Derivación Implícita
Hasta ahora hemos visto funciones de la forma f(x) = 4x + 3. Esta forma es conocida como funciones explícitas. Por lo general una función explícita es escrita con una variable en términos de otra (y = f(x)), con una variable dependiente y otra independiente. Funciones explícitas son fáciles de entender y computar pues su significado es directo con lo que presentan, pero existen otras funciones que son definidas de forma implícitas. Para tener una mejor idea veamos los siguientes ejemplos.
pero el mismo argumento no se puede hacer para
los demás casos ya que no sabemos que es f(x) y factorizando y nos da una expresión
que también es dependiente de y. Si suponemos que y es definida en una función desconocida
denominada y(x), entonces podremos tratar las funciones de forma abstracta y
conocer todas sus propiedades, incluso su derivada.
Cómo determinamos anteriormente y2 = y(x)2. A esta le podemos aplicar la regla en cadena.
Otro ejemplo:
Aunque no tenemos
una función para f(x) podemos obtener una relación entre x, f(x) y f ’(x) a través
de la derivación con respecto a x.
Otro
ejemplo: 
Este método de derivación
implícita nos permite encontrar la derivada sin necesidad de despejar y. para
ello vamos a usar ambos métodos y comparar resultados.
Ejemplo:
Encuentre la derivada de 
Primero vamos a
resolver aislando la variable y luego calcular su derivada.
Ahora vamos a
intentarlo sin separar las variables
Usando la regla
en cadena.
Los dos
resultados parecen diferentes, pero si vemos detenidamente veremos que en el
primer método solo tenemos una expresión dependiente de x mientras que en el
segundo método tenemos variables x e y. Si sustituimos la expresión de y
obtendremos el mismo resultado.
El mismo resultado que si despejamos la variable en primer lugar. Indicando la eficiencia del método de la derivación implícita.
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| Retrato de Guillaume de L'Hopital |
En 1696 Guillaume François Antoine, Marques de L'Hôpital un matemático francés, estudiante de Johann Bernoulli, publicó el primer libro sobre cálculo diferencial. En este libro se incluía una regla que él aprendió de su maestro para calcular límites usando derivadas. Debido a esto se le atribuye el nombre de la regla de L’Hopital (la estaré abreviando “regla H” para mi comodidad).
Existen
funciones cuyos limiten aparecen formas de 0/0 o ∞/∞. A simple vista
no son simple de calcular, pero el uso de la regla H nos permite reemplazar un
límite por otro. En esta oportunidad solo estudiaremos los casos cuando el
límite se expresa como 0/0.
Cuando estudiamos
los límites vimos las reglas que se aplican cuando tenemos una suma, resta, multiplicación,
… este es otra regla que podemos agregar que concierne cuando los límites de
las funciones son igual a cero.
Teorema: si f(a) =
g(a) = 0. Y que f y g son diferenciable en un intervalo abierto I que contiene
a y g’(x) ≠ 0 en I si x ≠ a,
entonces.
Asumiendo que los
límites en el lado derecho existen. La notación f ’(x) denota una derivada.
Para comprobarlo
vamos a usar dos límites explorados anteriormente.
Y 
si x<<1, pero ahora vamos a usar la regla
H para confirmarlo.
definimos f(x) = sen(x) y g(x) = x entonces f ’(x)
= cos(x) y g ’(x) =1.
definimos f(x) = 1-cos(x) y g(x) = x entonces f ’(x)
= sen(x) y g ’(x) =1.
Obtenemos los
mismos límites como debería ser.
Ejemplo 2. 
Si aplicamos el
valor donde buscamos el límite veremos que tenemos como resultado 0/0 así que
podemos usar la regla H para resolverlo.
Este es un caso
muy interesante. Vamos a aplicar la regla H para ver qué pasa.
f(x) = sen(x) – x g(x) = x3
f ’(x) = cos(x) -1 g’(x) = 3x2
Si aplicamos la condición
del límite x à 0 tenemos como resultado 0/0, nada ha
cambiado. Cuando esto pasa podemos seguir aplicando la regla H tantas veces sea
necesario hasta que uno de los dos deja de ser cero.
f(x) = cos(x) -1 g(x) = 3x2
f ’(x) = - sen(x) g’(x) = 6x
Aplicando la condición
del límite otra vez notamos que obtenemos 0/0. Podemos aplicar la regla H otra pero
en este caso podemos reconocer el tipo de límite que tenemos. Sino lo puedes
reconocer a simple vista con un poco de manipulación algebraica se hará más
visible.
Este es un límite
que hemos trabajado anteriormente.
Puedes confirmar
que el resultado es el mismo usando la regla H.
Este ejemplo nos
muestra que podemos usar la regla de L’hopital siempre y cuando el resultado
sea 0/0 hasta que este cambie y su uso no está limitado a un número de veces.
Por ahora esto será
todo. Todavía quedan algunos aspectos de la derivada que no hemos explorado, como
el caso de los logaritmos, eso lo haremos cuando volvamos a retomar el tema. Para
la próxima publicación estaremos hablando de algunos temas de interés en las matemáticas
y luego empezaremos un nuevo tema. Aquí les dejo algunos ejercicios de práctica
para las derivadas.
Encuentra la
derivada
Encuentra
usando diferenciación
implícita.
Evalúa los
limites usando la regla de L’Hopital.
