Calculos: Derivadas parte 2

 Reglas comunes de la diferenciación.

Teorema 2. si f(x) y g(x) son diferenciables, entonces.

    Vayamos a comprobar algunas de las propiedades.

• Si f(x) = c, donde c es una constante, entonces.

• Si k es un número, entonceses.

Ejemplo #1. Previamente demostramos usando la fórmula del límite que si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x. Siguiendo la fórmula de los exponentes de x tenemos.

Ejemplo #2. Que tal

    Otra forma de presentar la raíz cuadrada es como x^1/2, entonces. 

Ejemplo #3. 

    Sabemos que la fórmula se puede aplicar en este caso, así que podemos reescribirla como.

    Para recordar las reglas de la derivada de multiplicación y cociente de funciones es mas complicado asi que las personas les gusta usar mnemotécnicas para ellos. En el caso de la derivada de multiplicación de funciones. Siempre recuerdo la frase "la Ferocidad Del Gato se le Suma al Gato De Felicia" donde las letras en mayúscula me recuerdan como se efectua la operacion.

    Puedes crear tus propias mnemotécnicas que funcionen para ti y compartirlas con los demás en la sección de comentarios.

Ejemplo #4. 

    Podemos resolverla de dos formas. La primera es usando las fórmula de la multiplicación de dos funciones.

Ejecutando la multiplicación de polinomios.

Reduciendo factores comunes

La otra forma de resolverlo es distribuyendo primero y luego ejecutando la derivada.

    Obtenemos la misma respuesta. Es importante tomar en cuenta que existe la posibilidad que la distribución tome mucho tiempo y hasta produzca funciones más complejas que las originales. Un caso muy común de esto es cuando tenemos multiplicaciones entre funciones trigonométricas.

     Si una función f es diferenciable entonces f '(x) es una función también. Si f '(x) es diferenciable entonces f ''(x) es una funcion tambien y asi sucesivamente. Esto significa que una puede tener más un orden superior de derivadas.

Ejemplo #5 Cuál es el orden más alto de derivadas de la función

    Todas las derivadas por encima del 4to orden son cero pues f ⁽⁴⁾(x) = 0  así que el orden más alto de derivadas es 3. con ecuaciones de exponente cuantitativo el orden depende del valor del exponente.  La función e ^x  es un caso curioso ya que su orden es infinito.

    Esto es todo por ahora. Espero que esto les sea de ayuda. Cuales mnemotécnicas has usado en matemáticas para recordar una fórmula? Compártela en los comentarios. En la próxima publicación presentaremos un tema interesante donde discutiremos el futuro de nuestro blog y como vamos a cambiar su estructura. 

Edicion especial: Los Vectores

    En matemáticas y física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es un objeto geométrico que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). Los vectores fijos del plano pueden ser denotados con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB. Otra forma de representarlo es con barras horizontales (-) encima de la letra indicando que es un vector (Ā indica que A es un vector). o simplemente con letras en negrita, para la mayoría de los casos nosotros usaremos la barra encima de la letra o las letras en negritas para indicar vectores.

    Un vector tiene magnitud y dirección. En el plano cartesiano un vector también está conformado por varias partes.

   Dirección, sobre la que se traza el vector.

    El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

    El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte, se usa para indicar en qué dirección (ángulo) se dirige el vector.

    El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector, se puede similar como el lugar de origen del vector.

    El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

¿Qué es diferente de un punto en el plano cartesiano y un vector?

Veamos la siguiente gráfica.

    

    Así se representan los puntos en el plano cartesiano. Donde A = (-5, 3), B = (6, 5), C = (4.5, -3.5), y D = (0, 0).

    Los vectores tienen un punto de origen (en este caso es (0, 0)) y un punto de llegada y no son solo un punto en el espacio si no un segmento en el espacio. Sus coordenadas no son descritas en paréntesis sino en algo diferente. A = <-5, 3> B = <6, 5> C = <4.5, -3.5> también pueden ser representados con indicadores de coordenadas y como vectores unitarios, pero eso lo explicaremos después.

