Geometría: Líneas y ángulos

    El contenido que estas a punto de leer está lleno de nuevas definiciones. Les recomiendo tomarse su tiempo a la hora de leer esta publicación y asegurarse que comprenden lo que aquí se describe. Si algo les resulta confuso y consideran que su definición es incorrecta pueden escribirlo en los comentarios.    

    En la previa publicación definimos una línea como una sucesión de puntos sin espacio entre ellos. Una línea no tiene ancho ni profundidad y es una dimensión en espacio. Una línea puede ser representada por una raya con flechas que indica que se extiende infinitamente en ambos lados. Podemos nombrarla usando dos puntos cualesquiera que pertenezcan a la línea y se vería así, esto indica que los puntos A y B son parte de la línea. Otro nombre común que se usa es el de la letra cursiva ℓ. Una línea carece de dirección, a menos que esta sea especificada en un plano, por lo tanto posee la siguiente propiedad.  y en el caso de que dirección es especificada.

    Si medimos la distancia entre dos puntos tendremos un segmento de línea. Esta no es infinita ya que tiene dos puntos al final que indican el límite de su tamaño. Un segmento de línea se nombra igual que una línea pero en vez de dos flechas solo usamos una barra para indicar que es finita.

    Existen líneas que también tienen un origen y se extienden al infinito en una sola dirección. Este tipo de líneas la llamamos rayo de línea. Cuando son nombradas la primera letra indica cual es el punto de origen y solo contiene una flecha. Esto también implica quepero  . A pesar de que este es el punto de origen del rayo es llamado punto final debido a errores de traducción. 

Representación gráfica de una línea, segmento de línea y rayo de línea.

    A la hora de dibujar líneas en un papel puede resultar un poco difícil crear una línea recta si esta es demasiado larga. No muchas personas pueden mantener el pulso de la mano para hacer una línea recta, yo incluido, pero existe una herramienta que nos ayuda a crear líneas perfectas y esta es la regla.

    Es un instrumento rectangular con forma de plancha delgada que incluye una escala longitudinal. Por lo general suelen ser de material rígido como la madera pero también existen flexibles como la cinta métrica que se usa en construcción. La longitud de la regla típica que encontramos en la escuela es de 15-30 centímetros, aunque existe reglas de 1 metro para usar en la pizarra. Está hecha a escala para medir y dibujar objetos en la escala de centímetros y milímetros, cada diez milímetros es un centímetro. Existen otros modelos que utilizan las pulgadas o fracciones de pulgadas como escala.

En una regla las pequeñas barras representan la distancia en milímetros mientras que los números indican centímetros.

    Las reglas se utilizan para trazar rectas, verificar la alineación o servir de guía, o para medir. Por lo general utilizamos el lado donde están los números y trazamos una línea a la distancia deseada partiendo por lo general desde cero, si empezamos desde cualquier otro punto entonces debemos recordar que ese punto es nuestro punto de partida y ajustar la medida acorde. Ejemplo una línea de 5 cm puede ir desde el punto 0 hasta el punto 5, o desde el punto 1 hasta el punto 6, o desde el punto 2 hasta el punto 7, etc.  

    Dos o más líneas crean propiedades interesantes dependiendo de la forma en que se presenten. Dadas dos líneas existen dos posibilidades:  ellas pueden que se intercepten en un punto o no. Aquellas líneas que se extienden al infinito y nunca se interceptan son consideradas líneas paralelas y se representan con el símbolo ‘//’. Dos líneas que se interceptan pueden crear líneas perpendiculares, expresada con el símbolo ⟂, formando ángulos de 90 grados entre sí o pueden crear líneas secantes cuyos ángulos difieren de los 90 grados. Existe una excepción y esta es las líneas coincidentes las cuales tienen todos sus puntos en común, es decir están una encima de la otra. Por lo general esto es ignorado pues se ve como solo una línea.

    Las líneas de la gráfica A son paralelas también se puede escribir como AB // CD mientras que las líneas de la gráfica B son perpendiculares y se expresan así DE ⟂ FG. La gráfica C presenta líneas secantes.

    Si dos líneas tienen un punto final en común entonces estas líneas forman lo que conocemos como un ángulo. Este punto final pasa a llamarse vértice. Y los rayos son conocidos como lados. Se representa con el símbolo ∠, no debe ser confundido con el símbolo < que significa “menor que”. 

    La figura representa el ángulo ∠ABC ó ∠CBA ó ∠B. La letra de en medio representa el vértice. Otra forma de describir un ángulo es usando la unión de dos rayos de líneas.  significa que el ángulo ABC es igual a la unión de los rayos BA y BC. Donde el punto en común y vértice es el punto B.

