Fundamentos de la matematicas IV

La División
Posiblemente la operación aritmética más difícil de aprender, pero al mismo tiempo la más efectiva y nunca se olvida. La división es conocida como el inverso de la multiplicación. sus componentes son divisor, dividendo, cociente y residuo:

El divisor: es el número que va a dividir
El dividendo: es el número que se va a dividir
El cociente: es el número que se obtiene como resultado de la division
El residuo: es el sobrante despues de haber realizado la división. Divisiones exacta tienen como residuo cero.

La división esta representada con los símbolos  ÷  /, así que tecnicamente las fracciones son simplemente divisiones que no han sido ejecutadas.

Propiedades de la división

• no-conmutativa,  ${\displaystyle 5\div 3\neq 3\div 5}$;
• no-asociativa, ${\displaystyle 12\div (4\div 3)\neq (12\div 4)\div 3}$
• todo número dividido por 1 es igual al mismo número 5 ÷ 1 = 5
• no número puede ser dividido por cero 5 ÷ 0 = indefinido
• cero dividido por cualquier numero es igual a cero 0 ÷5 =0
• Equivalente a las fracciones .

Como se hace la división.

la división es la inversa  de la multiplicación. lo que quiere decir   La operación de las divisiones se hace de varias formas pero la más efectiva es usando la división larga mostrada en la parte de arriba. Hay varias formas de hacerlo así que recomiendo la forma con la que te sientas más cómodo para hacerlo. Aquí les dejo algunos ejemplo.

		${\displaystyle {\rm {Cociente\,}}}$
${\displaystyle {\rm {Divisor\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Dividendo\,}}}$
		${\displaystyle {\rm {Resto\,}}}$

(1)

${\displaystyle {\rm {Divisor\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Dividendo\,}}}$
${\displaystyle {\rm {\,_{(operaciones)}\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Cociente\,}}}$
${\displaystyle {\rm {Resto\,}}}$

(2)

${\displaystyle {\rm {Dividendo\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Divisor\,}}}$
${\displaystyle {\rm {\,_{(operaciones)}\,}}}$		${\displaystyle {\rm {Cociente\,}}}$
${\displaystyle {\rm {Resto\,}}}$

(3)

En nuestros ejemplos estaremos usando el ejemplo número tres. Vamos a dividir dos simples números  9 ÷ 3

Ahora que esta configurado lo que tenemos que hacer es buscar un número que multiplicado por 3 nos de un número igual o menor que 9, pero el más cerca possible. Si vemos la tabla de multiplicar del 3 tenemos tres números que son menores o igual que nueve. 
3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 El número 3 y 6 pueden hacer el trabajo pero el número más cerca es el 9, así que vamos a usarlo.

veamos otro ejemplo. 7 ÷ 2

Cuando se tiene residuo el resultado se puede escribir usando fracciones mixtas. 

El tres es un número entero, un número divisor también es un número que se puede multiplicar por el cociente  y sumar por el residuo.
Esto es todo por ahora. en futuro post volveremos a expandir este tema. Desde el próximo post estaremos hablando sobre los principios de cálculos, comenzando con la simple noción de las funciones.

Fundamentos de la matematica III

Multiplicacion

     El tema de las multiplicaciones fue un tema muy divertido en mi infancia y por alguna extraña razón, para la personas es bastante fácil de aprender y recordarlo, supongo que tiene algo que ver con la memorización (ya que si logras hacer esto entonces puedes aprender esto en un dia). Así que empecemos presentando la tabla de multiplicar.

La tabla de multiplicar por lo general contiene las operaciones de los diez primeros números (algunas contienen operaciones del 1-12). Lo más sencillo es memorizarlas al principio y luego tratar de entender cómo funcionan. Hay muchos trucos para hacer la memorización simple. Aquí les dejo los que más me ayudaron hacer la memorización.

• Todo número multiplicado por 1 es el mismo número .
• Los números pares multiplicados por 5 dan como resultado un número producto de diez. Los números impares multiplicado por 5 siempre terminan en 5.
• La multiplicación es conmutativa y asociativa. 
• La multiplicación de 7×8 es igual a 56 (como una escala 56 = 7×8).
• La tabla de multiplicar del número 9 está organizada por un número ascendente y un descendente.
• Todo número multiplicado por 10 es como la multiplicación de 1 con el factor diez (1×5=5; 10×5=50).
• La tabla de multiplicar del 11 es el mismo número repetido dos veces con la excepción de los números de dos dígitos o mas.
• Los números de dos o más dígitos multiplicado por 11 contienen tres o más cifras. 
• La multiplicación es una regla que suma un número consigo mismo cuántas veces sea indicado (la multiplicacion 2×3=6 es la suma del numero 2 tres veces 2+2+2=6; 3×2=6 es la suma del numero 3 dos veces 3+3=6).

La multiplicación como se puede ver es bastante simple. Pero hay que presentar las reglas cuando hay que hacer una multiplicación de más de una cifra. Usemos el siguiente ejemplo.

