Aprende Matemáticas JMD: geometria plana

Mientras hacia la investigación sobre el tema, busque de varias fuentes el significado de la palabra círculo que me ayudara a crear un significado que se pueda aplicar en cualquier situación pero también ser entendido por todos. Aunque nuestra mente automáticamente entiende lo que es un círculo, las definiciones existentes no son tan directas como esperaba. Entre las definiciones que encontré definen un círculo como:

El conjunto de todos los puntos que son equidistantes de un punto llamado centro.
Figura geométrica delimitada por una circunferencia.
Es el área contenida en una circunferencia.
Es una región del plano delimitada por una circunferencia y, por tanto, tiene asociada un área.

Imaginamos un círculo como una figura geométrica de la naturaleza. Muchas de las frutas que consumimos vienen en forma circular y las que no las aproximamos a ser como círculos. Usamos el circulo para crear logos y determinar tiempo y sincronización. Estas definiciones contienen elementos comunes que forman parte de lo que es un círculo acorde a como nosotros lo percibimos en el día a día.

El centro es el punto ubicado en el centro de su circunferencia y, por tanto, equidistante a todos los puntos de esta.
Un radio es la longitud de cualquier segmento que une el centro con un punto de su circunferencia. Su longitud es la mitad que la del diámetro.
Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de su circunferencia pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento del mismo nombre.
El perímetro es el contorno del círculo y su longitud. El valor del perímetro es lo que conocemos como circunferencia (la distancia alrededor del círculo). En función del radio r o del diámetro d = 2r tiene el valor C = 2πr à πd. El área del círculo se obtiene con la formula A = πr², donde π es la letra griega “pi” y como hablamos en el post número áureo, para los griegos las letras tenían un significado diferente al que nosotros asignamos. Para ellos pi significaba la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo con un valor aproximado de 3.1416...

Existen otros elementos en un círculo que también son importante como son:

Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de su circunferencia sin necesariamente pasar por el centro. El diámetro es una cuerda de máxima longitud.
Un arco es cualquier porción de su circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta.

Ya habíamos hablado sobre las rectas tangente y secantes en la sección de cálculos. Estas están relacionadas al círculo de la siguiente forma.

Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con el círculo.
Una recta tangente es cualquier recta que toca al círculo en un único punto.
Una recta secante es cualquier recta que corta divide al círculo en dos partes.

Un arco de un círculo cuyos extremos son los extremos de un diámetro lo llamamos semicírculo. Un semicírculo es simplemente la mitad de un círculo así que tanto su área como su circunferencia son la mitad de un círculo.

Como un arco tiene dos puntos extremos podemos trazar una línea desde estos puntos hasta el centro del círculo y obtenemos como valor el radio del circulo para cada extremo y el espacio contenido entre estas dos líneas forma un ángulo. Si conocemos el valor del ángulo y el valor del radio, entonces podemos calcular la longitud del arco con la siguiente formula.

$L{}_{arco} = \theta \cdot r$

Donde el valor del ángulo θ es dado en radianes. Si tenemos un ángulo en grados podemos convertirlo a radianes al multiplicar por π/180 = 0.0174533.

Estos son los elementos básicos que se necesitan saber para poder trabajar con los círculos. Por ahora esto será todo con respecto al tema de la geometría. Esta introducción la estaremos usando para trabajar los futuros temas de cálculos. Si tienes preguntas o sugerencias por favor dejarla en la sección de comentarios.

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Hasta ahora hemos visto las formulas para calcular el perímetro y el área de triángulos y cuadriláteros regulares pero de forma general (para un polígono de n lados) las reglas no siempre son iguales.

En el caso del perímetro solo debemos medir la distancia de cada lado y sumarlas. Así obtenemos la formula

${P_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{L_i}}$

Que se aplica para n lados de un polígono, no importa si este sea regular o irregular, el perímetro es calculado directamente. Esta simplicidad nos permite calcular el perímetro de figuras geométricas no regulares como la siguientes.

