Calculo: Derivadas parte 1

Para hablar sobre las derivadas debemos primero tener en claro los conceptos de línea tangente y línea secante. La línea tangente es una recta que toca a la curva de una gráfica sólo en un punto llamado punto de tangencia.   

Una línea secante es una recta que corta una curva en dos puntos. Conforme estos puntos se acercan y la distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

Para encontrar la tangente a una curva y = f (x) en un punto P (x₀, f (x₀)) calculamos la pendiente de la secante a través del punto P y un punto cercano Q (x₀ + h, f (x₀ + h)) donde h es una cantidad arbitraria, entonces tomamos el límite de la pendiente cuando h → 0.Si el límite existe, lo llamamos la pendiente de la curva que podemos definir en el punto P (x₀, f (x₀ )) como m.

La expresión f se llama cociente de diferencias de f en x₀ con incrementos h y el límite de esta expresión es lo que llamamos la derivada de una función f en el punto x₀ y denotamos como f '(x₀) esto muestra que la derivada es la pendiente de una recta secante en cualquier punto x₀; f '(x₀) = m.

Ejemplo encuentra la derivada de f(x) = x² cuando x = 5

 

cuando x = 5 tenemos

f '(5) = 2(5) = 10

Otro ejemplo. Calcula f '(3) donde f(x) = 4x² - 7x

1ero vamos a calcular f' (x)

Evaluando cuando x = 3

f '(3) = 8(3) - 7 = 24 - 7 = 17

Teorema 1

El proceso de calcular una derivada se llama diferenciación. Usamos la notación  para implicar que la diferenciación se realiza en la función f (x). Otra forma de expresarlo es f '(x) como se muestra en los ejemplos. Otra notación es para indicar que la derivada se performa en la variable x y  para indicar que la derivada está siendo evaluada en el punto x = a.

Otro ejemplo de diferenciación. 

Por ahora esto será todo. asegúrense de dejar sus comentarios y sugerencias al final. Gracias por su continuo soporte. 

Calculos V: continuidad, límites unilaterales y asíntotas

La continuidad se utiliza para describir funciones cuyas gráficas no tienen interrupciones. Si imaginamos la gráfica de una función f como una línea ondulada, entonces f es continua si su gráfica consiste en una sola pieza. Una ruptura en el gráfico se llama discontinuidad como se presenta a continuación en el gráfico g, y el límite en x → c para g(x) no existe.  Por el contrario, el limite x → c para f(x) es igual al valor de la función f (c).

 

Una función puede ser continua en algunos puntos y discontinua en otros. Si f(x) es continua en todos los puntos del intervalo L, entonces se dice que f(x) es continua en L Ejemplo: en el intervalo [a, b] la condición de continuidad requiere: 

y            

En el caso de intervalos en que los puntos finales no están incluidos, como (a,b), la condición de continuidad requiere:

y      

Aquí a+ y b- no son valores de a y b sino valores suficientemente cerca, acercándose desde la derecha y la izquierda respectivamente. Las condiciones para continuidad que debe sostener son:

• 
• el valor f(c) existe 
• tanto el valor como el limite son iguales

Si los dos primeros se mantienen pero el tercero falla, entonces decimos que f tiene una discontinuidad removible. Ejemplo:

pero      

El limite existe pero no es igual al valor de la función, por lo tanto la función no es continua.

El peor de los casos es una discontinuidad de salto que ocurre si el limite x → c- y x → c+ existen pero no son iguales.  En este caso es conveniente definir la continuidad unilateral.

si el límite se aproxima desde el lado derecho, usamos el signo + y lo llamamos límite a la derecha. si el límite se aproxima desde el lado izquierdo, usamos el signo - y lo llamamos el límite izquierdo.

 

Ejemplo de función definida por partes

La gráfica se ve de la siguiente forma

Acercándose desde el lado izquierdo

Acercándose desde el lado derecho

Acercándose desde el lado izquierdo

Acercándose desde el lado derecho

En el último, porque el límite izquierdo y derecho existen y es igual a f (3) decimos que f (x) es continuo en x = 3

 

Finalmente tenemos una discontinuidad infinita si uno o ambos límites unilaterales son infinitos, incluso si la función no está definida en el punto especificado. Aquí hay unos ejemplos.

Encontrando limites cuando x →∞

El símbolo del infinito no representa un número real, sino una idea de algo que se extiende para siempre con un valor que supera todos los límites finitos. Examinemos la función 1/x.

Su dominio está definido para todos x ≠ 0. cuando x es positivo o negativo y su magnitud se vuelve cada vez más grande, 1/x se vuelve muy pequeña. Podemos resumir esta afirmación diciendo que 1/x tiene un límite 0 cuando x → ± ∞

De la misma manera en el gráfico podemos ver que 1/x tiene una asíntota en x = 0 pero su valor continúa aumentando mientras mas cerca nos movemos a cero. por lo tanto podemos decir que 1/x tiene un límite ∞ cuando x → 0. Estas definiciones serán útiles para resolver límites de funciones racionales al infinito.

 

Ejemplo:

 

Para resolver este tipo de problema, primero identificamos la potencia más alta del polinomio, en este caso x²  entonces procedemos a dividir el numerador y el denominador por ese potencia.

→ 

Aquí podemos aplicar las leyes de limites para la suma, multiplicación y cocientes.

Sabemos que el limite x → ∞ de 1/x = 0 así que podemos reducir la expresión de arriba.

Otro ejemplo:

Usando la misma idea que en el ejemplo anterior

Por ahora eso es todo. No olviden dejar sus comentarios en la parte de abajo. si tienen alguna pregunta o hay un tema en especifico que es les gustaría ver aquí. mientras tanto aquí les dejo las Respuestas a los problemas anteriores.