Ecuaciones

     en pasado post explicamos que "un monomio esta compuesto por una parte literal llamada variable," esta variable representa una cantidad desconocida que necesitamos encontrar para hacer que el monomio tenga sentido. Cuando utilizamos el signo de igualdad para explicar la similitud de dos monomio/polinomios se le conoce como ecuación. Y es esta similitud que nos permite conocer el valor desconocido de dicha variable.

2x - 3 = 6 + x2   

     Como podemos ver ambos lados no constituyen términos semejantes ya que los grados de la variable son diferentes en cada lado, sin embargo el signo de igualdad juega un rol importante, ya que utilizando el valor correcto para la variable podemos hacer que los lados sean iguales. 

     La variable juega un papel muy importante en algebra ya que esta representa una relación única. En la vida cotidiana podemos encontrarnos con problemas como: 

• Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?   
• mi amigo tenia un poco de dinero ahorrado, e invirtió la mitad en un nuevo negocio. Un mes después tenia $ 1500. ¿Cual fue la cantidad original original?  
• En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 

     Problemas como estos se encuentran a diario: Alguien quiere calcular cuanto dinero ha conseguido o las medidas exactas para cocinar, tal ves conocer las medidas para construir algo, en fin, en cada uno de estos casos las variables son necesarias para encontrar la respuesta mas adecuada.  esto puede causar confusión para muchas personas ya que entender el enunciado de lo que se pide puede ser bien complicado. A través de este post tratare de explicar los pasos mas simple posible para resolver este tipo de problemas. Estos pasos me han ayudado bastante a entender toda clase de enunciados y espero que también les ayude a ustedes.  

Pasos para comprender en enunciado. 

1er paso Leer el enunciado y marcar la pregunta. En todo problema matemático hay algo en especifico que debemos encontrar. Lo primero es saber exactamente lo que nos piden y lo que debemos hacer. 

2do paso marcar todas las operaciones. Debemos buscar en el enunciado todas las palabras que simbolicen una operación matemática (el doble, mas, menos, aumenta, total, mitad, un tercio, reduce, etc). algunas veces las operaciones necesitan un conocimiento previo, por ejemplo, para calcular el numero de vehículos reparados hay que tomar en cuenta que un coche tiene cuatro ruedas y una moto solo dos.  

3er paso definir cual es la variable. Este suele ser uno de los problemas que la gente experimenta al tratar de solver una ecuación. Para encontrar la variable lo primero es re-leer el enunciado y encontrar donde las operaciones matemáticas se centran, por lo general en el enunciado la variable es asociada a una cantidad y se toma por sobreentendido. 

4to paso plantear cada operación por separado. Una vez se encuentran las variables se deben establecer todas las posibles combinaciones basado en el enunciado, cada uno de estos por separados y al final agruparlos para crear la ecuación. 

Pasemos a probar estos pasos.

•  Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

1er paso saber exactamente lo que nos piden. Queremos saber el dinero total que pertenecía a cada hermano. Sabemos que el total de los cuatros juntos es igual a 45 duros y eran cuatro hermanos, entonces si sumamos el dinero de los cuatro hermanos el total debería ser 45 duros.  

  2do paso marcar todas las operaciones. Revisando el enunciado tenemos que el dinero del primero aumenta en 2 duros, es decir se les suma dos; el segundo se reduce en 2, es decir se les resta dos; el tercero se duplica, es decir se multiplica por dos; el cuarto se reduce a la mitad, es decir se divide a la mitad. Aplicando estos análisis tenemos lo siguiente. 

El primero () +2 

El segundo ()-2 

El tercero 2*() 

El cuarto ()/2 

El paréntesis expresa una cantidad desconocida.

