Fundamentos de la matematica II

Resta
     La seguna operación básica de las matemáticas es la resta o subtracción. Como su nombre lo indica esta operación substrae o saca una cantidad de un número. La cantidad a la que se resta  se le llama minuendo, la cantidad que se resta es llamado sustraendo. Con estas ideas en la mente se puede decir que el minuendo siempre sera mayor que el sustraendo pero como existen numeros negativos, esto indica que a veces el sustraendo es mayor que el minuendo. te preguntaras ¿A qué el se quiere referir con esto? permítame demostrar un ejemplo:


Ejemplo 1

     Como se podrán imaginar cuando el sustraendo es menor que el minuendo hacer la operacion es bastante simple pero si usamos el mismo ejemplo de arriba pero invertimos los signos. en medio de la operación tendremos este problema.

     Facilmente podríamos ejecutar la operación de 0 - 5 ya que tenemos un número a la izquierda del zero pero como resolvemos la parte de 4 - 8? mi recomendación para facilitar las cosas es la siguiente. como el resultado será el mismo si restamos 40 o 185 lo más facil sería poner 185 (el número mayor) arriba y 40 (el número menor) abajo y operar de forma normal pero al final agregar el signo de - para arreglarlo todo. 

Como hacer una operacion de resta?
     voy a explicar este proceso de la forma que lo aprendí en la escuela elementaria. creo que es la forma más segura de aprenderlo ya que permite ver con claridad  lo que pasa. Usemos este ejemplo.

Ejemplo 2

315 - 97
vamos a organizarlo en la forma que estamos acostumbrados.

     Así es como funciona. la operacion sigue el mismo procedimiento que la  suma. empezando a la derecha y nos movemos hacia la izquierda. entonces tenemos 5 - 7 que como mostramos anteriormente podriamos decir es -2 pero sería incorrecto pues delante del cinco aún tenemos números. Qué es lo que esto significa? la regla que presentamos anterior es cuando el sustraendo es menor que el minuendo en general no por termino, es decir, aunque cinco es menor que siete 315 es mayor que 97, pero que podemos hacer en este caso? la forma más facil de describir este proceso es usando la expresion "tomar prestado."

• 5 < 7 asi que 5 le toma prestado al número de al lado (le pide prestado uno pero es como pedir 10) y se convierte en 15. y el número que prestó ahora tiene uno menos asi que ahora es zero.  entonces 15 - 7 es igual a 8.
• la siguiente  cantidad es ahora 0 - 9. y como sabran 0 < 9 así que le toma prestado a 3 y se convierte en 10 mientras 3 se convierte en 2. 10 - 9 es igual a 1.
• el resultado final entonces es 218. 

Las reglas son simples pero requieren de paciencia para hacerlo bien. No debemos apresurarnos a la hora de hacer esto hasta que estemos seguros que entendemos como funciona el  proceso. Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 3.

En el Proximo post trataremos la siguiente operación aritmética, la multiplicación.

Fundamentos de la Matematica

     Cuando hablamos de matemática básica nos referimos a los conceptos que formaron el origen de las matemáticas y que sostienen toda la teoría de lo que puede ser algebra, geometría, calculo, y cualquier otra área de matemáticas que puedas considerar. estos son conocidos como operaciones aritmeticas.  Empecemos por el concepto más simple.

Suma

No creo que sea necesario pasar mucho tiempo explicando la suma. La suma es mejor entendida por su otro nombre, “adición”. Esto significa que dos cantidades se agregan o juntan para formar una más grande. Es unas de las operaciones básica de la aritmética ( rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, resta, multiplicación y división). Se expresa con el símbolo de la cruz “+”. Dos cantidades que se suman crean una cantidad más grande, lo que significa que la sumada es mas grande que las dos cantidades individuales.

La suma contiene todas las propiedades de operación.

• Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no modifica el resultado: a+b=b+a.
• Propiedad Asociativa: cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento: a+(b+c) = (a+b)+c = (c+a)+b
• Propiedad Distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4. Mas tarde explicaremos mejor esta propiedad cuando expliquemos la multiplicación.

Ejemplos de la suma.

