÷ 0 = indefinido
• cero dividido por cualquier numero es igual a cero 0 ÷5 =0
• Equivalente a las fracciones .

Como se hace la división.

la división es la inversa  de la multiplicación. lo que quiere decir   La operación de las divisiones se hace de varias formas pero la más efectiva es usando la división larga mostrada en la parte de arriba. Hay varias formas de hacerlo así que recomiendo la forma con la que te sientas más cómodo para hacerlo. Aquí les dejo algunos ejemplo.

		${\displaystyle {\rm {Cociente\,}}}$
${\displaystyle {\rm {Divisor\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Dividendo\,}}}$
		${\displaystyle {\rm {Resto\,}}}$

(1)

${\displaystyle {\rm {Divisor\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Dividendo\,}}}$
${\displaystyle {\rm {\,_{(operaciones)}\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Cociente\,}}}$
${\displaystyle {\rm {Resto\,}}}$

(2)

${\displaystyle {\rm {Dividendo\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Divisor\,}}}$
${\displaystyle {\rm {\,_{(operaciones)}\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Cociente\,}}}$
${\displaystyle {\rm {Resto\,}}}$

(3)

En nuestros ejemplos estaremos usando el ejemplo número tres. Vamos a dividir dos simples números  9 ÷ 3

Ahora que esta configurado lo que tenemos que hacer es buscar un número que multiplicado por 3 nos de un número igual o menor que 9, pero el más cerca possible. Si vemos la tabla de multiplicar del 3 tenemos tres números que son menores o igual que nueve. 
3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 El número 3 y 6 pueden hacer el trabajo pero el número más cerca es el 9, así que vamos a usarlo.

veamos otro ejemplo. 7 ÷ 2

Cuando se tiene residuo el resultado se puede escribir usando fracciones mixtas. 

El tres es un número entero, un número divisor también es un número que se puede multiplicar por el cociente  y sumar por el residuo.
Esto es todo por ahora. en futuro post volveremos a expandir este tema. Desde el próximo post estaremos hablando sobre los principios de cálculos, comenzando con la simple noción de las funciones.

Fundamentos de la matematica III

Multiplicacion

     El tema de las multiplicaciones fue un tema muy divertido en mi infancia y por alguna extraña razón, para la personas es bastante fácil de aprender y recordarlo, supongo que tiene algo que ver con la memorización (ya que si logras hacer esto entonces puedes aprender esto en un dia). Así que empecemos presentando la tabla de multiplicar.

La tabla de multiplicar por lo general contiene las operaciones de los diez primeros números (algunas contienen operaciones del 1-12). Lo más sencillo es memorizarlas al principio y luego tratar de entender cómo funcionan. Hay muchos trucos para hacer la memorización simple. Aquí les dejo los que más me ayudaron hacer la memorización.

• Todo número multiplicado por 1 es el mismo número .
• Los números pares multiplicados por 5 dan como resultado un número producto de diez. Los números impares multiplicado por 5 siempre terminan en 5.
• La multiplicación es conmutativa y asociativa. 
• La multiplicación de 7×8 es igual a 56 (como una escala 56 = 7×8).
• La tabla de multiplicar del número 9 está organizada por un número ascendente y un descendente.
• Todo número multiplicado por 10 es como la multiplicación de 1 con el factor diez (1×5=5; 10×5=50).
• La tabla de multiplicar del 11 es el mismo número repetido dos veces con la excepción de los números de dos dígitos o mas.
• Los números de dos o más dígitos multiplicado por 11 contienen tres o más cifras. 
• La multiplicación es una regla que suma un número consigo mismo cuántas veces sea indicado (la multiplicacion 2×3=6 es la suma del numero 2 tres veces 2+2+2=6; 3×2=6 es la suma del numero 3 dos veces 3+3=6).

La multiplicación como se puede ver es bastante simple. Pero hay que presentar las reglas cuando hay que hacer una multiplicación de más de una cifra. Usemos el siguiente ejemplo.

65×8=520

Una de las primeras regla que vemos es que todo número par multiplicado por 5 siempre terminan en un producto de diez con el cero al final. Si tienes una calculadora puedes verificarlo pero si no tienes una como puedes hacerlo? Vamos a organizar la multiplicación en la forma que hacemos la suma y resta. 

como en la suma y en la resta empezamos por el lado derecho y nos movemos hacia al izquierdo asi que 5×8=40. Como vimos en la suma ponemos el 0 y llevamos el 4 para el otro numero.

ahora multiplicamos 6×8 =48 y a este resultado le sumamos 4, lo que lo hace 52.

Puedes confirmarlo con la calculadora. Otra forma de hacer la multiplicacion es multiplicar por separado y sumar los resultados.

Esta tecnica es mas efectiva para multiplicaciones de varias cifras. la cual presentaremos a continuacion. tratemos de multiplicar 350 x 23.

Aun faltan multiplicaciones con decimales, pero eso sera para otra ocasion. 

Fundamentos de la matematica II

Resta
     La seguna operación básica de las matemáticas es la resta o subtracción. Como su nombre lo indica esta operación substrae o saca una cantidad de un número. La cantidad a la que se resta  se le llama minuendo, la cantidad que se resta es llamado sustraendo. Con estas ideas en la mente se puede decir que el minuendo siempre sera mayor que el sustraendo pero como existen numeros negativos, esto indica que a veces el sustraendo es mayor que el minuendo. te preguntaras ¿A qué el se quiere referir con esto? permítame demostrar un ejemplo:


Ejemplo 1

     Como se podrán imaginar cuando el sustraendo es menor que el minuendo hacer la operacion es bastante simple pero si usamos el mismo ejemplo de arriba pero invertimos los signos. en medio de la operación tendremos este problema.

