Polígonos: Cuadriláteros

    Tal vez la figura geométrica más usada hoy son los cuadriláteros; Desde juegos de mesa, la misma mesa, espejos, celulares puertas y ventanas y muchas otras cosas están construidas en forma de cuadriláteros. La palabra cuadrilátero significa cuatro lados, ya que la palabra “-latero” se refiere a laterales o lados y “cuadro- “se refiere a cuatro. Los cuadriláteros se clasifican y se definen generalmente por sus propiedades.

Paralelogramos: es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Rectángulo: es un paralelogramo con cuatro ángulos internos recto.

Cuadrado: un rectángulo con sus cuatro lados de igual tamaño.

Rombo: es un paralelogramo con los lados de igual tamaño.

Trapecio: con dos lados paralelos exactamente.

Elementos generales de un cuadrilátero

• Un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos se denomina diagonal. Todos los cuadriláteros contienen dos diagonales.
• La suma de sus ángulos internos es 360º.
• Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia la suma de la medida de sus ángulos opuestos es igual a 180º.
• El área de un cuadrilátero inscrito se obtiene usando la formula  , donde a, b, c, d son los lados y p es el semiperímetro.

Rectángulos

Puertas, ventanas, celulares, fotos y hasta el papel moneda son ejemplos de un rectángulo. Los rectángulos tienen varias características.

• Todos los ángulos internos son rectos.
• Los lados opuestos son paralelos.
• Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Las diagonales tienen la misma longitud.
• Las diagonales se interceptan en el punto medio.

Vamos a usar estas características para resolver el siguiente problema.

Problema: El cuadrilátero ABCD es un rectángulo, encuentre las siguientes medidas.

a)    Como es un rectángulo, el ángulo  es igual a 90°.

b)    La longitud del lado AB no es dada como 8 m.

c)     La longitud de la diagonal AC la podemos encontrar usando el teorema de Pitágoras o usando la idea que “Las diagonales se interceptan en el punto medio” y que “Las diagonales tienen la misma longitud” la medida del segmento EB es 5 m y la medida del segmento DB = 2EB à 10 m así que la diagonal AC es 10 m.

d)    La medida DE es igual a la medida EB es decir 5 m.

    Podemos convertir un paralelogramo en un rectángulo si el cumple los siguientes criterios.

• Si un paralelogramo tiene un ángulo recto.
• Si las diagonales de un paralelogramo son congruentes.

Ejemplo. Un carpintero quiere construir un cobertizo con una base de 10 ft por 8 ft. ¿Cómo se puede asegurar que la fundación tiene cuatro ángulos rectos?

    Una de las propiedades de los rectángulos es que sus diagonales tienen la misma medida. Si podemos mostrar que las diagonales son congruentes, entonces podemos decir que la base está en forma rectangular y sus ángulos internos son rectos.

    Para ello vamos a formar un paralelogramo cuyos lados opuestos tengan la misma longitud, luego podemos usar una cinta métrica para medir las diagonales. Si ambas miden lo mismo entonces nuestro paralelogramo es un rectángulo.

    Una forma de construir un rectángulo es usando dos triángulos rectángulos escalenos (o el mismo triangulo dos veces) pero estos dos triángulos deben ser congruentes y usamos la hipotenusa como su diagonal. 

Trapecio

    Es importante no confundir un trapecio y un trapezoide, ya que la definición de estos puede variar dependiendo de la región donde se habla el idioma, pero las matemáticas definen un trapecio como un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos mientras que un trapezoide es un cuadrilátero irregular sin lados paralelos (la figura A corresponde a un trapecio y la figura B a un trapezoide). En un trapecio encontramos los siguientes elementos.

• Sus lados paralelos se llaman base. Existe una base mayor y una base menor, estas son determinadas por su tamaño.
• La altura del trapecio es un segmento que una perpendicularmente las dos bases.
• El segmento que une los puntos medios de lados no paralelos se denomina mediana. La longitud de la mediana de un trapecio es igual a la suma de la longitud de sus bases dividida entre dos.

•  La altura puede calcularse en función a las bases y los lados mediante la siguiente ecuación.

    Podemos imaginar un trapecio como dos líneas paralelas siendo cortadas por líneas transversales.

    Como los ángulos ∠A y ∠D son ángulos suplementarios de forma similar podemos decirlo con el otro lado y los ángulos ∠B y ∠C, lo que nos permite crear el enunciado “en un trapecio siempre hay dos pares de ángulos suplementarios.”

Ejemplo. Encuentre el valor de los ángulos x e y.

    Como son ángulos suplementarios la suma de sus ángulos es igual a 180°.

