Calculos: Derivadas Parte 4

Derivada de una función compuesta

    Uno de los conceptos más difíciles de trabajar en el álgebra que aprendemos en la escuela es el de las funciones compuestas, ya que estas están formadas por dos o más funciones que hacen que la funciones sean más complejas. Por ejemplo.

Si definimos la función f(x) usando g(x) tendremos.

    Esto sería una función compuesta que resulta simple ya que lo único afectado ha sido la amplitud del sen(x), pero si definimos g(x) usando f(x) tenemos algo más complejo.

    Este tipo de funciones se vuelven aún más complicada cuando intercambiamos variables. Ya que podemos definir una variable con respecto a x, otra con respecto a y, otra con respecto a t, y así sucesivamente y combinarlas todas en una función compuesta. Ejemplo. 

    Su complejidad es un poco más manejable a la hora de buscar derivadas gracias a un método conocido como la regla en cadena.

    Si tenemos una función u = f(x) y otra y = g(u) = g(f(x)) podemos encontrar la derivada usando la regla en cadena. Esta regla nos permite calcular la derivada en cada variable de forma individual y combinarlas a través de la multiplicación para obtener el resultado de la derivada deseada 

Otra forma de representarla.

    En términos menos técnicos; tomamos la derivada de la función exterior y multiplicamos por la derivada de la función interior. Veamos cómo funciona usando sen(3x).

    Definimos las funciones en la parte de arriba ahora podemos calcular las derivadas de forma individual o agrupadas.

Entonces.

Veamos otro ejemplo. 

    Primero vamos a reescribir la función para hacer más obvio las funciones compuestas.

Podemos definir  y 

sustituyendo.

Otro ejemplo. 

    Debemos recordar que sen³(4x) = [sen(4x)]³ así que tenemos el cubo de una función y podemos definir dos funciones para calcular su derivada.

    La parte  también podemos aplicarle la regla de la cadena ya que esta no esta limitada a un solo uso.

    Con estas ideas en mente ya tenemos todas las piezas necesarias para introducir la derivación implícita. Esta la vamos a explicar en su propia publicación pues es un tema que necesita de muchos detalles y es necesario tomarse su tiempo para que todo sea lo más claro posible. Por ahora esto es todo. Si le gusto o tienes alguna sugerencia por favor dejar sus comentarios debajo. La próxima publicación será sobre los dominios de las matemáticas y después regresaremos para concluir las derivadas y agregar algunos ejercicios para practicar. 

Calculos: Derivadas Parte 3

    Las funciones trigonométricas se definen como el cociente entre los lados de un triángulo y sus ángulos. Estas son las siguientes.

    Por lo general estos son abreviados y asociados a un ángulo.

    Algo importante que se puede derivar de aquí es que todas las funciones pueden ser re-escritas en términos de seno y coseno.

    Lo que simplifica el proceso ya que si el seno y el coseno son diferenciable entonces los demás deben serlo también. Si no estás familiarizado con trigonometría esto resultara un poco confuso ya que usaremos algunas identidades trigonométricas para facilitar el trabajo. Vamos entonces a buscar la derivada del seno y el coseno.

    Ejemplo 1.  usaremos la definición de derivadas para calcular esto.

    Para simplificar usaremos la identidad. 

    Como todos tienen el mismo denominador podemos separarlos.

    Podemos factorizar el factor común sen(x) y aplicar una de las propiedades de los límites.

    Cuando h = 0 tenemos cos (h) = cos (0) = 1 entonces cos (0) – 1 = 0 así que tenemos. 

    En el caso de sen(h)/h tenemos que sen (0) = 0 así que la misma técnica no funcionará, pero hay un dato importante a recordar y es que sen (x) ~ x cuando x es pequeña y podemos usar esto ya que queremos h → 0.

    Así que  cuando h es pequeña 

    tenemos que. 

    Ejemplo 2.  usando la definición de la derivada.

    La identidad para el coseno es diferente a la del seno.

    Y aplicamos los mismos pasos que aplicamos previamente.

     

    Si lo desean pueden practicar con las demás funciones e incluso usar técnicas de diferenciación que mostramos anteriormente, pero los resultados deberían ser estos.

    

    Trabajar con funciones trigonométricas poder ser complicado si no conocemos las identidades apropiadas. Aquí les dejare algunas de las más comunes para que les sirva de guía.

Feliz año nuevo para todos. En la próxima publicación seguiremos con la parte de la regla en cadena. Estoy buscando más ideas para agregar temas al blog así que todas las sugerencias son aceptadas.