3er paso definir la variable. Como definimos en la explicación de los pasos, la variable suele estar ubicada alrededor de donde las operaciones abundan. En el paso anterior pudimos encontrar todas las operaciones posibles y eso nos llevo a encontrar un espacio abierto, una cantidad desconocida que como toda variable es desconocida, por lo tanto cumple con los requisitos. Así que sustituimos los paréntesis por una variable por lo general X tenemos:  

El primero x +2 

El segundo x-2 

El tercero 2x 

El cuarto x/2 

4to paso crear la ecuación. Ya que tenemos todos los datos y cada ejercicio por separado podemos crear nuestra ecuación que nos ayudara a resolver el paso numero uno.

Primero + segundo + tercero + cuarto = 45 

(x + 2) + (x - 2) + (2x) + (x/2) = 45 

• mi amigo tenia un poco de dinero ahorrado, e invirtió la mitad en un nuevo negocio. Un mes después tenia $ 1500. ¿Cual fue la cantidad original?

 

1er paso. ¿cual fue la cantidad original? 

2do paso.  Dinero ahorrado menos dinero invertido  

3er paso. La variable es el dinero ahorrado.  (X - X/2)

4to paso. Dinero ahorrado menos dinero invertido es igual a 1500 

X - X/2 = 1500 

• En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 

1er paso. Numero de coches y motos basado en el numero de ruedas. 

2do paso. Se necesita un conocimiento previo. Un coche tiene cuatro ruedas y una moto tiene dos ruedas 

4*coche + 2*moto 

3er paso. Variable es el numero de vehículos (coches o motos) 

4to paso. 4x + 2x = 40 

Polinomios II

Multiplicación de Binomios

      Los binomios tienen algunas características con respecto a la multiplicación que hace los cálculos más simples.

      Si un binomio es multiplicado por sí mismo es igual que ser elevado al cuadrado.

(2x² +3y) * (2x² +3y) = (2x² +3y)²

     La multiplicación de un binomio por su conjugado es igual a la diferencia  del cuadrado de los términos.

(a + b) * (a - b) = a² – b²

     Cuando tenemos un binomio elevado al cuadrado podemos aplicar una técnica llamada binomio de newton. “el primer monomio es elevado al cuadrado, más dos multiplicado por el primer y segundo monomio, más el segundo monomio al cuadrado.”

(2x² +3y)² = (2x²)² + 2(2x)(3y) + (3y)²

4x⁴ + 12xy + 9y²

Demostración 

Recordatorio: en la multiplicación los exponentes de la misma letra se suman y los coeficientes se multiplican

^·          División de polinomios

     A diferencia de la multiplicación, en la división los exponentes se restan y los coeficientes se dividen.  Como toda división contamos con un dividendo (el polinomio que se va a dividir) y un divisor (el polinomio que divide).

Un ejemplo simple para mostrar los pasos:

Resultado: X²

     En este ejemplo vemos los pasos a seguir para realizar una simple división pero como podemos trabajar un problema como el siguiente:

x⁵ + 2x³ − x – 8 ÷ x² − 2x + 1

     

     Para trabajar con un problema así debemos seguir los siguientes pasos. 

1.       Los polinomios deben ser organizado en orden descendente (de mayor a menor) según sus exponentes, si hay algún exponente faltante se expresa con un espacio en blanco o con el numero 0 (cero) ya que cualquier numero multiplicado por cero es igual a cero.

2.       Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

3.       El resultado de esta división se multiplica por cada uno de los términos del divisor.

4.       El resultado de esta división es restado del dividendo.

5.       El proceso se repetirá hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor o el divisor sea igual a cero.

Ejemplo:

(11x² + 6 - 5x³ + x⁴ - 12x) ÷ (-3x + x² + 3)

1er paso: organizar en forma descendente.

2do paso: dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

3er paso: multiplicar por cada término del divisor.

4to paso: restar los términos semejantes.

5to paso: repetir  todo el proceso  hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor o el divisor sea igual a cero.

Otro ejemplo

    Las reglas para la división de fracciones también se aplican para los polinomios.

     A veces el divisor es simplemente un monomio. Esto facilita la división ya que al tener un solo término podemos dividir directamente. 

     con esto concluimos las operaciones básica de los polinomios. para el próximo post empezaremos explicando las variables y ecuaciones y luego regresaremos con nuevas operaciones de polinomios. 