    Cuando dos líneas están interceptadas solo pueden moverse una dependiendo de la otra, esto hace que el número de ángulos posible sea limitado. La máxima amplitud de un ángulo es aquella donde uno de los lados se extiende lo más posible haciendo que este regrese a la posición de su origen y creando en el proceso un círculo. Por esta razón se considera que la amplitud de un ángulo es igual a un arco de circunferencia de un círculo. Su medida es basada en la proporción de la longitud del arco y el radio. Se mide en radianes pero la forma convencional es el uso del grado sexagesimal. 

    El instrumento utilizado para medir ángulos es el transportador y mide ángulos en grados. Por lo general el transportador que utilizamos en la escuela es de 180° pero existen transportadores de 360° e incluso transportadores en otra escala. 

Transportador con escala sexagesimal.

    Para crear un ángulo usando un transportador primero debemos crear una línea de referencia con respecto al ángulo de cero grados (1). El centro del transportador será donde vamos a localizar el vértice del ángulo (2), luego marcar el grado deseado ya sea 30°, 45°, 22° (3) y finalmente trazar una segunda línea desde la línea de referencia hasta el punto marcado (4).

Descripción de como trazar un ángulo usando un transportador.

    De acuerdo con su amplitud los ángulos son clasificados como:

• Angulo nulo: es el ángulo formado por dos semirrectas coincidente y mide cero grados, es decir sin aberturas
• Angulo agudo: es todo Angulo cuya amplitud sea mayor que cero grados y menor que 90°. X es agudo si 0° < X < 90°.
• Angulo recto: es un ángulo cuya amplitud es 90°. Creando así dos líneas perpendiculares.
• Angulo obtuso: es todo ángulo cuya amplitud es mayor que 90° y menor que 180°.
• X es obtuso si 90° < X < 180°.
• Angulo llano: es un ángulo cuya amplitud es de 180°.
• Angulo oblicuo: es un ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
• Angulo completo: es un ángulo con una amplitud de 360°.

    Para convertir las unidades de los ángulos de grados a radianes y viceversa usamos la relación de que 180° es igual a π radianes y aplicamos la regla de tres. Ejemplo convertir 45° a radianes.

Si la suma de dos ángulos es igual a 90° entonces estos ángulos son complementarios.

Si la suma de dos ángulos es igual a 180°entonces estos ángulos son suplementarios.

    Por ahora esto será todo. Espero esto le sea de ayuda. Les dejare unos ejercicios sobre conversión de ángulos y ángulos complementarios y suplementarios. Si les gusto la publicación por favor compartir. En la próxima publicación estarán las respuestas a estos problemas.

Convertir los siguientes ángulos.

135° a radianes

3π/4 a grados

60° a radianes

2π/5 a grados

π/6 a grados

275° a radianes

¿Cuál es el ángulo complementario de 35°?

¿Cuál es el ángulo suplementario de 76°?

Dos ángulos son complementarios y sus ángulos miden 2x+5 y 3x-20. ¿Cuáles son los ángulos?

 

Geometría: Introducción

    La palabra geometría es una combinación de la palabra griega “geo-” que significa tierra y “-métrica” que significa medida. Es una de las ramas de las matemáticas más elegantes ya que trata de formas visuales que conocemos de la vida cotidiana, pero utiliza pruebas precisas.

    Aprender geometría no requiere habilidades previas como aritmética básica. Por lo tanto, la geometría es adecuada como introducción a las matemáticas para la escuela primaria y su aprendizaje es completamente lineal lo que permite que cualquier persona la aprenda en cualquier momento.

    La geometría que se estudia en el plano (aquella por la cual conocemos las diferentes figuras geómetras) se le conoce como geometría euclidiana, en honor al matemático griego Euclides quien escribió el libro más famoso de matemática y el segundo más leído en la historia.  

    Considerado el padre de la geometría debido a su gran aporte al campo con su libro “elementos” que está compuesto de 13 volúmenes, Euclides presenta la información que no se asume ser verdadera, se muestra. Empezamos desde un numero de axiomas que establecen la fundación de la geometría. Todo el material es derivado y probado consistente con los axiomas. Es esta forma única de presentar la información que hizo de su libro tan famoso. La gente no era considerada como educada si ellos no tenían conocimiento del Libro “Elementos” de Euclides por más de 2000 años después de su publicación.

    En su libro es presento cinco postulados que presentaban los conocimientos geométricos de la Grecia antigua. Los postulados de son:

1. ,Dos puntos distintos cualesquiera determinan un segmento de recta.