    Si los lados no paralelos del trapecio tienen la misma longitud entonces la figura geométrica se conoce como trapecio isósceles. El trapecio DEFG en la figura A es un trapecio isósceles pues DG ≅ EF. En un trapecio como este podemos decir que ambos pares de ángulos con respecto a sus bases son congruentes. ∠D ≅ ∠E y ∠F ≅ ∠G.

Cuadrado

    El más simple de los cuadriláteros. Compuestos de cuatro lados congruentes y cuatro ángulos internos rectos. Esta figura geométrica es considerada una figura regular. Sus diagonales se bisecan en el baricentro y estas son perpendiculares entre si creando cuatro ejes de simetría.

    Una diagonal puede cortar un cuadrado en dos triángulos rectángulos por lo que podemos decir que la medida de su diagonal se obtiene usando el teorema de Pitágoras o la forma  que se obtiene de la simplificación del teorema de Pitágoras. Como todos los lados son congruentes, su perímetro se puede calcular como 4a y su área como a².

Paralelogramo

    Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos. Por su definición es el cuadrilátero más común y extenso ya que por definición hay otros cuadriláteros que son clasificados como paralelogramos como son el cuadrado, rombo, rectángulo y romboide.

    Existe una ley geométrica que relaciona los lados de un paralelogramo con sus diagonales llamada ley de los paralelogramos. Esta dice que la suma del cuadrado de los lados es igual a la suma del cuadrado de las diagonales.

    Puesto que los lados son iguales dos a dos, se puede simplificar.

    Con esto concluimos el tema de los cuadriláteros. Existen aun muchos mas ejemplos que podemos presentar y figuras irregulares que podemos trabajar pero esto lo dejaremos para otra ocasión. Aquí les dejo algunos ejercicios de practica para las líneas transversales, triángulos y cuadriláteros. Espero les sea de ayuda. Nuestro próximo tema será sobre área y perímetro. Preguntas y sugerencias la pueden escribir en la sección de comentarios o enviarlas directamente al correo. Recuerden que el propósito de esto es de ayudarlos en todo lo posible.

Encuentre el valor de todos los ángulos.

Encuentre los ángulos internos que faltan en los siguientes triángulos.

Encuentre el área en los siguientes cuadriláteros.

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Polígonos: Triángulos

    Hasta ahora ya hemos estudiado las rectas y las propiedades que surgen de la interacción de dos o más de ellas. En esta sección trataremos de las figuras planas que se forman cuando estas rectas forman un espacio cerrado. Estas figuras formadas por secuencias de segmentos de rectas que forman un espacio cerrado son llamados polígonos.

    Un polígono es una figura geométrica plana que encierra una región en el plano. Un plano es un objeto que posee dos dimensiones con infinitos puntos y rectas. Un plano queda definido si contiene:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.

    Un plano suele ser nombrado usando una letra del alfabeto griego. en estos planos es donde construimos nuestros polígonos bidimensionales.

Plano nombrado por la letra π (pi).

    En un polígono se distinguen varios elementos geométricos como son:

Lados: son cada uno de los segmentos de recta que conforman el polígono.

Vértices: es el punto de intersección de dos lados consecutivos del polígono.

Diagonales: es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos del polígono.

Ángulos interiores: son los ángulos formados por los lados consecutivos dentro de la región cerrada del polígono

Ángulos exteriores: son los ángulos formados externamente al polígono, por uno de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.

Partes de un triangulo.

    Existen otros elementos que se pueden identificar en un polígono como son el centro y apotema.

Triángulos

    Un polígono se forma al unir segmentos de recta de forma que no dos segmentos se interceptan, excepto en sus puntos final. Como un polígono contiene un espacio cerrado, el mínimo numero de lados que forma un polígono es 3 y esta forma es conocida como triangulo (tres ángulos). Los lados de un triángulo son nombrados usando letras mayúsculas mientras que la longitud de los lados es denotada por letras minúsculas, los ángulos internos son nombrados por lo general usando la letra griega theta, θ, pero cualquier letra puede ser usada. 

    Un triángulo puede ser clasificado según la longitud de sus lados o según el tamaño de sus ángulos internos.

• Según la longitud de sus lados:

Triangulo equilátero: la longitud de los tres lados es la misma, creando así un triángulo cuyos ángulos internos miden 60° ó π/3 radianes

Triangulo isósceles: dos lados del triangulo tienen la misma longitud. Los ángulos opuestos a estos lados tienen la misma medida.

Triangulo escaleno: la longitud de todos los lados es diferente y los ángulos internos también son todos diferentes.

