Ecuaciones

     en pasado post explicamos que "un monomio esta compuesto por una parte literal llamada variable," esta variable representa una cantidad desconocida que necesitamos encontrar para hacer que el monomio tenga sentido. Cuando utilizamos el signo de igualdad para explicar la similitud de dos monomio/polinomios se le conoce como ecuación. Y es esta similitud que nos permite conocer el valor desconocido de dicha variable.

2x - 3 = 6 + x2   

     Como podemos ver ambos lados no constituyen términos semejantes ya que los grados de la variable son diferentes en cada lado, sin embargo el signo de igualdad juega un rol importante, ya que utilizando el valor correcto para la variable podemos hacer que los lados sean iguales. 

     La variable juega un papel muy importante en algebra ya que esta representa una relación única. En la vida cotidiana podemos encontrarnos con problemas como: 

• Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?   
• mi amigo tenia un poco de dinero ahorrado, e invirtió la mitad en un nuevo negocio. Un mes después tenia $ 1500. ¿Cual fue la cantidad original original?  
• En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 

     Problemas como estos se encuentran a diario: Alguien quiere calcular cuanto dinero ha conseguido o las medidas exactas para cocinar, tal ves conocer las medidas para construir algo, en fin, en cada uno de estos casos las variables son necesarias para encontrar la respuesta mas adecuada.  esto puede causar confusión para muchas personas ya que entender el enunciado de lo que se pide puede ser bien complicado. A través de este post tratare de explicar los pasos mas simple posible para resolver este tipo de problemas. Estos pasos me han ayudado bastante a entender toda clase de enunciados y espero que también les ayude a ustedes.  

Pasos para comprender en enunciado. 

1er paso Leer el enunciado y marcar la pregunta. En todo problema matemático hay algo en especifico que debemos encontrar. Lo primero es saber exactamente lo que nos piden y lo que debemos hacer. 

2do paso marcar todas las operaciones. Debemos buscar en el enunciado todas las palabras que simbolicen una operación matemática (el doble, mas, menos, aumenta, total, mitad, un tercio, reduce, etc). algunas veces las operaciones necesitan un conocimiento previo, por ejemplo, para calcular el numero de vehículos reparados hay que tomar en cuenta que un coche tiene cuatro ruedas y una moto solo dos.  

3er paso definir cual es la variable. Este suele ser uno de los problemas que la gente experimenta al tratar de solver una ecuación. Para encontrar la variable lo primero es re-leer el enunciado y encontrar donde las operaciones matemáticas se centran, por lo general en el enunciado la variable es asociada a una cantidad y se toma por sobreentendido. 

4to paso plantear cada operación por separado. Una vez se encuentran las variables se deben establecer todas las posibles combinaciones basado en el enunciado, cada uno de estos por separados y al final agruparlos para crear la ecuación. 

Pasemos a probar estos pasos.

•  Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

1er paso saber exactamente lo que nos piden. Queremos saber el dinero total que pertenecía a cada hermano. Sabemos que el total de los cuatros juntos es igual a 45 duros y eran cuatro hermanos, entonces si sumamos el dinero de los cuatro hermanos el total debería ser 45 duros.  

  2do paso marcar todas las operaciones. Revisando el enunciado tenemos que el dinero del primero aumenta en 2 duros, es decir se les suma dos; el segundo se reduce en 2, es decir se les resta dos; el tercero se duplica, es decir se multiplica por dos; el cuarto se reduce a la mitad, es decir se divide a la mitad. Aplicando estos análisis tenemos lo siguiente. 

El primero () +2 

El segundo ()-2 

El tercero 2*() 

El cuarto ()/2 

El paréntesis expresa una cantidad desconocida.

3er paso definir la variable. Como definimos en la explicación de los pasos, la variable suele estar ubicada alrededor de donde las operaciones abundan. En el paso anterior pudimos encontrar todas las operaciones posibles y eso nos llevo a encontrar un espacio abierto, una cantidad desconocida que como toda variable es desconocida, por lo tanto cumple con los requisitos. Así que sustituimos los paréntesis por una variable por lo general X tenemos:  

El primero x +2 

El segundo x-2 

El tercero 2x 

El cuarto x/2 

4to paso crear la ecuación. Ya que tenemos todos los datos y cada ejercicio por separado podemos crear nuestra ecuación que nos ayudara a resolver el paso numero uno.