65×8=520

Una de las primeras regla que vemos es que todo número par multiplicado por 5 siempre terminan en un producto de diez con el cero al final. Si tienes una calculadora puedes verificarlo pero si no tienes una como puedes hacerlo? Vamos a organizar la multiplicación en la forma que hacemos la suma y resta. 

como en la suma y en la resta empezamos por el lado derecho y nos movemos hacia al izquierdo asi que 5×8=40. Como vimos en la suma ponemos el 0 y llevamos el 4 para el otro numero.

ahora multiplicamos 6×8 =48 y a este resultado le sumamos 4, lo que lo hace 52.

Puedes confirmarlo con la calculadora. Otra forma de hacer la multiplicacion es multiplicar por separado y sumar los resultados.

Esta tecnica es mas efectiva para multiplicaciones de varias cifras. la cual presentaremos a continuacion. tratemos de multiplicar 350 x 23.

Aun faltan multiplicaciones con decimales, pero eso sera para otra ocasion. 

Fundamentos de la matematica II

Resta
     La seguna operación básica de las matemáticas es la resta o subtracción. Como su nombre lo indica esta operación substrae o saca una cantidad de un número. La cantidad a la que se resta  se le llama minuendo, la cantidad que se resta es llamado sustraendo. Con estas ideas en la mente se puede decir que el minuendo siempre sera mayor que el sustraendo pero como existen numeros negativos, esto indica que a veces el sustraendo es mayor que el minuendo. te preguntaras ¿A qué el se quiere referir con esto? permítame demostrar un ejemplo:


Ejemplo 1

     Como se podrán imaginar cuando el sustraendo es menor que el minuendo hacer la operacion es bastante simple pero si usamos el mismo ejemplo de arriba pero invertimos los signos. en medio de la operación tendremos este problema.

     Facilmente podríamos ejecutar la operación de 0 - 5 ya que tenemos un número a la izquierda del zero pero como resolvemos la parte de 4 - 8? mi recomendación para facilitar las cosas es la siguiente. como el resultado será el mismo si restamos 40 o 185 lo más facil sería poner 185 (el número mayor) arriba y 40 (el número menor) abajo y operar de forma normal pero al final agregar el signo de - para arreglarlo todo. 

Como hacer una operacion de resta?
     voy a explicar este proceso de la forma que lo aprendí en la escuela elementaria. creo que es la forma más segura de aprenderlo ya que permite ver con claridad  lo que pasa. Usemos este ejemplo.

Ejemplo 2

315 - 97
vamos a organizarlo en la forma que estamos acostumbrados.

     Así es como funciona. la operacion sigue el mismo procedimiento que la  suma. empezando a la derecha y nos movemos hacia la izquierda. entonces tenemos 5 - 7 que como mostramos anteriormente podriamos decir es -2 pero sería incorrecto pues delante del cinco aún tenemos números. Qué es lo que esto significa? la regla que presentamos anterior es cuando el sustraendo es menor que el minuendo en general no por termino, es decir, aunque cinco es menor que siete 315 es mayor que 97, pero que podemos hacer en este caso? la forma más facil de describir este proceso es usando la expresion "tomar prestado."

• 5 < 7 asi que 5 le toma prestado al número de al lado (le pide prestado uno pero es como pedir 10) y se convierte en 15. y el número que prestó ahora tiene uno menos asi que ahora es zero.  entonces 15 - 7 es igual a 8.
• la siguiente  cantidad es ahora 0 - 9. y como sabran 0 < 9 así que le toma prestado a 3 y se convierte en 10 mientras 3 se convierte en 2. 10 - 9 es igual a 1.
• el resultado final entonces es 218. 

Las reglas son simples pero requieren de paciencia para hacerlo bien. No debemos apresurarnos a la hora de hacer esto hasta que estemos seguros que entendemos como funciona el  proceso. Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 3.

En el Proximo post trataremos la siguiente operación aritmética, la multiplicación.

Fundamentos de la Matematica

     Cuando hablamos de matemática básica nos referimos a los conceptos que formaron el origen de las matemáticas y que sostienen toda la teoría de lo que puede ser algebra, geometría, calculo, y cualquier otra área de matemáticas que puedas considerar. estos son conocidos como operaciones aritmeticas.  Empecemos por el concepto más simple.

Suma

No creo que sea necesario pasar mucho tiempo explicando la suma. La suma es mejor entendida por su otro nombre, “adición”. Esto significa que dos cantidades se agregan o juntan para formar una más grande. Es unas de las operaciones básica de la aritmética ( rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, resta, multiplicación y división). Se expresa con el símbolo de la cruz “+”. Dos cantidades que se suman crean una cantidad más grande, lo que significa que la sumada es mas grande que las dos cantidades individuales.

La suma contiene todas las propiedades de operación.

• Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no modifica el resultado: a+b=b+a.
• Propiedad Asociativa: cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento: a+(b+c) = (a+b)+c = (c+a)+b
• Propiedad Distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4. Mas tarde explicaremos mejor esta propiedad cuando expliquemos la multiplicación.