Para calcular el perímetro debemos conocer el valor de todos los lados. Como conocemos el valor del lado mas lago podemos sustraer el valor del otro lado.

Ahora podemos calcular el perímetro.

$P = 36\,m$

Este tipo de figuras irregulares tienen la particularidad de que pueden ser aproximadas completando su figura, es decir, buscando la figura geométrica regular más próxima a ellas y calculado ese perímetro. En el caso del ejercicio anterior esta figura es bastante parecía a un rectángulo así que si calculamos el perímetro de un rectángulo con las mismas dimensiones tenemos.

${P_{rectangulo}} = 2L + 2w$

$P = 2\left( {10} \right) + 2\left( 8 \right)$

$P = 36\,m$

Pero no siempre es el caso. Así que es mejor calcularlo de la forma correcta. Veamos otro ejemplo.

Si aproximamos a figura geométrica a un rectángulo tenemos que nuestro perímetro es

P = 2(15) + 2(6)

P = 42 in

Sin embargo si calculamos el perímetro alrededor.

$P = 50\,in$

La respuesta es muy diferente. Esta diferencia esta en si la figura es cóncava o convexa. La primera figura se asemeja a una figura convexa y la segunda es una figura cóncava.

El área por otro lado es un poco mas complicado. Como el área determina la cantidad de superficie encerrada, su resultado siempre nos da dos dimensiones, así que siempre que calculamos el área estamos multiplicando dos dimensiones (por lo general estas dimensiones son el largo (L) y el ancho (w)).

Entre las áreas que hemos explorado hasta ahora se encuentran las siguientes ecuaciones.

Cuadrado $A = {L^2}$

Rectángulo $A = L \cdot w$

Paralelogramo $A = b \cdot h$

Triangulo $A = \frac{1}{2}b \cdot h$

Trapecio $A = \frac{1}{2}h\left( {{b_1} + {b_2}} \right)$

Ya hemos mencionado de figuras geométricas regulares pero no le hemos dado una definición. Los polígonos regulares son aquellos que todos sus lados y ángulos son iguales. De los triángulos, el triángulo equilátero es un polígono regular y de los cuadriláteros, el cuadrado es un polígono regular. Estos tienen la particularidad de que su perímetro se puede calcular conociendo un solo lado con la formula P = nL, donde n indica el número de lados. De tal forma que podemos encontrar el área de estas figuras con tan solo conocer el valor de un lado y su apotema. La apotema es la menor distancia entre el centro y cualquiera de los lados y siempre es perpendicular a dicho lado.

La apotema la podemos calcular.

$a = \frac{L}{{2\tan \theta }}$

Para polígonos regulares todos los ángulos miden lo mismo, así que.

$\theta = \frac{{{{360}^ \circ }}}{{2n}}$

El área de un polígono regular se obtiene con la siguiente formula.

$A = \frac{1}{2}P \cdot a$

Donde P es el perímetro y a es la apotema. el valor de uno de los lados permite calcular el perímetro pues todos los lados miden lo mismo.

Ejemplo. Obtén el área de un hexágono regular si su apotema es 2.6 cm y uno de sus lados mide 3 cm.

Como la figura es un hexágono esta tiene 6 lados así que su perímetro es

$P = 6(3) = 18\,cm$

Ahora que conocemos el perímetro podemos calcular el área.

$A = \frac{1}{2}P \cdot a$

$A = \frac{1}{2}\,(18\,cm) \cdot (2.6\,cm)$

$A = 23.4\,c{m^2}$

Recuerden que las unidades son al cuadrado.

¿Qué tal si tenemos una figura irregular y queremos calcular su área como la figura A? O queremos ser selectivo en el cálculo del área como la figura B?

En el caso de la figura A, podemos dividir la figura en polígonos más simples que si podemos calcular y una vez calculados podemos agregarlos para obtener el valor del área de la figura final. Así la figura A podemos dividirla es un triangulo y un trapecio y obtenemos que el área será la suma de estas dos.