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios. Cuando solo hay dos monomios se le llama binomio, cuando hay tres monomios se les llama trinomio, cuando hay cuatro, cinco o mas no se usan prefijos numerales, simplemente se les llama polinomios.

2x³ + 5x – 3

^{Estos tres monomios unidos conforman un trinomio}

Las operaciones aritméticas que se pueden usar con los polinomios son extensas y cada una tiene sus propias reglas.

Operaciones con Polinomios

·         Suma y resta de polinomios.

Para la suma y/o resta de polinomios se debe tomar en cuenta que los términos tengan la mismas variables y el mismo exponente en cada variable, es decir deben ser términos semejantes y solo los coeficientes se sumaran o restaran mientras que las variables y los exponentes se mantendrán igual.  Ejemplo llamemos al primer polinomio p(x) = 2x² + 6x + 5 y el segundo polinomio Q(x) = 3x² - 2x – 1, la suma entonces la expresamos como:

P(x)  + Q(x) = 5x² +4x + 5

Si usamos la regla de la resta tendremos 

P(x) – Q (x) =  - x²  + 8x + 6

Otra forma de representar la suma/resta de los polinomios podría ser:

p(x) = 2x² + 6x + 5; Q(x) = 3x² - 2x – 1 entonces:

 p(x)  + Q(x) = (2+3)x² + (6-2)x + (5-1) = 5x² +4x+4

Para representar la resta hay que cambiar los signos primero y eso hace los cálculos un poco más tedioso pues hay que mantener la pista de todos los signos para evitar confusiones.

NOTA: para la suma de los polinomios se aplican las reglas conmutativa y asociativa (p(x)  + Q(x) = Q(x) + P(x)).

·         Multiplicación de polinomios.

En la multiplicación de polinomios es un poco más compleja. Los coeficientes se multiplican y los exponentes de las letras que son iguales se suman mientras que las letras diferentes se juntan. Para los signos se utilizan las reglas convencionales de la multiplicación (signos diferentes será negativo, signos iguales será positivo).

Ejemplo:

Nota: el símbolo “x” de multiplicación es remplazado por un punto o paréntesis para evitar confusiones con las variables.

Cuando el número de elementos en los polinomios es diferente hay que multiplicar cada elemento del primer polinomio debe ser multiplicado por cada elemento del segundo polinomio.

Ejemplo: 3x² . (2x³ – 3x² + 4x -2)

Multiplicación de un binomio por un trinomio. P(x) = 2x² – 3; Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x)

Hay que tener cuidado a la hora de multiplicar y asegurarse que todos los términos del primero estas siendo multiplicados por todos los términos del segundo. Como resultado obtenemos.

4x⁵ - 6x⁴ + 8x³ - 6x³ + 9x² - 12x como se puede ver hay dos números que son semejantes. Cuando esto sucede aplicamos la regla de operación de los signos que ellos tengan. En este caso será una resta porque los signos son diferentes. Como resultado final tendremos.

4x⁵ – 6x⁴ + 2x³ +9x² -12x

Continuaremos la explicación en el próximo post, si tienen una pregunta pueden escribirme al correo, Facebook, google plus, o dejar un comentario. Les dejo unos cuantos videos para que vean una explicación grafica del tema.

Suma de polinomios

https://www.youtube.com/watch?v=oSTi6Mxqj8M

https://www.youtube.com/watch?v=fhMBrzn7VTE

resta de polinomios

https://www.youtube.com/watch?v=V3j9rkFYNfY

https://www.youtube.com/watch?v=cYa90WpGahQ

multiplicación de polinomios

https://www.youtube.com/watch?v=PISqWbVV7P4

https://www.youtube.com/watch?v=ve5gBvV7dIY

Monomios

Un monomio es una expresion algebraica que consta de:

     Es la expresión más pequeña del algebra.  Un monomio puede tener mas de una letra como también puede no tener ninguna. Un monomio es diferenciado de otro gracias al signo. Al conjunto de mas de dos monomios es conocido como polinomio (poli -multiple).