• esta es la forma original que se les enseño a los niños sobre la suma. La línea se utiliza como un símbolo de igualdad (=).
• 2 + 3 = 5
• 7 + 2 = 9
• 1 + 4 = 5

Suma de números de varias cifras

     Cuando estamos sumando números con más de una cifra hay varias propiedades que hay que recordar. Los números se deben organizar por número de cifras. La cifra a la derecha debe estar todas alienadas. La suma se ejecuta empezando con las cifras de la derecha y se van moviendo hacia la izquierda. Si la suma de un número es mayor o igual que 10, la última cifra se coloca debajo de la línea y la otra cifra se suma al siguiente grupo de números hasta completarlos todos. Suena un poco confuso cuando solo se piensa en la teoría, pero con los ejemplos se hará más claro a que me refiero. Vamos a sumar los números 25+130+15+5+120

1. Como describimos todas las cifras a la derecha deben estar alineadas y ahora cuando empecemos la suma comenzamos en la derecha.
2. La suma de estos números en rojos es 15 y como es mayor que 10 ponemos el 5 debajo de la raya (que simboliza la igualdad) y el 1 lo agregamos la siguiente cifra para sumarla.
3. Luego se suma la siguiente columna y como no es mayor que diez continuamos con la  ultima columna y el resultado final es el resultado de la suma.

Otro Ejemplo.

la suma de los primeros numeros es igual a nueve asi que continuamos con la siguientes cifras.
la suma de las siguientes cifras es 18 asi que colocamos el 8 al final y sumamos el 1 a la siguiente cifra.
la suma de las siguientes cifras es 23 mas el extra 1 es 24, colocamos el 4 al final y sumamos dos a la siguiente cifra.
las suma de las cifras finales es 20 mas el extra 2 es 22, como no existen mas cifras colocamos el numeros tal como es. nuestro resultado final es 22,489. puedes confirmar con tu calculadora. 

En el Proximo post trataremos la siguiente operacion aritmetica, la resta. 

o

Inecuaciones III

     Como hemos hablado anteriormente una inecuación es caracterizada por los símbolos <, >, ≤ ó ≥. Estos símbolos denotan el intervalo del dominio. A la hora de trabajar con inecualidades estas se tratan igual que una ecuación con la diferencia de que al multiplicar o dividir por un numero negativo la dirección de la inecualidad cambia. Si aun no estas del todo convencido te recomiendo ver el siguiente vídeo antes de continuar.

     Sabemos y podemos apreciar en el video que los valores para satisfacer una ecuación son específicos, pero los valores que satisfacen una inecuacion abarcan un  espacio y son mas complejos de definir. probemos con lo siguiente

(A) 2x + 4y  ≤ 5 & (B) x ≥ 1

Gráfica (A)                                                                               Gráfica (B)

Ahora veamos las dos gráficas interceptadas.

     Se puede ver en la gráfica existe un área en común donde las dos gráficas se interceptan. esta área es la solución general de las dos inecuaciones. así es como se resuelve un sistema de inecuaciones. el área en común es la solución al sistema. 

     Al igual que en las ecuaciones no siempre habrá una respuesta en todos los sistemas. veamos algunos ejemplos:

x + y ≥ -1

x + y≤ 2

La primera inecuación nos da la línea y ≥ -x -1 con una pendiente negativa.

La primera inecuación nos da la línea y ≤ 2 - x con una pendiente negativa

Si resolvemos estas inecuaciones por uno de los metodos que aprendimos para resolver sistemas de ecuaciones lineales tendremos:
0 ≥ -1

0 ≤ 2  

     Donde la solucion obvia nos dice que la region con el punto (0,0) es la solucion, pero las lineas no se intersectan. para un sistema de ecuaciones esto no seria una solucion ya que solo puede haber una solucion unica, por lo tanto las lineas deben ser intersectadas en un punto, pero para las ecuaciones este caso no es necesario. veamos las graficas de ambas lineas por separado y luego su intersection y el area del conjunto solucion.

conjunto solucion

x + y < 2

x + y > -1

Otro caso

3x + y ≥ 2

x+y/3 ≤ -10 
     si resolvemos esta inecuacion veremos que las lineas no tienen area en comun y por lo tanto no existe una solucion. 
 