${A_{total = }}\,{A_{triangulo}} + {A_{trapecio}}$

$A = \frac{1}{2}\,{b_1}{h_1} + \frac{1}{2}\,{h_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right)$

En el caso de la figura B podemos encontrar el área de la región sombreada sustrayendo el área del objeto y el área adjunta.

${A_{total = }}\,{A_{rectangulo}} - {A_{cuadrado}}$

$A = {L_1} \cdot w - L_2^2$

Con esto ya tenemos un mejor entendimiento de como trabajar problemas del área y el perímetro. En la próxima publicación estaremos hablando sobre el circulo y con esto cerraremos el tema de la geometría por ahora. Los resultados a los ejercicios anteriores los dejare aquí debajo.

Encuentre el valor de todos los ángulos.

Primero quisiera nombrar todos los lados para poder usar las propiedades de las líneas transversales.

Ahora si podemos decir que los ángulos F y H son congruentes al igual que los ángulos A y C. también podemos decir que los ángulos C y F son ángulos consecutivos y su suma es igual a 180º con lo cual podemos encontrar su valor.

$\angle C + \angle F = {180^ \circ }$

$\angle C = \angle A$

El ángulo F es igual a

$\angle F = 4x + 6$

$\angle F = 4(28.43) + 6$

$\angle F = {119.72^ \circ }$

El ángulo C es igual a

$\angle C = 3x - 25$

$\angle C = 2(28.43) - 25$

$\angle C = {60.29^ \circ }$

La suma de estos dos ángulos es ≈ 180º pues el numero ha sido redondeado.

Ahora bien el ángulo A, C, E y G son congruentes y tienen la misma medida. De igual forma los ángulos B, D, F y H son congruentes y miden lo mismo.

Encuentre los ángulos internos que faltan en los siguientes triángulos.

En a figura A podemos encontrar el ángulo interno de forma fácil.

${42^ \circ } + {57^ \circ } + \angle a = {180^ \circ }$

$\angle a = {180^ \circ } - {42^ \circ } - {57^ \circ }$

$\angle a = {81^ \circ }$

En la figura B tenemos un triángulo rectángulo. Sabemos que uno de los ángulos internos en un triángulo rectángulo es 90 º.

${90^ \circ } + {30^ \circ } + \angle a = {180^ \circ }$

$\angle a = {180^ \circ } - {90^ \circ } - {30^ \circ }$

$\angle a = {60^ \circ }$

En la figura C es un poco más complicado ya que tenemos un solo ángulo interno y tenemos el valor de los lados del triángulo. Podemos usar la ley del seno para encontrar uno de los ángulos y de ahí encontrar el ángulo interior restante.

$\frac{A}{{\sin \alpha }} = \frac{B}{{\sin \beta }} = \frac{C}{{\sin \gamma }}$

$\frac{5}{{\sin {{60}^ \circ }}} = \frac{9}{{\sin B}}$

$\sin B = \frac{{9 \cdot \sin {{60}^ \circ }}}{5}$

$B = \arcsin \left( {\frac{{9 \cdot \sin {{60}^ \circ }}}{5}} \right)$

$B = \arcsin \left( {\frac{{9 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{5}} \right)$

$B = \arcsin (1.559)$

Pero el rango del seno no permite números mayores que 1. Si comprobamos el valor de la altura tenemos que.

$h = 9 \cdot \sin {60^ \circ }$

$h = 9 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 7.794$

Si comparamos la altura con el otro lado vemos que h > 5, esto no debería ser pues la hipotenusa debe ser el lado mas largo. Por lo tanto decimos que este triangulo no tiene solución o no es posible.

Encuentre el área en los siguientes cuadriláteros.

La formula para calcular el área de un cuadrado es bastante simple.

${A_{cuadrado}} = {L^2}$

${A_{cuadrado}} = {8^2} = 64\,cm$

En el caso del rectángulo tenemos el valor de la diagonal y necesitamos encontrar el valor del lado restante. Para ello podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

$a = \sqrt {{c^2} - {b^2}}$