Aprende Matemáticas JMD: rectangulos

Tal vez la figura geométrica más usada hoy son los cuadriláteros; Desde juegos de mesa, la misma mesa, espejos, celulares puertas y ventanas y muchas otras cosas están construidas en forma de cuadriláteros. La palabra cuadrilátero significa cuatro lados, ya que la palabra “-latero” se refiere a laterales o lados y “cuadro- “se refiere a cuatro. Los cuadriláteros se clasifican y se definen generalmente por sus propiedades.

Paralelogramos: es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Rectángulo: es un paralelogramo con cuatro ángulos internos recto.

Cuadrado: un rectángulo con sus cuatro lados de igual tamaño.

Rombo: es un paralelogramo con los lados de igual tamaño.

Trapecio: con dos lados paralelos exactamente.

Elementos generales de un cuadrilátero

Un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos se denomina diagonal. Todos los cuadriláteros contienen dos diagonales.
La suma de sus ángulos internos es 360º.
Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia la suma de la medida de sus ángulos opuestos es igual a 180º.
El área de un cuadrilátero inscrito se obtiene usando la formula $\;A = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$ , donde a, b, c, d son los lados y p es el semiperímetro.

Rectángulos

Puertas, ventanas, celulares, fotos y hasta el papel moneda son ejemplos de un rectángulo. Los rectángulos tienen varias características.

Todos los ángulos internos son rectos.
Los lados opuestos son paralelos.
Los lados opuestos tienen la misma longitud.
Las diagonales tienen la misma longitud.
Las diagonales se interceptan en el punto medio.

Vamos a usar estas características para resolver el siguiente problema.

Problema: El cuadrilátero ABCD es un rectángulo, encuentre las siguientes medidas.

a) Como es un rectángulo, el ángulo $\angle BCD$ es igual a 90°.

b) La longitud del lado AB no es dada como 8 m.

c) La longitud de la diagonal AC la podemos encontrar usando el teorema de Pitágoras o usando la idea que “Las diagonales se interceptan en el punto medio” y que “Las diagonales tienen la misma longitud” la medida del segmento EB es 5 m y la medida del segmento DB = 2EB à 10 m así que la diagonal AC es 10 m.

d) La medida DE es igual a la medida EB es decir 5 m.

Podemos convertir un paralelogramo en un rectángulo si el cumple los siguientes criterios.

Si un paralelogramo tiene un ángulo recto.
Si las diagonales de un paralelogramo son congruentes.

Ejemplo. Un carpintero quiere construir un cobertizo con una base de 10 ft por 8 ft. ¿Cómo se puede asegurar que la fundación tiene cuatro ángulos rectos?

Una de las propiedades de los rectángulos es que sus diagonales tienen la misma medida. Si podemos mostrar que las diagonales son congruentes, entonces podemos decir que la base está en forma rectangular y sus ángulos internos son rectos.

Para ello vamos a formar un paralelogramo cuyos lados opuestos tengan la misma longitud, luego podemos usar una cinta métrica para medir las diagonales. Si ambas miden lo mismo entonces nuestro paralelogramo es un rectángulo.

Una forma de construir un rectángulo es usando dos triángulos rectángulos escalenos (o el mismo triangulo dos veces) pero estos dos triángulos deben ser congruentes y usamos la hipotenusa como su diagonal.

Trapecio

Es importante no confundir un trapecio y un trapezoide, ya que la definición de estos puede variar dependiendo de la región donde se habla el idioma, pero las matemáticas definen un trapecio como un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos mientras que un trapezoide es un cuadrilátero irregular sin lados paralelos (la figura A corresponde a un trapecio y la figura B a un trapezoide). En un trapecio encontramos los siguientes elementos.

Sus lados paralelos se llaman base. Existe una base mayor y una base menor, estas son determinadas por su tamaño.
La altura del trapecio es un segmento que una perpendicularmente las dos bases.
El segmento que une los puntos medios de lados no paralelos se denomina mediana. La longitud de la mediana de un trapecio es igual a la suma de la longitud de sus bases dividida entre dos.

$m = \frac{{a + b}}{2}$

La altura puede calcularse en función a las bases y los lados mediante la siguiente ecuación.

$h = \frac{{\sqrt {4{{(a - c)}^2}{d^2} - {{({d^2} + {{(a - c)}^2} - {b^2})}^2}} }}{{2(a - c)}}$

Podemos imaginar un trapecio como dos líneas paralelas siendo cortadas por líneas transversales.

Como los ángulos ∠A y ∠D son ángulos suplementarios de forma similar podemos decirlo con el otro lado y los ángulos ∠B y ∠C, lo que nos permite crear el enunciado “en un trapecio siempre hay dos pares de ángulos suplementarios.”

Ejemplo. Encuentre el valor de los ángulos x e y.

Como son ángulos suplementarios la suma de sus ángulos es igual a 180°.

${53^ \circ } + x = {180^ \circ }$

x = 180 - 53

$x = {127^ \circ }$

${110^ \circ } + y = {180^ \circ }$

y = 180 - 110

$y = {70^ \circ }$

Si los lados no paralelos del trapecio tienen la misma longitud entonces la figura geométrica se conoce como trapecio isósceles. El trapecio DEFG en la figura A es un trapecio isósceles pues DG ≅ EF. En un trapecio como este podemos decir que ambos pares de ángulos con respecto a sus bases son congruentes. ∠D ≅ ∠E y ∠F ≅ ∠G.

Cuadrado

El más simple de los cuadriláteros. Compuestos de cuatro lados congruentes y cuatro ángulos internos rectos. Esta figura geométrica es considerada una figura regular. Sus diagonales se bisecan en el baricentro y estas son perpendiculares entre si creando cuatro ejes de simetría.

Una diagonal puede cortar un cuadrado en dos triángulos rectángulos por lo que podemos decir que la medida de su diagonal se obtiene usando el teorema de Pitágoras o la forma $a\sqrt 2$ que se obtiene de la simplificación del teorema de Pitágoras. Como todos los lados son congruentes, su perímetro se puede calcular como 4a y su área como a².

Paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos. Por su definición es el cuadrilátero más común y extenso ya que por definición hay otros cuadriláteros que son clasificados como paralelogramos como son el cuadrado, rombo, rectángulo y romboide.

Existe una ley geométrica que relaciona los lados de un paralelogramo con sus diagonales llamada ley de los paralelogramos. Esta dice que la suma del cuadrado de los lados es igual a la suma del cuadrado de las diagonales.

${(AB)^2} + {(BC)^2} + {(CD)^2} + {(DA)^2} = {(AC)^2} + {(BD)^2}$

Puesto que los lados son iguales dos a dos, se puede simplificar.

$2({(AB)^2} + {(BC)^2}) = 2({(CD)^2} + {(DA)^2}) = {(AC)^2} + (BD)$

Con esto concluimos el tema de los cuadriláteros. Existen aun muchos mas ejemplos que podemos presentar y figuras irregulares que podemos trabajar pero esto lo dejaremos para otra ocasión. Aquí les dejo algunos ejercicios de practica para las líneas transversales, triángulos y cuadriláteros. Espero les sea de ayuda. Nuestro próximo tema será sobre área y perímetro. Preguntas y sugerencias la pueden escribir en la sección de comentarios o enviarlas directamente al correo. Recuerden que el propósito de esto es de ayudarlos en todo lo posible.

Encuentre el valor de todos los ángulos.