   

   
   

2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

   

   
   

3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

   

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

   

   
   
   

5. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

    Este ultimo postulado es menos obvio que los demás, pero cuando se intento comprobar termino creando dos nuevas geometrías: la geometría hiperbólica también conocida como geometría de Lobachevsky y la geometría elíptica también conocida como geometría de Riemann. El propósito de esto es entender los fundamentos para explorar mas complicadas formas en el futuro.

“Las leyes de la naturaleza no son más que los pensamientos matemáticos de Dios” - Euclides.

    Así como Euclides nosotros vamos a basar nuestro estudio de la geometría empezando por crear el conjunto de axiomas que servirán de base para todo el trabajo que haremos en el futuro y a medida que nuevas cosas empiecen aparecer iremos describiendo como estos axiomas juegan un papel importante.

    Empezaremos por definir conceptos importantes para la fundación de la geometría. Puntos, líneas y tipos de líneas, ángulos y tipos de ángulos, rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones así también como las herramientas usadas en geometría. También debemos tener presente el significado de la nomenclatura. Algunos de los símbolos que vamos a encontrar serán.

    Las letras elegidas son irrelevantes, lo importante es reconocer que cuando presentemos información de esta forma sepan a qué nos referimos. Empecemos con definiciones importantes.

    Los objetos mas simples en la geometría son el punto, la línea y el plano. Esta simplicidad hace que sea difícil dar una definición exacta de lo que son, pero podemos construir una basada en sus propiedades.

    Un punto se utiliza para marcar una posición en el espacio y no contiene estructura interna, no tiene tamaño. Cuando dibujamos un punto es obvio que este tiene dimensiones (tal vez al nivel de micrómetros o nanómetro) pero en realidad es solo una representación de un objeto que no tiene ninguna estructura solo representa una marca en una posición. Representamos un punto con una letra mayúscula

    Una sucesión de puntos sin espacio entre ellos nos ayuda a formar lo que es una línea. Una línea no tiene anchura y se extiende hasta el infinito por ambos lados. Por lo general se representa con dos flechas en los extremos que indican que se extiende. De un punto se pueden crear infinitas líneas en todas las direcciones. Entre dos puntos podemos crear lo que llamamos un segmento de una línea. Podemos nombrar un segmento de línea usando los nombres de los puntos con un marcador arriba que indica si es una línea o un segmento. Usamos la doble flecha (↔) para indicar que es una línea usamos una barra (-) para indicar que es un segmento de línea.

    Un plano es una superficie plana, que se extiende infinitamente. Tiene largo y ancho pero no profundidad, un espacio bidimensional. La parte superior de una mesa, un piso o una pared es parte de un plano. Podemos nombrar un plano usando cualquiera de los tres puntos que se encuentran en el plano. La idea de un plano que se extiende infinitamente es prácticamente imposible pero secciones de un plano como una hoja de papel la usamos como referencia en el día a día.

    La idea del infinito es algo más allá de lo que podemos construir sin embargo su uso es bastante importante. En geometría podemos usar escala para determinar propiedades ya que las propiedades deben mantenerse tanto en el finito como en lo infinito.

    Con esto hacemos nuestra introducción a la geometría. En la próxima publicación estaremos hablando sobre líneas. No olviden compartir y dejar sus comentarios 

Número Áureo

    En el mundo de las matemáticas, las constantes son usadas para inferir algo sobre la naturaleza. Una de las constantes más conocidas y usadas es pi (denominado por la letra griega del mismo nombre π). Se define como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. La palabra relación es sinónimo de proporción, es decir, si dividimos la circunferencia por el diámetro el valor que tendremos es pi. Este es un número irracional con un valor truncado a sus primeras cifras 3.14 pero el valor se extiende al infinito (3.141 592 653 589 793 238 462…). Sin embargo, esta no es la única constante que usamos y conocemos. Existe la constante de la velocidad de la luz en física denotada por la letra c, también tenemos el número de Euler e, pero existe una constante que ha sido usada como símbolo estándar de belleza. Esta es conocida como el número de oro o número áureo.

    Se trata de un número algebraico irracional que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta. El número áureo aparece de la división en dos de un segmento de línea donde la longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

En términos algebraicos.

    Donde el cociente  es el numero áureo. Si manipulamos la esta expresión algebraicamente tendremos.

Sustituyendo 

La solución positiva a esta ecuación de segundo grado nos da.

    Este valor es el numero de oro. Denotada desde la antigüedad con la letra fi (Φ, φ) fue primero presentado por Euclides en su libro “los elementos”. el demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional. Pero ¿Que hace este número tan especial? ¿Por qué es considerado importante?

