Ecuaciones III

     Una vez dominados los conceptos del orden de operaciones podemos utilizarlos para resolver ecuaciones de primer grado. el procedimiento es simple, solo  hay que seguir los siguientes pasos:

1- Quitar paréntesis (si hay alguno).

2- Quitar denominadores (si hay alguno.

3- Agrupar los términos en x en un lado de la ecuación y los términos independientes en el otro (tomando en cuenta el cambio de los signos).

4- Reducir los términos semejantes.

5- Despejar la incógnita.

     nota: no siempre se seguirán los pasos en orden ya que hay ecuaciones que no tienen paréntesis o tal ves no tienen denominador. 

     para el paso numero tres hay que tomar en cuenta el signo de igualdad, ya que los números o los monomios que se pasan de un lado hacia otro cambian su signo (si es positivo en un lado, sera negativo en el otro; si esta multiplicando en un lado, estará dividiendo en el otro; si es un exponente en un lado, sera una raíz en el otro).

Veamoslo en un ejemplo. 

2(2x – 3) = 6 + x

     

     Lo primero es resolver lo que está en el paréntesis. Como podemos ver el parentesis ya esta reducido a su mnima expresión ya que 2x y -3 no son términos semejantes asi que pasamos a la siguente operación, multiplicar el polinomio por dos.

·         2*2x -2*3 = 6 + x

·         4x – 6 = 6 + x

     Saltamos el paso dos porque no hay denominadores y  vamos al paso tres, agrupar los terminos semejantes. Para ello elegi la izquiera del signo de igual para colocar los números con letras y el lado derecho los números. Para ello se suman o restan en ambos la variable o números con signos cambiados (en el lado izquiero -6 cambio ha ser +6 y en el lado derecho +x cambio a –x)

4x – 6 = 6 + x

-x + 6    +6 –x

El resultado

3x = 12

El tres esta multiplicando con la x asi que usando su opuesto tendremos que dividir.

3x/3 = 12/3

X = 4

otro ejemplo.

2x - 5 = 7 + 6x          sumar 5 en ambos lados

2x - 5 + 5 = 7 +6x + 5

2x = 12 + 6x             restar 6x en ambos lados

2x - 6x = 12 +6x - 6x

-4x = 12                  divide entre -4

-4x/-4 = 12/-4

x = -3

     Estos son los pasos para resolver ecuaciones de primer grado. recuerda las variables deben estar de un  lado y los números del otro lado del signo de igualdad. puedes comprobar que el valor de x es correcto sustituyendo x en la ecuación original y el resultado debe ser el mismo en ambos lados. 

2(-3) - 5 = 7 +6(-3)

-6 - 5 = 7 - 18

-11= -11

     Eso es todo por ahora. en el próximo post habrán más ejemplos de como trabajar con ecuaciones. aquí están la respuesta de los ejercicios del post pasado.

• 43 
• 14 
• 30 
• 23 
• -8 
• 22 
• -135 
• -252 
• 24 
• 10 
• 12 
• 10 
• 129 
• -32

Ecuaciones II

     Las ecuaciones han sido el método utilizado para explicar el día a día del álgebra. Al igual que los monomios estas también pueden ser clasificada por el grado de sus variables. Si la el exponente de la variable más alto es uno entonces se considera una ecuación de primer grado, si el exponente es dos será una ecuación de segundo grado etcétera.

Un ejemplo de cómo se vería las ecuaciones sería el siguiente:

• 2x – 3 + 3 = 53 - 3x ecuación de primer grado 
• 9x2 + 6x + 10 = 0 ecuación de segundo grado 

     Empezaremos explicando las ecuaciones de primer grado al ser más fácil y luego progresaremos hacia lo más complicado. 

     Antes de empezar hay un procedimiento importante a considerar y es el orden de las operaciones aritméticas. El orden determina que operación se ejecuta primero por ejemplo, que es primero multiplicación o suma; resta o división. El orden empieza por los paréntesis. Mientras más adentro del paréntesis mayor prioridad tiene la operación; una vez eliminado el paréntesis siguen los exponentes estos pueden ser potencias o raíces cuadradas; luego siguen la multiplicación o división. No importa cual sea se pueden alternar y el resultado no cambia; al final se ejecuta la suma o resta.  Puede ser difícil recordar el orden pero para eso se puede usar un acrónimo para no olvidarlo, PEMDAS 

Paréntesis 

Exponentes 

Multiplicación / División 

Adición / Sustracción  

Utilicemos algunos ejemplos.

• (3+2) x 2 
• 7 + (6 × 52 + 3) 
• 2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 

(3+2) x 2 = 

5 x 2 = 10 

     Según PEMDAS primero debemos resolver lo que está dentro del paréntesis. Una vez resuelto podemos multiplicar. 

7 + (6 × 52 + 3) = 

7 + (6 x 25 + 3) = 

7 + (150 +3) = 

7 + 153 = 160 

     Según PEMDAS primero resolvemos lo que está dentro del paréntesis. Aquí tenemos tres operaciones diferentes, comenzaron primero con el exponente, luego la multiplicación y luego la suma. Al final la última operación suma.  

2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 =  

 2 [- 6 ] + 8 / 2 = 

-12 + 8 / 2 = 

-12 + 4 = - 8

     Primero debemos resolver lo que está dentro del paréntesis, tomando en cuenta la regla de los signos para la multiplicación; una vez resuelto tenemos la opción de hacer la división o la multiplicación (no importa cual sea primero el resultado será el mismo); finalmente podemos hacer la resta.  

     Una vez dominados el orden podemos fácilmente resolver una ecuación. 

     Para el próximo post explicaremos todos los pasos de resolver una ecuación. Mientras tanto aquí ahí algunos problemas para resolver. Las respuestas disponible en el próximo post 

• 37 + 6(3-2)
• -2 + 6 x 3 - 2 
•  2 + 7 · 8 / 2 
•  5 · (9 – 6) + 8 
•  2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 
• 2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] 
• 3 { 4 – [ 6 · 2 (9 – 5) + 1 ] }
• 9 { 2 – [ 6 + (4)² + 8 ] } 
• 4 · 2(3 + 6)/ 3   
• 3 + (2 + 3)2 – 6/ 2 
• 4 [ 1 – ( 5 – 11)/ 3]
• 2 { 6 – 2 ( 9 – 4)/ 5 + 1} 
• 3 { 42 – ( -3 + 1)/ 2}
• 4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)/ 2 + 8] }