Ejemplos de la suma.

• esta es la forma original que se les enseño a los niños sobre la suma. La línea se utiliza como un símbolo de igualdad (=).
• 2 + 3 = 5
• 7 + 2 = 9
• 1 + 4 = 5

Suma de números de varias cifras

     Cuando estamos sumando números con más de una cifra hay varias propiedades que hay que recordar. Los números se deben organizar por número de cifras. La cifra a la derecha debe estar todas alienadas. La suma se ejecuta empezando con las cifras de la derecha y se van moviendo hacia la izquierda. Si la suma de un número es mayor o igual que 10, la última cifra se coloca debajo de la línea y la otra cifra se suma al siguiente grupo de números hasta completarlos todos. Suena un poco confuso cuando solo se piensa en la teoría, pero con los ejemplos se hará más claro a que me refiero. Vamos a sumar los números 25+130+15+5+120

1. Como describimos todas las cifras a la derecha deben estar alineadas y ahora cuando empecemos la suma comenzamos en la derecha.
2. La suma de estos números en rojos es 15 y como es mayor que 10 ponemos el 5 debajo de la raya (que simboliza la igualdad) y el 1 lo agregamos la siguiente cifra para sumarla.
3. Luego se suma la siguiente columna y como no es mayor que diez continuamos con la  ultima columna y el resultado final es el resultado de la suma.

Otro Ejemplo.

la suma de los primeros numeros es igual a nueve asi que continuamos con la siguientes cifras.
la suma de las siguientes cifras es 18 asi que colocamos el 8 al final y sumamos el 1 a la siguiente cifra.
la suma de las siguientes cifras es 23 mas el extra 1 es 24, colocamos el 4 al final y sumamos dos a la siguiente cifra.
las suma de las cifras finales es 20 mas el extra 2 es 22, como no existen mas cifras colocamos el numeros tal como es. nuestro resultado final es 22,489. puedes confirmar con tu calculadora. 

En el Proximo post trataremos la siguiente operacion aritmetica, la resta. 

o

Inecuaciones III

     Como hemos hablado anteriormente una inecuación es caracterizada por los símbolos <, >, ≤ ó ≥. Estos símbolos denotan el intervalo del dominio. A la hora de trabajar con inecualidades estas se tratan igual que una ecuación con la diferencia de que al multiplicar o dividir por un numero negativo la dirección de la inecualidad cambia. Si aun no estas del todo convencido te recomiendo ver el siguiente vídeo antes de continuar.

     Sabemos y podemos apreciar en el video que los valores para satisfacer una ecuación son específicos, pero los valores que satisfacen una inecuacion abarcan un  espacio y son mas complejos de definir. probemos con lo siguiente

(A) 2x + 4y  ≤ 5 & (B) x ≥ 1

Gráfica (A)                                                                               Gráfica (B)

Ahora veamos las dos gráficas interceptadas.

     Se puede ver en la gráfica existe un área en común donde las dos gráficas se interceptan. esta área es la solución general de las dos inecuaciones. así es como se resuelve un sistema de inecuaciones. el área en común es la solución al sistema. 

     Al igual que en las ecuaciones no siempre habrá una respuesta en todos los sistemas. veamos algunos ejemplos:

x + y ≥ -1

x + y≤ 2

La primera inecuación nos da la línea y ≥ -x -1 con una pendiente negativa.

La primera inecuación nos da la línea y ≤ 2 - x con una pendiente negativa

Si resolvemos estas inecuaciones por uno de los metodos que aprendimos para resolver sistemas de ecuaciones lineales tendremos:
0 ≥ -1

0 ≤ 2  

     Donde la solucion obvia nos dice que la region con el punto (0,0) es la solucion, pero las lineas no se intersectan. para un sistema de ecuaciones esto no seria una solucion ya que solo puede haber una solucion unica, por lo tanto las lineas deben ser intersectadas en un punto, pero para las ecuaciones este caso no es necesario. veamos las graficas de ambas lineas por separado y luego su intersection y el area del conjunto solucion.

conjunto solucion

x + y < 2

x + y > -1

Otro caso

3x + y ≥ 2

x+y/3 ≤ -10 
     si resolvemos esta inecuacion veremos que las lineas no tienen area en comun y por lo tanto no existe una solucion. 
 

3x + y > 2

x + y/3 < -10

 

No Solucion 

     Así se tratan las inecuaciones usando el método gráfico. Este método facilita encontrar el dominio del sistema de la inecuación. Aquí les dejo algunos problemas para que practiquen. En próximo post presentare las respuestas en un video.

     Por pedido algunas personas a partir del próximo post estaré reforzando los aspectos básicos de la matemática. Comentarios y sugerencias son bien apreciados. Pueden contactarme a través de comentarios o directamente en nuestra página de Facebook https://www.facebook.com/AprendeMatematicasJmd/