     Facilmente podríamos ejecutar la operación de 0 - 5 ya que tenemos un número a la izquierda del zero pero como resolvemos la parte de 4 - 8? mi recomendación para facilitar las cosas es la siguiente. como el resultado será el mismo si restamos 40 o 185 lo más facil sería poner 185 (el número mayor) arriba y 40 (el número menor) abajo y operar de forma normal pero al final agregar el signo de - para arreglarlo todo. 

Como hacer una operacion de resta?
     voy a explicar este proceso de la forma que lo aprendí en la escuela elementaria. creo que es la forma más segura de aprenderlo ya que permite ver con claridad  lo que pasa. Usemos este ejemplo.

Ejemplo 2

315 - 97
vamos a organizarlo en la forma que estamos acostumbrados.

     Así es como funciona. la operacion sigue el mismo procedimiento que la  suma. empezando a la derecha y nos movemos hacia la izquierda. entonces tenemos 5 - 7 que como mostramos anteriormente podriamos decir es -2 pero sería incorrecto pues delante del cinco aún tenemos números. Qué es lo que esto significa? la regla que presentamos anterior es cuando el sustraendo es menor que el minuendo en general no por termino, es decir, aunque cinco es menor que siete 315 es mayor que 97, pero que podemos hacer en este caso? la forma más facil de describir este proceso es usando la expresion "tomar prestado."

• 5 < 7 asi que 5 le toma prestado al número de al lado (le pide prestado uno pero es como pedir 10) y se convierte en 15. y el número que prestó ahora tiene uno menos asi que ahora es zero.  entonces 15 - 7 es igual a 8.
• la siguiente  cantidad es ahora 0 - 9. y como sabran 0 < 9 así que le toma prestado a 3 y se convierte en 10 mientras 3 se convierte en 2. 10 - 9 es igual a 1.
• el resultado final entonces es 218. 

Las reglas son simples pero requieren de paciencia para hacerlo bien. No debemos apresurarnos a la hora de hacer esto hasta que estemos seguros que entendemos como funciona el  proceso. Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 3.

En el Proximo post trataremos la siguiente operación aritmética, la multiplicación.

Fundamentos de la Matematica

     Cuando hablamos de matemática básica nos referimos a los conceptos que formaron el origen de las matemáticas y que sostienen toda la teoría de lo que puede ser algebra, geometría, calculo, y cualquier otra área de matemáticas que puedas considerar. estos son conocidos como operaciones aritmeticas.  Empecemos por el concepto más simple.

Suma

No creo que sea necesario pasar mucho tiempo explicando la suma. La suma es mejor entendida por su otro nombre, “adición”. Esto significa que dos cantidades se agregan o juntan para formar una más grande. Es unas de las operaciones básica de la aritmética ( rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, resta, multiplicación y división). Se expresa con el símbolo de la cruz “+”. Dos cantidades que se suman crean una cantidad más grande, lo que significa que la sumada es mas grande que las dos cantidades individuales.

La suma contiene todas las propiedades de operación.

• Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no modifica el resultado: a+b=b+a.
• Propiedad Asociativa: cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento: a+(b+c) = (a+b)+c = (c+a)+b
• Propiedad Distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4. Mas tarde explicaremos mejor esta propiedad cuando expliquemos la multiplicación.

Ejemplos de la suma.

• esta es la forma original que se les enseño a los niños sobre la suma. La línea se utiliza como un símbolo de igualdad (=).
• 2 + 3 = 5
• 7 + 2 = 9
• 1 + 4 = 5

Suma de números de varias cifras

     Cuando estamos sumando números con más de una cifra hay varias propiedades que hay que recordar. Los números se deben organizar por número de cifras. La cifra a la derecha debe estar todas alienadas. La suma se ejecuta empezando con las cifras de la derecha y se van moviendo hacia la izquierda. Si la suma de un número es mayor o igual que 10, la última cifra se coloca debajo de la línea y la otra cifra se suma al siguiente grupo de números hasta completarlos todos. Suena un poco confuso cuando solo se piensa en la teoría, pero con los ejemplos se hará más claro a que me refiero. Vamos a sumar los números 25+130+15+5+120

1. Como describimos todas las cifras a la derecha deben estar alineadas y ahora cuando empecemos la suma comenzamos en la derecha.
2. La suma de estos números en rojos es 15 y como es mayor que 10 ponemos el 5 debajo de la raya (que simboliza la igualdad) y el 1 lo agregamos la siguiente cifra para sumarla.
3. Luego se suma la siguiente columna y como no es mayor que diez continuamos con la  ultima columna y el resultado final es el resultado de la suma.

Otro Ejemplo.

la suma de los primeros numeros es igual a nueve asi que continuamos con la siguientes cifras.
la suma de las siguientes cifras es 18 asi que colocamos el 8 al final y sumamos el 1 a la siguiente cifra.
la suma de las siguientes cifras es 23 mas el extra 1 es 24, colocamos el 4 al final y sumamos dos a la siguiente cifra.
las suma de las cifras finales es 20 mas el extra 2 es 22, como no existen mas cifras colocamos el numeros tal como es. nuestro resultado final es 22,489. puedes confirmar con tu calculadora. 

En el Proximo post trataremos la siguiente operacion aritmetica, la resta. 

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