3x + y > 2

x + y/3 < -10

 

No Solucion 

     Así se tratan las inecuaciones usando el método gráfico. Este método facilita encontrar el dominio del sistema de la inecuación. Aquí les dejo algunos problemas para que practiquen. En próximo post presentare las respuestas en un video.

     Por pedido algunas personas a partir del próximo post estaré reforzando los aspectos básicos de la matemática. Comentarios y sugerencias son bien apreciados. Pueden contactarme a través de comentarios o directamente en nuestra página de Facebook https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJmd/

Sistemas de Ecuaciones II

Método Gráfico
Este método puede ser el más fácil y a la vez el más complicado. Requiere de precisión y exactitud a la hora de crear una gráfica, así que comencemos mostrando las gráficas de primer grado.

la gráfica de primer grado es una linea recta. esta es la razón por la que se le llama ecuaciones lineales, pues su gráfica es una linea recta. La forma de la linea es y = mx + b donde "m" es la pendiente, pero para nuestro caso es sólo el número que acompaña a la x. a la hora de crear una gráfica lo primero es escribir la ecuación en esta forma. ejemplo:

2x + y = 5 o simplemente y = -2x +5

para resolver creamos una tabla de al menos tres o cinco valores. Lo bueno de esto y lo que hace el método gráfico tan fácil es que los valores de la tabla son arbitrarios, es decir, podemos elegir cualquier valor para la variable independiente y sustituirlos en la ecuación para encontrar el valor de la otra variable y así poder crear la gráfica.
Ejemplo: vamos a crear la gráfica para  y = -2x +5

X	Y
-2	9
-1	7
0	5
1	3
2	1

X= -2; y = -2(-2) + 5 à y = 9

X= -1; y = -2(-1) + 5 ày = 7

X= 0; y = -2(0) + 5 à y = 5

X= 1; y = -2(1) + 5 à y = 3

X= 2; y = -2(2) + 5 à y = 1

el valor de x son los valores que elegí. Lo que hace X independiente y Y totalmente dependiente. ahora que tenemos los valores podemos crear nuestra gráfica. usando la pagina desmos.com/calculator la grafica que conseguimos es

de esta forma es como podemos hacer una gráfica, pero como la gráfica es simplemente una linea podemos usar uno de los principios de geometría: "la distancia mas corta entre dos puntos es una linea recta." lo que significa que solo necesitamos dos puntos para describir la trayectoria de la linea. la forma de hacerlo es seleccionando los puntos X = 0, Y = 0  entonces tendremos la siguiente tabla.

X	Y
0
	0

Ahora solucionamos la ecuación previa con solo estos valores y llenamos nuestra tabla y tendremos la misma gráfica.

X	Y
0	5
5/2	0

así funciona el método gráfico. como dije bastante simple pero a la vez complicado. Como puede ser?

usemos el siguiente escenario para una sistema de ecuaciones. 

(A) x + y = 10
(B) 2x - y = 4

Este es un sistema de ecuaciones común. usemos el método gráfico para crear una gráfica de cada 

ecuación y las pondremos en el mismo plano para comparar y encontrar una respuesta en común.

empecemos con la ecuación (A): x + y = 10

X	Y
0	10
10	0

Ahora la ecuación (B): 2x - y = 4

X

Y


0

-4


2

0

Con estos resultados podemos crear nuestras dos gráficas. Usemos Desmos.com para crearla.

 
como la gráfica muestra la linea roja corresponde a la ecuación (A) y la linea azul corresponde a la 
ecuación (B). Ambas se interceptan en un punto común y este punto en común es la solución al sistema
de ecuación




El punto (4.667,5.333) o (14/3, 16/3) satisfacen la ecuación. puedes confirmarlo reemplazando "x" y 
"y" en la ecuación por estos valores y deberás obtener lo mismo.


Como se puede ver el método gráfico es simple de usar pero encontrar la respuesta requiere precisión a la
hora de crear la gráfica pues si tenemos fracciones no es tan obvio a como puede ser con números enteros. 

