Calculos V: continuidad, límites unilaterales y asíntotas

La continuidad se utiliza para describir funciones cuyas gráficas no tienen interrupciones. Si imaginamos la gráfica de una función f como una línea ondulada, entonces f es continua si su gráfica consiste en una sola pieza. Una ruptura en el gráfico se llama discontinuidad como se presenta a continuación en el gráfico g, y el límite en x → c para g(x) no existe.  Por el contrario, el limite x → c para f(x) es igual al valor de la función f (c).

 

Una función puede ser continua en algunos puntos y discontinua en otros. Si f(x) es continua en todos los puntos del intervalo L, entonces se dice que f(x) es continua en L Ejemplo: en el intervalo [a, b] la condición de continuidad requiere: 

y            

En el caso de intervalos en que los puntos finales no están incluidos, como (a,b), la condición de continuidad requiere:

y      

Aquí a+ y b- no son valores de a y b sino valores suficientemente cerca, acercándose desde la derecha y la izquierda respectivamente. Las condiciones para continuidad que debe sostener son:

• 
• el valor f(c) existe 
• tanto el valor como el limite son iguales

Si los dos primeros se mantienen pero el tercero falla, entonces decimos que f tiene una discontinuidad removible. Ejemplo:

pero      

El limite existe pero no es igual al valor de la función, por lo tanto la función no es continua.

El peor de los casos es una discontinuidad de salto que ocurre si el limite x → c- y x → c+ existen pero no son iguales.  En este caso es conveniente definir la continuidad unilateral.

si el límite se aproxima desde el lado derecho, usamos el signo + y lo llamamos límite a la derecha. si el límite se aproxima desde el lado izquierdo, usamos el signo - y lo llamamos el límite izquierdo.

 

Ejemplo de función definida por partes

La gráfica se ve de la siguiente forma

Acercándose desde el lado izquierdo

Acercándose desde el lado derecho

Acercándose desde el lado izquierdo

Acercándose desde el lado derecho

En el último, porque el límite izquierdo y derecho existen y es igual a f (3) decimos que f (x) es continuo en x = 3

 

Finalmente tenemos una discontinuidad infinita si uno o ambos límites unilaterales son infinitos, incluso si la función no está definida en el punto especificado. Aquí hay unos ejemplos.

Encontrando limites cuando x →∞

El símbolo del infinito no representa un número real, sino una idea de algo que se extiende para siempre con un valor que supera todos los límites finitos. Examinemos la función 1/x.

Su dominio está definido para todos x ≠ 0. cuando x es positivo o negativo y su magnitud se vuelve cada vez más grande, 1/x se vuelve muy pequeña. Podemos resumir esta afirmación diciendo que 1/x tiene un límite 0 cuando x → ± ∞

De la misma manera en el gráfico podemos ver que 1/x tiene una asíntota en x = 0 pero su valor continúa aumentando mientras mas cerca nos movemos a cero. por lo tanto podemos decir que 1/x tiene un límite ∞ cuando x → 0. Estas definiciones serán útiles para resolver límites de funciones racionales al infinito.

 

Ejemplo:

 

Para resolver este tipo de problema, primero identificamos la potencia más alta del polinomio, en este caso x²  entonces procedemos a dividir el numerador y el denominador por ese potencia.

→ 

Aquí podemos aplicar las leyes de limites para la suma, multiplicación y cocientes.

Sabemos que el limite x → ∞ de 1/x = 0 así que podemos reducir la expresión de arriba.

Otro ejemplo:

Usando la misma idea que en el ejemplo anterior

Por ahora eso es todo. No olviden dejar sus comentarios en la parte de abajo. si tienen alguna pregunta o hay un tema en especifico que es les gustaría ver aquí. mientras tanto aquí les dejo las Respuestas a los problemas anteriores.