                    

Si analizamos este numero obtendremos patrones bastante peculiares:

• si multiplicamos fi por si mismo obtenemos el mismo número que si sumamos 1 a fi.

• Si calculamos el inverso de fi es igual que si restamos 1 a fi.

• En un triángulo isósceles cuyos ángulos internos son 72°, 72° y 36°. La relación de los lados más largos entre el lado más pequeño es igual a phi. Este es conocido como el triangulo áureo o triangulo sublime.

• Si dividimos uno de los lados mas largo esto crea un triángulo interno con las mismas propiedades mientras que el otro triangulo creado será 1/φ. Este nuevo triangulo se conoce como gnomon áureo

• Si colocamos dos gnómones áureos en un triángulo sublime tendremos un Pentágono.

• Si interceptamos dos gnómones áureos y le agregamos un triangulo sublime, obtenemos un pentagrama.

Existe otra figura geométrica que es asociada con el numero áureo. Esta es llamada el rectángulo áureo o rectángulo dorado. Para construirlo debemos seguir los siguientes pasos.

• Se construye un cuadrado de lado unidad ABCD
• Traza una línea desde la mitad del lado del cuadrado (G) hasta una de sus esquinas, dando un segmento GC
• Empleando esta línea GC como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en E.
• Se completa el rectángulo AEDF así como el rectángulo BCEF.

    Si tomamos el rectángulo dorado y colocamos otro rectángulo dorado dentro de él. Y otro dentro de ese y así sucesivamente obtendremos una figura como esta.

    Tal vez no parezca nada especial, pero si trazamos una curva a través de todos los cuadros obtendremos lo que es conocido como la espiral dorada.

    Esta es una figura que se encuentra en la naturaleza en innumerable formas y animales. Uno de los más conocidos es la cascara de los nautilos. Personas alrededor mundo claman de que siguen encontrando el numero áureo en la naturaleza y es esto es lo hace a este número único. ¿Es posible que este número tengan algún secreto sobre la naturaleza y como se conforma?

 El origen del mito

    Cuando los europeos adoptaron el sistema numérico de india por su facilidad, uno de los libros que ayudo a promover su uso y entendimiento fue “Liber Abaci” o libro del cálculo como se traduce. Escrito por Leonardo de Pisa o como se le conoce “Fibonacci”. En este libro se encontraba un problema sobre la reproducción de conejos.

“imagina un par de conejos; una hembra y un varón, y cada mes la hembra se reproduce creando un nuevo par de una hembra y un varón. Al cabo de varios meses la secuencia de reproducción se vera de la siguiente forma”.

Representación gráfica de la reproducción de conejos y número de parejas

    Este número de parejas es conocido como la secuencia Fibonacci, donde solo debemos sumar los dos números previos para obtener el siguiente.

    Lo interesante de este numero es que a medida que aumentamos la secuencia. La proporción entre los números se asemeja mas y más al número áureo.

    Esto no fue descubierto por Fibonacci sino por Johannes Kepler, el creador del sistema de movimiento de planetas. Desde este punto las personas empezaron a notar patrones similares.

• Unos afirman que la relación perfecta entre la altura de una persona y la distancia desde el ombligo hasta los pies es φ. Esto creo lo que la gente describe como el estándar de la belleza.

    Muchos Artistas han sido influenciados por esta creencia llevando a personas a decir que otros lugares que contienen φ son las pirámides de Giza, la catedral de Notre Dame y hasta el Taj Mahal, pero las formas en que se han calculado no son precisas y solo porque la relación es casi φ no significa que lo sea. El artista Salvador Dalí admitió usar el número áureo de vez en cuando en sus pinturas como estándar de belleza. A pesar de esto hay casos que si presentan la estructura de φ en la naturaleza.

    Si alguna vez has visto una piña, alcachofa, o un girasol notaras que de su patrón esta en forma de espiral. Si cuentas el numero de espirales en sentido de las agujas del reloj y luego en el sentido contrario encontraras. Dos números de la secuencia de Fibonacci (8 y 5 o 13 y 8) y su relación obviamente es φ. Esto es prueba de que las plantas pueden y usan matemáticas para crecer y maximizar el consumo de luz solar o distribución de semillas o atrapar lluvia y transportarla a las raíces.

Si contamos el número de espirales en una dirección y luego en la dirección opuesta obtendremos una secuencia Fibonacci.

    Es posible que este numero nos diga algo sobre la evolución de las plantas, sobre la organización de un sistema y hasta posiblemente como medida de belleza, pero para ello debe ser exactamente φ no solo una aproximación.

    ¿Alguna vez has encontrado el numero áureo en la naturaleza? déjanos tu opinión en la sección de los comentarios.