 Preguntas y sugerencias por favor dejarlas en los comentarios o en la Pagina de Facebook. Si algún tema de interés que les gustaría debatir o alguna ayuda pueden contactarme en cualquier momento. Muy pronto estaremos abriendo un canal de Youtube donde pueden ver los ejemplos y una explicación de lo que hacemos aquí. 

Sistema de Ecuaciones

    Un sistema de ecuación es un sistema de dos o más ecuaciones que comparten una solución en común. Esta solución es común entre todas las ecuaciones. Un sistema de ecuación puede ser linear, cuadrática, cúbica, etc, depende del grado de la variable. En este caso primero estudiaremos ecuaciones lineales. Vamos a presentar tres formas diferentes de resolver los sistemas de ecuaciones lineales. personalmente creo que estos son los tres sistemas mas fácil y útiles, ya que pueden ayudar en el futuro a facilitar el entendimiento de cosas más complicadas.

    Lo primero a presentar es que estos sistemas de ecuaciones serán de dos variables Ax+By=C. estos es lo que permite que los métodos que vamos a usar funcionen.

    En un sistema de ecuaciones pueden haber tres tipos de soluciones. (1) las ecuaciones tienen una solución en común, (2) las ecuaciones no tienen solución en común, (3) la solución de las ecuaciones es infinita (de forma gráfica tendrá más sentido que la solución matemática). Los métodos que vamos a usar son el método de substitución, y el método de eliminación, el método gráfico, en este post hablaremos del método de substitución y eliminación.

Método de Substitución.
consideremos el siguiente sistema de ecuación.

5x - 2y = 4

2x + 3y =13

    el método de substitución se utiliza para eliminar una de las dos variables (cualquiera que deseamos), y terminamos con una simple ecuación de una variable que podemos usar para encontrar los valores que satisfacen la ecuación. los pasos a seguir son los siguientes.

• 1ero. Resuelve una de las ecuaciones para una de las variables.
• 2do. Sustituye esa variable en la otra ecuación.
• 3ero. Resuelve la ecuación del paso dos.
• 4to. Sustituye el resultado del paso tres en la primera ecuación para encontrar el valor de la otra variable,
• 5to. Verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.

Utilicemos el ejemplo de arriba y resolvamos la primera ecuación para la variable "y"

5x – 2y = 4

-5x           -5x

-2y = 4 -5x

y = (4 - 5x)/-2

 Ahora que conocemos el valor de "y'' podemos remplazarlo en la segunda ecuación y así sabremos el valor de "x''.

2x + 3y =13
2x + 3((4 - 5x)/-2) =13,  Ahora podemos resolver la ecuación lineal para 'x'  y el resultado que obtenemos es x = 2. Utilizando la solución de 'y' y reemplazando 'x' por su valor encontramos el valor de 'y'

y = (4 - 5(2))/-2

y = 3

    Y así es como funciona el método de sustitución. requiere manipulación de variables y gran dominio de los principios básicos del álgebra.

Método de Eliminación

    requiere el uso de las dos ecuaciones simultáneamente donde eliminamos una ecuación y una variable y así nos quedamos con una ecuación lineal para resolver. Los pasos para resolver un sistema de ecuación con este método son los siguientes.

• 1ero. escribir ambas ecuaciones en forma estándar Ax + By = C
• 2do. hacer que los coeficientes de un par de las variables sean iguales y opuestos, es decir, que tengan el mismo valor numérico pero con signos opuestos.
• 3ero. sumar las dos nuevas ecuaciones y confirmar que una de las variables se elimina. el resultado de la suma deberá ser una ecuación con una variable.
• 4to. resuelve la ecuación encontrada en el paso tres.
• 5to. sustituye el resultado del paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable 
• 6to. verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.