Las líneas indican cuales lados son iguales. En la parte C estas indican que son diferente.

• Por la amplitud de sus ángulos:

Triangulo acutángulo: todos sus ángulos internos son agudos.

Triangulo rectángulo: uno de sus ángulos internos es un ángulo recto, es decir de 90°.

Triangulo obtusángulo: dos de sus lados forman un ángulo obtuso.

    La suma de los ángulos internos es dada por la fórmula 180°(n-2) donde “n” es el numero de lados. Como un triangulo tiene 3 lados, la suma de sus ángulos internos es 180°.

Propiedades

    Dentro de un triángulo podemos trazar rectas que concurren en un punto, creando así propiedades interesantes.

•     Una línea que une cada vértice con el centro de su lado opuesto se llama mediana. El punto de intersección de las medianas es conocido como baricentro. Este también es el centro de equilibrio del triángulo.

•     Existen también líneas que son perpendiculares al punto central de cada lado, estos se llaman mediatrices y su punto de intersección es el circuncentro. El circuncentro coincide con el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

•     Una línea que divide cada ángulo interno en dos ángulos de la misma medida se llama bisectriz. El punto de intersección de las bisectrices se conoce como incentro. Este punto permite trazar una circunferencia inscrita y tangente a todos los lados del triángulo.

•     Podemos trazar líneas que desde un vértice hasta el lado opuesto que sean perpendiculares. Llamamos a estas líneas altura el punto donde se interceptan es el ortocentro. Cada altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos.

    Existen métodos para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Para resolver triángulos en general se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno pero en el caso especial de triángulos rectángulos utilizamos el teorema de Pitágoras.

Triangulo de referencia para las definiciones.

    El teorema de Pitágoras afirma que en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si no estas familiarizado con estos nombres los catetos son los lados del triangulo que forma el ángulo recto mientras que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Este teorema se puede escribir como una ecuación.

    Algunos datos curiosos sobre este teorema es que el lado de la hipotenusa siempre será el lado mas largo de los tres; podemos crear un triángulo rectángulo dentro de cualquier triangulo usando su altura y el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de sus lados.

    Una de las grandes ventajas de este teorema es que ayudo mucho en la construcción de las conocidas funciones trigonométricas [seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc)]. 

    Los triángulos son los únicos polígonos que siempre son convexos pues ninguno de sus ángulos internos puede ser mayor que 180 grados.

    Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Esto aplica para cualquier triangulo y es conocido como el teorema del seno.

    El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido. Esto también se conoce como teorema del coseno.

Congruencia de los triángulos

    Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de forma que los lados y el ángulo del vértice sean congruentes con el otro. Esto permitió la postulación de la congruencia y en si el teorema de congruencia.

Postulados

• LAL (lado, ángulo, lado): dos triángulos son congruentes si dos de sus lados en uno tienen la misma longitud que dos lados del otro y el ángulo comprendido entre esos lados tienen la misma medida.
• ALA (ángulo, Lado, ángulo): dos triángulos son congruentes si dos ángulos internos y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud.
• LLL (lado, lado, lado): dos triángulos son congruentes si cada lado de un triangulo mide lo mismo que los correspondientes del otro triangulo.
• Teorema de congruencia (AAL) dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado no comprendido entre los ángulos tienen la misma medida.

Área y Perímetro

    Finalmente en el mundo de los polígonos existen dos conceptos que nos permite determinar que tanta superficie es cubierta por el polígono y la distancia alrededor de la figura, esta son el área y el perímetro.

    El perímetro es la suma de todos los lados de un polígono. Tan simple como eso. Simplemente medimos todos los lados y los sumamos y el resultado es el perímetro. Es un concepto bastante usado a la hora de construir una cerca, un muro, o un puente ya que el perímetro nos da una idea de cuanto material será requerido para cubrir una superficie especificada. Así que la medida del perímetro es unidimensional.

    El área nos permite medir la extensión de una superficie, que tanto terreno ha sido cercado, o la extensión de la superficie que se encuentra dentro de una pirámide. Para ello necesitamos conocer la longitud de dos dimensiones de esta superficie, por lo general su largo y su ancho pero dos cualesquiera funcionan.

    El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:

    Donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

    Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

    Donde a y b son los catetos.

    Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón en vez de determinar la altura.

    Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo.

    Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

    Esto cubre las partes más importantes de los triángulos. Para la próxima publicación trataremos sobre cuadriláteros y posiblemente podremos algunos ejercicios para practicar los triángulos y los cuadriláteros. Si tienen alguna pregunta como siempre pueden dejarla en la sección de los comentarios. Sugerencias también son aceptadas así que no duden en escribir.

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