    Para convertir un punto en un vector hay que restar el punto de llegada por el punto de origen

x = (x_final -x_inicio, y_final – y_inicio) 

(1)

Ejemplo #1

    Si creamos un vector basado en la gráfica entre punto A y B, donde A es el origen y B es el final, será

AB = (6 - (-5), 5 – 3) = <11,2>

    Los vectores por lo general están asociados con un sistema de coordenadas. En el sistema cartesiano usamos x̂, ŷ, y ẑ pero a veces también se puede usar î, ĵ, k̂  respectivamente, los símbolos encima son para denotar coordenadas.

    En 3D un vector que solo contiene valor en el eje x lo podemos denotar como <c, 0, 0> donde c es un valor arbitrario. De la misma forma un vector con valores solo en el eje y ó z se denota como <0, c, 0> y <0, 0, c> respectivamente. Otra representación seria cî indicando que el valor c solo se encuentra en el eje î ó x, cĵ indicando que el valor c solo se encuentra en el eje ĵ ó y, ck̂ indicando que el valor c solo se encuentra en el eje k̂ ó z. 

    Ya habíamos mencionado que un vector tiene magnitud y dirección. La magnitud de un vector es la distancia entre el punto inicial y el punto final. Esta se puede denotar simplemente con la letra del vector o usando las barras verticales (|) para indicar el tipo de operación que se realiza en el vector. Para calcular la magnitud de un vector se usa la misma operación que al calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo ya que la forma en que se presentan las coordenadas crea un triángulo rectángulo con el vector. Si los valores son dados como puntos entonces podemos tomar la diferencia entre los valores de las coordenadas y usarlos en la misma fórmula.

(2)

(3)

Ejemplo #2

    Calcula la magnitud del vector que se forma con los puntos (1, 5, -7) y (3, 1, -2).

    Usando la fórmula 2 Tenemos

    La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal. De forma general se mide en radianes o grados. Usamos la fórmula:

(4)

(5)

Donde tan^-1 es la inversa de la tangente.

Ejemplo #3.

    Calcula el ángulo de un vector con coordenadas (3, 5) y (1, 2) y el vector v̄ = 5î - 3ĵ 

En el primer caso podemos usar la segunda forma de la ecuación 5.

En el segundo caso las coordenadas i y j corresponden a x & y respectivamente. 

Suma y resta de vectores

    Para sumar y restar vectores debemos hacer la operación con cada uno de los ejes. “x” se suma con “x”, “y” se suma con “y”, y “z” se suma con “z”.

(6)

(7)

    De forma gráfica en la suma usamos el método cabeza-cola donde la cabeza del vector ā esta en contacto con la cola del vector b̄.

    Analizando la gráfica podemos ver que la suma de vectores tiene propiedad conmutativa ā + b̄ = b̄ + ā, a esto le llamamos método del paralelogramo pues en la gráfica se forma un paralelogramo.

La magnitud de la suma es indicada por la operación.

(8)

    Otra forma de ver la resta de vectores es con el método del paralelogramo. la resta de dos vectores equivale a sumar al primero el opuesto del segundo.

    En cuanto a la multiplicación de vectores existen diferentes formas de ejecutarlas. Podemos multiplicar un vector por una magnitud escalar que afecta de la misma forma todos los términos del vector

Ejemplo

(9)

(10)

    Otro caso de multiplicación de vectores es el producto escalar donde se toman dos vectores y se multiplican sus coordenadas y luego se suman para dar como resultado un producto escalar. Esta se denotada por el símbolo “.” para indicar que dos vectores están siendo multiplicados para producir una magnitud escalar.

(11)

el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es

(12)

    Esto tiene una implicación muy importante ya que, Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo debido a que el coseno de 90º es cero

    Otra forma de representar el producto escalar es usando matrices, lo que implica que la multiplicación será entre una matriz de una fila por otra de una columna.

Ejemplo #4.

Cuál es el producto escalar de ā = 15î - 3ĵ + 7k̂ y b̄ = 4ĵ + 2k̂

    Como en el vector b no hay cantidad para la coordenada i, podemos colocar un cero aquí. Usamos la ecuación 11 para resolverlo

    Finalmente tenemos el producto vectorial donde multiplicamos dos vectores y como resultados obtenemos un nuevo vector perpendicular a los vectores de la operación. Esta operación es descrita por el símbolo "×" o "^" por lo que también se le conoce como el producto cruz. De forma simple se define como

    Lo que implica que el producto de dos vectores paralelos es 0 ya que el seno de 0º es cero.