Primero + segundo + tercero + cuarto = 45 

(x + 2) + (x - 2) + (2x) + (x/2) = 45 

• mi amigo tenia un poco de dinero ahorrado, e invirtió la mitad en un nuevo negocio. Un mes después tenia $ 1500. ¿Cual fue la cantidad original?

 

1er paso. ¿cual fue la cantidad original? 

2do paso.  Dinero ahorrado menos dinero invertido  

3er paso. La variable es el dinero ahorrado.  (X - X/2)

4to paso. Dinero ahorrado menos dinero invertido es igual a 1500 

X - X/2 = 1500 

• En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 

1er paso. Numero de coches y motos basado en el numero de ruedas. 

2do paso. Se necesita un conocimiento previo. Un coche tiene cuatro ruedas y una moto tiene dos ruedas 

4*coche + 2*moto 

3er paso. Variable es el numero de vehículos (coches o motos) 

4to paso. 4x + 2x = 40 

Polinomios II

Multiplicación de Binomios

      Los binomios tienen algunas características con respecto a la multiplicación que hace los cálculos más simples.

      Si un binomio es multiplicado por sí mismo es igual que ser elevado al cuadrado.

(2x² +3y) * (2x² +3y) = (2x² +3y)²

     La multiplicación de un binomio por su conjugado es igual a la diferencia  del cuadrado de los términos.

(a + b) * (a - b) = a² – b²

     Cuando tenemos un binomio elevado al cuadrado podemos aplicar una técnica llamada binomio de newton. “el primer monomio es elevado al cuadrado, más dos multiplicado por el primer y segundo monomio, más el segundo monomio al cuadrado.”

(2x² +3y)² = (2x²)² + 2(2x)(3y) + (3y)²

4x⁴ + 12xy + 9y²

Demostración 

Recordatorio: en la multiplicación los exponentes de la misma letra se suman y los coeficientes se multiplican

^·          División de polinomios

     A diferencia de la multiplicación, en la división los exponentes se restan y los coeficientes se dividen.  Como toda división contamos con un dividendo (el polinomio que se va a dividir) y un divisor (el polinomio que divide).

Un ejemplo simple para mostrar los pasos:

Resultado: X²

     En este ejemplo vemos los pasos a seguir para realizar una simple división pero como podemos trabajar un problema como el siguiente:

x⁵ + 2x³ − x – 8 ÷ x² − 2x + 1

     

     Para trabajar con un problema así debemos seguir los siguientes pasos. 

1.       Los polinomios deben ser organizado en orden descendente (de mayor a menor) según sus exponentes, si hay algún exponente faltante se expresa con un espacio en blanco o con el numero 0 (cero) ya que cualquier numero multiplicado por cero es igual a cero.

2.       Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

3.       El resultado de esta división se multiplica por cada uno de los términos del divisor.

4.       El resultado de esta división es restado del dividendo.

5.       El proceso se repetirá hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor o el divisor sea igual a cero.

Ejemplo:

(11x² + 6 - 5x³ + x⁴ - 12x) ÷ (-3x + x² + 3)

1er paso: organizar en forma descendente.

2do paso: dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

3er paso: multiplicar por cada término del divisor.

4to paso: restar los términos semejantes.

5to paso: repetir  todo el proceso  hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor o el divisor sea igual a cero.

Otro ejemplo

    Las reglas para la división de fracciones también se aplican para los polinomios.

     A veces el divisor es simplemente un monomio. Esto facilita la división ya que al tener un solo término podemos dividir directamente. 

     con esto concluimos las operaciones básica de los polinomios. para el próximo post empezaremos explicando las variables y ecuaciones y luego regresaremos con nuevas operaciones de polinomios.