Calculos: Derivadas parte 5

Derivación Implícita

    Hasta ahora hemos visto funciones de la forma f(x) = 4x + 3. Esta forma es conocida como funciones explícitas. Por lo general una función explícita es escrita con una variable en términos de otra (y = f(x)), con una variable dependiente y otra independiente. Funciones explícitas son fáciles de entender y computar pues su significado es directo con lo que presentan, pero existen otras funciones que son definidas de forma implícitas. Para tener una mejor idea veamos los siguientes ejemplos.

    Uno puede hacer el argumento en el primer caso que  pero el mismo argumento no se puede hacer para los demás casos ya que no sabemos que es f(x) y factorizando y nos da una expresión que también es dependiente de y. Si suponemos que y es definida en una función desconocida denominada y(x), entonces podremos tratar las funciones de forma abstracta y conocer todas sus propiedades, incluso su derivada.

    Ya hemos visto casos similares donde analizamos derivadas desde un punto de vista abstracto usando la regla en cadena. Este análisis nos permite sustituir funciones complicadas por elementos más simples para ver las propiedades comunes que se encuentran escondidas. De esta misma forma estaremos usando la diferenciación implícita. Ejemplo:

    Cómo determinamos anteriormente y² = y(x)². A esta le podemos aplicar la regla en cadena.

    Resolviendo la ecuación para despejar 

    Esta nos permite calcular la derivada independiente del tipo de función que se elija para y(x). Sí usamos la forma explícita veremos que el resultado es el mismo al anterior si hacemos la sustitución de 

Otro ejemplo: 

    Aunque no tenemos una función para f(x) podemos obtener una relación entre x, f(x) y f ’(x) a través de la derivación con respecto a x.

Otro ejemplo: 

    Factorizando el factor común.

    Este método de derivación implícita nos permite encontrar la derivada sin necesidad de despejar y. para ello vamos a usar ambos métodos y comparar resultados.

Ejemplo: Encuentre la derivada de 

    Primero vamos a resolver aislando la variable y luego calcular su derivada.

Usando la fórmula de la división

    Ahora vamos a intentarlo sin separar las variables

    Usando la regla en cadena.

    Redistribuyendo y aislando 

    Los dos resultados parecen diferentes, pero si vemos detenidamente veremos que en el primer método solo tenemos una expresión dependiente de x mientras que en el segundo método tenemos variables x e y. Si sustituimos la expresión de y obtendremos el mismo resultado.

    El mismo resultado que si despejamos la variable en primer lugar. Indicando la eficiencia del método de la derivación implícita.

 La regla de L’Hopital

Retrato de Guillaume de L'Hopital

    En 1696 Guillaume François Antoine, Marques de L'Hôpital un matemático francés, estudiante de Johann Bernoulli, publicó el primer libro sobre cálculo diferencial. En este libro se incluía una regla que él aprendió de su maestro para calcular límites usando derivadas. Debido a esto se le atribuye el nombre de la regla de L’Hopital (la estaré abreviando “regla H” para mi comodidad). 

    Existen funciones cuyos limiten aparecen formas de 0/0 o ∞/∞. A simple vista no son simple de calcular, pero el uso de la regla H nos permite reemplazar un límite por otro. En esta oportunidad solo estudiaremos los casos cuando el límite se expresa como 0/0.

    Cuando estudiamos los límites vimos las reglas que se aplican cuando tenemos una suma, resta, multiplicación, … este es otra regla que podemos agregar que concierne cuando los límites de las funciones son igual a cero. 

    Teorema: si f(a) = g(a) = 0. Y que f y g son diferenciable en un intervalo abierto I que contiene a y g’(x) ≠ 0 en I si x ≠ a, entonces.

    Asumiendo que los límites en el lado derecho existen. La notación f ’(x) denota una derivada.

    Para comprobarlo vamos a usar dos límites explorados anteriormente.

    Estos límites los analizamos usando las propiedades de ángulos pequeños donde  Y  si x<<1, pero ahora vamos a usar la regla H para confirmarlo.

 definimos f(x) = sen(x) y g(x) = x entonces f ’(x) = cos(x) y g ’(x) =1.

 definimos f(x) = 1-cos(x) y g(x) = x entonces f ’(x) = sen(x) y g ’(x) =1.

    Obtenemos los mismos límites como debería ser.

Ejemplo 2. 

    Si aplicamos el valor donde buscamos el límite veremos que tenemos como resultado 0/0 así que podemos usar la regla H para resolverlo.

Ejemplo 3. 

    Este es un caso muy interesante. Vamos a aplicar la regla H para ver qué pasa.

f(x) = sen(x) – x                 g(x) = x³

f ’(x) = cos(x) -1                  g’(x) = 3x² 

    Si aplicamos la condición del límite x à 0 tenemos como resultado 0/0, nada ha cambiado. Cuando esto pasa podemos seguir aplicando la regla H tantas veces sea necesario hasta que uno de los dos deja de ser cero.

f(x) = cos(x) -1                   g(x) = 3x²

f ’(x) = - sen(x)                    g’(x) = 6x

    Aplicando la condición del límite otra vez notamos que obtenemos 0/0. Podemos aplicar la regla H otra pero en este caso podemos reconocer el tipo de límite que tenemos. Sino lo puedes reconocer a simple vista con un poco de manipulación algebraica se hará más visible.