Vamos a verificar con el mismo sistema de ecuación 

5x - 2y = 4

2x + 3y =13

Ambas ecuaciones ya están escritas en la forma estándar así que ahora vamos hacer los coeficientes de una variable igual. vamos a elegir 'y' pues sus valores son más pequeños. para hacer esto debemos de multiplicar cada variable por el coeficiente opuesto, es decir:

(1) 5x - 2y = 4

(2) 2x + 3y =13

el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (1) es -2, y el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (2) es +3. como tenemos que cambiar el signo de uno de los coeficiente para que se cancelen vamos a cambiar el signo del coeficiente de la ecuación (1), de esta forma uno será positivo y el otro negativo. Luego multiplicamos las ecuaciones por los coeficientes opuestos.

(3) (5x - 2y = 4) --> 15x - 6y = 12

(2) (2x + 3y =13) --> 4x + 6y = 26

Ahora que  podemos eliminar 'y'  lo hacemos como una simple suma de primer grado.

15x - 6y = 12

4x + 6y = 26

19x      = 38

Esto es sólo una ecuación de primer grado que podemos resolver

x = 38/19 --> x = 2

Sustituyendo cualquiera de las ecuaciones por este valor podemos encontrar el valor de 'y' y confirmar que y = 3. Personalmente podría decir que este proceso es más simple y rápido.

Esto será todo por ahora. Para el próximo post usaremos más ejemplos para solidificar este conocimiento y explicaremos el método gráfico. Preguntas y sugerencias por favor dejarlas en los comentarios o en la Pagina de Facebook. Si algún tema de interés que les gustaría debatir o alguna ayuda pueden contactarme en cualquier momento. 

Inecualidades II

Inecualidades lineales con una variable

Una inecuación lineal con una variable puede ser escrita en la forma "Ax + B < C," Donde A, B y C son números reales con A ≠ 0.

Como definimos en el pasado post la solución de las inecuaciones se expresan en la forma de notación de intervalo. la siguiente tabla resume esto.



Para resolver una inecuación debemos encontrar todos los números que hacen la inecuación verdadera. por lo general una inecuación tiene un infinito número de soluciones. Las técnicas utilizadas para resolver una inecuación nos permten encontrar el número más pequeño y el más alto aceptable en la solución, estos son los extremos del intervalo. veamos una inecuación directamente.

14 + 2m < 3m

14 +2m -2m < 3m - 2m

14 < m

En esta inecuación tenemos que nuestro resultado es 14 menor que "m". esto quiere decir que cualquier número donde "m" sea mayor que 14 satisface la inecuación. Un ejemplo en la forma de intervalo es el siguiente(14,infinito)

Algo que cabe destacar es que las inecuaciones se resuelven usando el mismo procedimiento que el de una ecuación, sin embargo hay un pequeño cambio que se debe resaltar. Cada vez que se multiplica o se divide por un número negativo el signo de la inecuación cambia. Ejemplo.

-2x +4 > -2

-2x > -2 -4

-2x > -6

X > -6/-2

X < 3 

El signo inicial era x >  pero al dividir por un número negativo (-2) el signo cambio x <

¿Qué significa esto gráficamente?

El número es la línea fronteriza que divide el plano en los números que satisfacen la inecuación y los números que no. Los números que satisfacen la inecuación están sombreados para ser distinguidos de la otra frontera, es decir hay un lado más ocuro que el otro y ese lado más oscuro son los valores que satisfacen la inecuación. La línea de la frontera depende del símbolo que se usa. Si los símbolos usados son <,> la línea frontera será una línea cortada (----). Si los símbolos usados son mayor o igual que, menor o igual que la línea es una línea sólida ( ____ ). Veamos un ejemplo

el ejemplo previo indica que "x" es menor que 3, esto sera una linea cortada.

si vemos la frontera donde X=3 es una linea cortada que significa que el número 3 no es parte de la solucion. la parte sombreada son todos los numeros que hacen la inecuacion verdadera y la parte no sombreada son los números que hacen la inecuacion falsa.

Hay otra forma de graficar y está es en la recta numérica. Aquí la representación puede ser con sus paréntesis y corchetes, o puede ser con círculos abiertos o cerrados. Esto depende de la persona que lo decida usar. Veamos un ejemplo.

Estan son las dos formas mas comunes de la recta numérica. Ahora les dejo unos ejercicios para que practiquen, estas inecuaciones son para que las resuelvan y traten de hacer su gráfica. En el próximo post estarán las respuestas.

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