    Una forma interesante para calcular el producto vectorial es similar a calcular el determinante de una matriz 3x3. 

si ū = u_xî + u_y ĵ + u_zk̂ y v̄ = v_xî + v_y ĵ + v_zk̂ el producto ū × v̄ = w̄ es descrito como

w̄ = (u_yv_z - u_zv_y)î + (u_zv_x - u_xv_z)ĵ + (u_xv_y - u_yv_x)k̂  

(13)

En forma de matriz es cómo calcular el determinante.

Algunas propiedades importantes son

    Puedes comprobar estas propiedades vectoriales asignándoles valores arbitrarios a estos vectores.

Ejemplos #5. 

Evalúa el producto vectorial entre ā = 15î -3ĵ + 7k̂ y b̄ = 4ĵ + 2k̂

Usemos la descripción de la ecuación 13 definiendo x, y, z como i, j, k respectivamente

Tipos de vectores

• Vector nulo: son aquellos que tienen magnitud igual a cero. De forma gráfica podríamos decir que su origen y extremo coinciden.
• Vector unitario: son aquellos cuyo módulo tiene valor 1. Todos los vectores pueden ser representados de esta usando el sistema de normalización donde û = u/ |u| esto permitirá reducir el valor de los ejes para reescalar el vector a 1.
• Vectores paralelos: son vectores con igual o sentido contrario pero su ángulo de dirección es 0º o 180º.
• Vectores angulares: son los vectores que se interceptan en un mismo punto.
• Vectores coplanarios: son aquellos que están definidos en el mismo plano.

Esto es todo por ahora en esta publicación especial. Si quieren aprender más sobre vectores me lo pueden dejar saber en la sección de comentarios. Quiero dar Gracias especiales a  las páginas https://www.universoformulas.com/fisica/vectores/operaciones-vectores/ y https://www.significados.com/vector/#:~:text=En%20f%C3%ADsica%2C%20se%20llama%20vector,expresar%20las%20llamadas%20magnitudes%20vectoriales. Pues fueron de mucha ayuda e inspiración en esta publicación. Para nuestra próxima publicación volveremos con las derivadas y algunos casos especiales.

Calculo: Derivadas parte 1

Para hablar sobre las derivadas debemos primero tener en claro los conceptos de línea tangente y línea secante. La línea tangente es una recta que toca a la curva de una gráfica sólo en un punto llamado punto de tangencia.   

Una línea secante es una recta que corta una curva en dos puntos. Conforme estos puntos se acercan y la distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

Para encontrar la tangente a una curva y = f (x) en un punto P (x₀, f (x₀)) calculamos la pendiente de la secante a través del punto P y un punto cercano Q (x₀ + h, f (x₀ + h)) donde h es una cantidad arbitraria, entonces tomamos el límite de la pendiente cuando h → 0.Si el límite existe, lo llamamos la pendiente de la curva que podemos definir en el punto P (x₀, f (x₀ )) como m.

La expresión f se llama cociente de diferencias de f en x₀ con incrementos h y el límite de esta expresión es lo que llamamos la derivada de una función f en el punto x₀ y denotamos como f '(x₀) esto muestra que la derivada es la pendiente de una recta secante en cualquier punto x₀; f '(x₀) = m.

Ejemplo encuentra la derivada de f(x) = x² cuando x = 5

 

cuando x = 5 tenemos

f '(5) = 2(5) = 10

Otro ejemplo. Calcula f '(3) donde f(x) = 4x² - 7x

1ero vamos a calcular f' (x)

Evaluando cuando x = 3

f '(3) = 8(3) - 7 = 24 - 7 = 17

Teorema 1

El proceso de calcular una derivada se llama diferenciación. Usamos la notación  para implicar que la diferenciación se realiza en la función f (x). Otra forma de expresarlo es f '(x) como se muestra en los ejemplos. Otra notación es para indicar que la derivada se performa en la variable x y  para indicar que la derivada está siendo evaluada en el punto x = a.

Otro ejemplo de diferenciación. 

Por ahora esto será todo. asegúrense de dejar sus comentarios y sugerencias al final. Gracias por su continuo soporte.