    Este es un límite que hemos trabajado anteriormente.

    Puedes confirmar que el resultado es el mismo usando la regla H.

    Este ejemplo nos muestra que podemos usar la regla de L’hopital siempre y cuando el resultado sea 0/0 hasta que este cambie y su uso no está limitado a un número de veces.

    Por ahora esto será todo. Todavía quedan algunos aspectos de la derivada que no hemos explorado, como el caso de los logaritmos, eso lo haremos cuando volvamos a retomar el tema. Para la próxima publicación estaremos hablando de algunos temas de interés en las matemáticas y luego empezaremos un nuevo tema. Aquí les dejo algunos ejercicios de práctica para las derivadas.

    Encuentra la derivada

    Encuentra usando diferenciación implícita.

    Evalúa los limites usando la regla de L’Hopital.

Calculos: Derivadas Parte 4

Derivada de una función compuesta

    Uno de los conceptos más difíciles de trabajar en el álgebra que aprendemos en la escuela es el de las funciones compuestas, ya que estas están formadas por dos o más funciones que hacen que la funciones sean más complejas. Por ejemplo.

Si definimos la función f(x) usando g(x) tendremos.

    Esto sería una función compuesta que resulta simple ya que lo único afectado ha sido la amplitud del sen(x), pero si definimos g(x) usando f(x) tenemos algo más complejo.

    Este tipo de funciones se vuelven aún más complicada cuando intercambiamos variables. Ya que podemos definir una variable con respecto a x, otra con respecto a y, otra con respecto a t, y así sucesivamente y combinarlas todas en una función compuesta. Ejemplo. 

    Su complejidad es un poco más manejable a la hora de buscar derivadas gracias a un método conocido como la regla en cadena.

    Si tenemos una función u = f(x) y otra y = g(u) = g(f(x)) podemos encontrar la derivada usando la regla en cadena. Esta regla nos permite calcular la derivada en cada variable de forma individual y combinarlas a través de la multiplicación para obtener el resultado de la derivada deseada 

Otra forma de representarla.

    En términos menos técnicos; tomamos la derivada de la función exterior y multiplicamos por la derivada de la función interior. Veamos cómo funciona usando sen(3x).

    Definimos las funciones en la parte de arriba ahora podemos calcular las derivadas de forma individual o agrupadas.

Entonces.

Veamos otro ejemplo. 

    Primero vamos a reescribir la función para hacer más obvio las funciones compuestas.

Podemos definir  y 

sustituyendo.

Otro ejemplo. 

    Debemos recordar que sen³(4x) = [sen(4x)]³ así que tenemos el cubo de una función y podemos definir dos funciones para calcular su derivada.

    La parte  también podemos aplicarle la regla de la cadena ya que esta no esta limitada a un solo uso.

    Con estas ideas en mente ya tenemos todas las piezas necesarias para introducir la derivación implícita. Esta la vamos a explicar en su propia publicación pues es un tema que necesita de muchos detalles y es necesario tomarse su tiempo para que todo sea lo más claro posible. Por ahora esto es todo. Si le gusto o tienes alguna sugerencia por favor dejar sus comentarios debajo. La próxima publicación será sobre los dominios de las matemáticas y después regresaremos para concluir las derivadas y agregar algunos ejercicios para practicar. 

Calculos: Derivadas Parte 3

    Las funciones trigonométricas se definen como el cociente entre los lados de un triángulo y sus ángulos. Estas son las siguientes.

    Por lo general estos son abreviados y asociados a un ángulo.

    Algo importante que se puede derivar de aquí es que todas las funciones pueden ser re-escritas en términos de seno y coseno.

    Lo que simplifica el proceso ya que si el seno y el coseno son diferenciable entonces los demás deben serlo también. Si no estás familiarizado con trigonometría esto resultara un poco confuso ya que usaremos algunas identidades trigonométricas para facilitar el trabajo. Vamos entonces a buscar la derivada del seno y el coseno.

    Ejemplo 1.  usaremos la definición de derivadas para calcular esto.

    Para simplificar usaremos la identidad. 

    Como todos tienen el mismo denominador podemos separarlos.

    Podemos factorizar el factor común sen(x) y aplicar una de las propiedades de los límites.

    Cuando h = 0 tenemos cos (h) = cos (0) = 1 entonces cos (0) – 1 = 0 así que tenemos. 

    En el caso de sen(h)/h tenemos que sen (0) = 0 así que la misma técnica no funcionará, pero hay un dato importante a recordar y es que sen (x) ~ x cuando x es pequeña y podemos usar esto ya que queremos h → 0.

    Así que  cuando h es pequeña 

    tenemos que. 

    Ejemplo 2.  usando la definición de la derivada.

    La identidad para el coseno es diferente a la del seno.

    Y aplicamos los mismos pasos que aplicamos previamente.

     

    Si lo desean pueden practicar con las demás funciones e incluso usar técnicas de diferenciación que mostramos anteriormente, pero los resultados deberían ser estos.

    

    Trabajar con funciones trigonométricas poder ser complicado si no conocemos las identidades apropiadas. Aquí les dejare algunas de las más comunes para que les sirva de guía.

Feliz año nuevo para todos. En la próxima publicación seguiremos con la parte de la regla en cadena. Estoy buscando más ideas para agregar temas al blog así que todas las sugerencias son aceptadas.