martes, 11 de enero de 2022

Aplicaciones de la Derivada 4: Concavidad y Bosquejo de Curvas

    Hemos visto cómo la primera derivada nos dice dónde está aumentando y dónde está disminuyendo una función y si un máximo o un mínimo local ocurre en un punto crítico. En esta sección veremos que la segunda derivada nos da información sobre cómo se dobla o gira la gráfica de una función diferenciable.

    Con este conocimiento sobre la primera y segunda derivadas, podremos dibujar una gráfica precisa de una función. Al organizar todas estas ideas en un procedimiento coherente, damos un método para dibujar gráficos.

    Analicemos la gráfica de la función y = x3.


    Como podemos apreciar, la curva asciende a medida que aumenta x, pero las porciones definidas en los intervalos (-∞, 0) y (0, ∞) giran de diferente manera. De izquierda a nuestro origen la curva gira a nuestra derecha y cae debajo de su tangente, desde el origen hacia la derecha, la curva gira a la izquierda y se eleva por encima de su tangente. La pendiente de la tangente disminuye en el intervalo (-∞, 0) y aumenta en el intervalo (0, ∞). Esta flexión de la curva es lo que llamamos concavidad.

    La gráfica de una función diferenciable y = f (x) es

  • Cóncavo hacia arriba si f 'aumenta en el intervalo dado.
  • Cóncavo hacia abajo si f 'está disminuyendo en el intervalo dado.

Si la función tiene una segunda derivada, podemos aplicar nuestro tercer corolario para obtener:

  • Si  f “ >  0 en el intervalo dado, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
  • Si  f “ < 0 en el intervalo dado, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

    Nuestra gráfica de y = x3 es cóncava hacia abajo en (-∞, 0) donde y '' = 6x < 0 y cóncava hacia arriba en (0, ∞) donde y '' = 6x > 0. El punto donde la concavidad cambia en el gráfico y tiene una tangente se llama un punto de inflexión. En nuestro ejemplo, nuestro gráfico cambia de concavidad en x = 0 pero no tiene una línea tangente en él, por lo que este no es un punto de inflexión.

    Ejemplo: Determine la concavidad de y = 3 + sen x en [0, 2π] y encuentre su punto de inflexión.

    Calculando la segunda derivada tenemos y '' = - sin x. Tenemos ceros en 0, π y 2π, por lo que podemos construir intervalos (0, π) y (π, 2π). Y tenemos esa y '' = - sin x es negativo en el intervalo (0, π) por lo que es cóncavo hacia abajo y positivo en los intervalos (π, 2π) por lo que es cóncavo hacia arriba.


    La curva cambia de concavidad en el punto (π, 3) y en este punto tiene una recta tangente de pendiente -1, que es su punto de inflexión.

    Observamos que la segunda derivada es cero en el punto de inflexión. Generalmente, si la segunda derivada existe en un punto de inflexión (c, f (c)), entonces f '' (c) = 0 o f '' (c) Con esto ahora podemos crear una prueba de la segunda derivada para el teorema de los extremos locales.

    Suponga que f’’ es continuo en un intervalo abierto que contiene x = c.

1. Si f’(c) = 0f’ (c) < 0, entonces f tiene un máximo local en x = c.

2. Si f’(c) = 0 y f’ (c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en x = c.

3. Si  f’(c) = 0 y f’ (c) < 0, entonces la prueba falla. La función f puede tener un máximo local, un mínimo local o ninguno.

Ejemplo. Dibuja una gráfica de la función f (x) = x4 - 4x3 + 10.

    Lo primero que analizamos es el dominio de la función y encontramos que esta función es continua en todas partes, por lo tanto su dominio es (-∞, ∞), por lo que los puntos críticos ocurren solo en los cero de la derivada.

f’(x) = 4x3 - 12x2 = 4x2(x - 3)

    Encontramos que la primera derivada es cero en x = 0 y x = 3. Ahora con los puntos críticos creamos subdivisiones para encontrar las regiones donde está aumentando o disminuyendo.

- ∞ < x < 0 es negativo, por lo que es decreciente

0 < x < 3 es negativo, por lo que es decreciente

x > 3 es positivo, por lo que aumenta

    Sí aplicamos la prueba de la primera derivada, encontramos un mínimo local en x = 3 pero no un extremo en x = 0

    tomamos ahora la segunda derivada y obtenemos f’’ (x) = 12x2 - 24x = 12x (x - 2) con ceros en x = 0 y x = 2. Si analizamos las regiones creadas por estos puntos, podemos encontrar dónde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

-∞ < x < 0 es positivo, por lo que es cóncavo hacia arriba

0 < x < 2 es negativo, por lo que es cóncavo hacia abajo

x > 2 es positivo, por lo que es cóncavo hacia arriba.

    Para resumir la información que adquirimos, creamos las siguientes tablas junto con la forma general del gráfico

x < 0

0 < x < 2

2 < x < 3

x > 3

Decreciente

Cóncava arriba

Decreciente

Cóncavo hacia abajo

Decreciente

Cóncava arriba

Creciente

Cóncava arriba



Descripcion general de la grafica del problema.


    Como vemos una gráfica puede tener cualquiera de las siguientes combinaciones.



Procedimiento para graficar y = f (x)

1. Identifique el dominio de f y las simetrías que pueda tener la curva.

2. Encuentra las derivadas y’ y y’’.

3. Encuentre los puntos críticos de f, si los hay, e identifique el comportamiento de la función en cada uno.

4. Encuentre dónde la curva aumenta y disminuye.

5. Encuentre los puntos de inflexión, si ocurre alguno, y determine la concavidad de la curva.

6. Identifique cualquier asíntota que pueda existir.

    la noción de concavidad es importante en la teoría y la economía de la optimización. Otra aplicación de la concavidad es en física para determinar la aceleración dada una gráfica de posición versus tiempo. Dado que la aceleración es la segunda derivada de la posición.

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