     La únicas operaciones posibles en un monomio son multiplicación y exponenciación pero para ello es necesario asignar un valor a la variable o parte literal. Si otro monomio es agregado dejaría de ser un monomio.

 Solo puede ser clasificado como monomio aquellos que tienen exponente natural.

Puntos a tomar en cuenta a la hora de definir un monomio

•       Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).
•      Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.
•      Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.
•      Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que: 

•   El grado es definido por el exponente de las letras. Este puede ser absoluto (la suma de los exponentes de todas sus partes literales) o con relación a una letra.

Grado de un monomio

el grado es determinado por los exponentes de las letras.

La expresión  2x²y tiene un grado absoluto 3 (grado de x = 2; el grado de y = 1)

Monomios semejantes.

     Dos monomios son semejantes si estos contienen la misma y el mismo grado exponencial, el coeficiente puede variar.

2a³b² es similar a 15a³b²

       

EL PROXIMO POST SERA SOBRE LOS MONOMIOS Y SUS OPERACIONES MATEMATICAS

Algebra

Algebra

    Cuando las personas escuchan la palabra algebra  lo primero que llega a sus mentes es algo como:

·        X²  + 3x - 8 = 0

·        La suma de dos números son 15. El primero es mayor que el segundo por cinco. ¿Cuáles son esos valores?

    Estos son buenos ejemplos del campo de estudio del algebra pero no el álgebra puede resumidas a expresiones como estas.  El siguiente ejemplo es otra muestra de algebra.

-

2

=

4

Esto lo hemos visto desde que fuimos introducidos a operaciones aritméticas con números (suma, resta, multiplicación,…, etc.), hemos tenidos que resolver esta clase de problemas. Ahora si sustituimos el cuadro por alguna letra, digamos X, tenemos:

X

-

2

=

4

Ahora si tenemos una expresión a la que estamos acostumbrados pero es simplemente lo mismo a lo que hemos visto desde pequeños. Entendido esto ¿Qué es realmente Algebra?

Algebra es el lenguaje mediante el cual describimos patrones. Piense en ello como una taquigrafía, o algo parecido. Al contrario de tener que algo una y otra vez, el álgebra nos ofrece una forma sencilla de expresar un proceso repetitivo. También es visto como un "guardián" del asunto. Una vez que lograr una comprensión del álgebra, los temas de matemáticas de nivel superior se vuelven accesibles. Es usado por personas con un montón de diferentes puestos de trabajo, como la carpintería, la ingeniería y el diseño de moda. 

Con los videos juegos podemos correr, saltar o encontrar cosas secretas. Bueno, con álgebra jugamos con letras, números y símbolos, y también llegar a encontrar cosas secretas. Si nos enfocamos en ver algebra como un juego donde debemos encontrar el valor de la variable entonces será mucho más simple.

La historia del álgebra, como en general la de la matemática, comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax² + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x² + y² = z², con varias incógnitas.

Los antiguos babilonios, por su parte, resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles.

Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-jabru que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra)

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.

A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x³ + 2>x² + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra.

Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos.

 Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.

 Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano de los números complejos.

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas.

George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

Para esta ocasión vamos a ampliar y explicar algunos de los conceptos más importantes del algebra. Estos son:

• ·        Ecuaciones lineales
• ·        Desigualdades
• ·        Funciones parte 1
• ·        Ecuaciones lineales con dos variables
• ·        Sistemas de ecuaciones lineales
• ·        Ecuaciones cuadráticas
• ·        Factorizaciones
• ·        Funciones parte 2
• ·        Ecuaciones exponenciales
• ·        Razones y proporciones.

Para mayor conocimiento puede visitar los siguientes sitios:

https://es.khanacademy.org/math/algebra

https://www.youtube.com/watch?v=ocu_CnIwuRU

es.wikipedia.org/wiki/Álgebra

http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html