Fundamentos de Calculo III - Limites

Antes de empezar hablar de los limites, vamos a repasar la idea de la pendiente. La pendiente de una curva en un punto es la  inclinación que tiene la recta tangente a la curva en ese punto.

Si tenemos una gráfica descrita por la ecuación f(x). La linea en el punto A es descrita como la pendiente tangente a la curva f(x) en el punto A. también es descrita por la ecuación   conocida mas bien como el cambio de salida sobre el cambio de entrada. (el símbolo aquí presentado corresponde a la letra griega delta y simboliza cambio o diferencia). Si tomamos puntos arbitrariamente en la gráfica encontraremos la pendiente tangente a cada punto pero que tal si queremos conocer el cambio en mas pequeños intervalos, infinitésimamente pequeños intervalos, si la función que estamos observando es continua entonces podremos definir la pendiente es cada punto pero si la función no es continua que podremos hacer? Es aquí donde la idea de limites hace su aparición.

Observemos la siguiente función: alrededor del punto  x = 1.

Si utilizamos calculadoras o programas para crear la gráfica de esta función tendremos una línea recta (los programas de computadoras y calculadoras están diseñados para lidiar con límites), pero si analizamos la función correctamente veremos que la función es indefinida en el punto x = 1 (no podemos dividir por cero). Sin embargo podemos simplificar la función al factorizar el numerador 
Esta es la función que aparece en la gráfica de las calculadoras y programas de computadora. Esta clase de gráficas son consideradas discontinuas ya que existe un punto donde la gráfica no es definida. Para entender mejor la idea de continuidad imagina que tienes una gráfica de una función f(x) si tomamos un lápiz o marcador y trazamos una linea exactamente sobre la gráfica sin tener que levantar el lápiz o marcador entonces la función es continua. Si en algún momento tenemos que mover la punta del lápiz o marcador fuera de la linea entonces la función es discontinua. Veamos los siguientes ejemplos.

Mientras más cerca nos movamos al punto x = 1 más sera visto que la función g(1) = 2 aunque esta no lo sea. A esto le llamamos limites y lo describimos de la siguiente forma.

y se lee: el limite de la funcion  cuando x se aproxima a 1 es igual a 2. una forma mas tecnica para describirla seria si la funcion h(x) se define en un intervalo abierto sobre c, excepto posiblemente en la propia c. Si h(x) está arbitrariamente cerca de L para todos los valores x lo suficientemente cerca de c, decimos que h(x) se acerca al límite L a medida que x se acerca a c.

Veamos dos ejemplos simples.



Si c y K son constantes, en el primer ejemplo tenemos que el limite de la funcion x, es simplemente el valor c, pues la funcion x es continua. en el segundo ejemplo tenemos que el limite de la constante K es K pues su valor nunca cambia. En un caso como este el limite existe pero hay casos donde el limite puede que no exista como en el primer ejemplo y en los siguientes.

a) Salta: la función de unidad de paso U(x) no tiene límite cuando x se acerca a 0 porque sus valores saltan a x = 0. Para los valores negativos de x arbitrariamente cerca de cero, U(x) = 0, pero para valores positivos de x arbitrariamente próximos a cero U(x) = 1. no hay un valor único L por U(x) cuando x va a 0.

b) Crece demasiado "grande" para tener un límite: g(x) no tiene límite cuando x se acerca a 0 porque los valores de g crecen arbitrariamente grandes en valor absoluto a medida que x se acerca a cero y no permanece cerca de ningún número real fijo

c) Oscila demasiado para tener un límite: f(x) no tiene límite cuando x se acerca a 0 porque los valores de la función oscilan entre +1 y -1 en cada intervalo abierto que contiene 0. Los valores no permanecen cerca de ningún número como x se acerca a 0

Algunas propiedades de los limites.

Pero la propiedad mas importante es que solo un limite puede existir en una función. Por ahora eso es todo. Aquí les dejare tres ejercicios para que practiquen las propiedades de los limites. En la próxima publicación estarán las respuestas. 

Funddamentos de Calculo II

Gráfica de funciones

     Si f es una función con dominio D, su gráfica consiste en los puntos en el plano cartesiano cuyas coordinadas son los pares de puntos entrada-salida de f. En forma de notación la gráfica se describe 

     No todas las curvas pueden ser la gráfica de una función. Una función solo puede tener un valor f(x) por cada valor x lo que significa que si trazamos una línea vertical en la gráfica de la función, esta solo intercepta la gráfica en un punto f(x) por cada valor de x. veamos un ejemplo

     Como se puede ver al trazar una línea vertical sobre (a) y (b) esta intercepta la gráfica en un solo punto (no importa donde se trace la línea vertical), pero en (c) vemos que la línea vertical toca dos o mas punto. Por lo tanto (a) y (b) son funciones, pero (c) no es una función. Algunas gráficas son difícil de describir usando una función, ya que la gráfica puede ser muy complicada, por ejemplo.

     Gráficas de esta forma pueden ser representadas usando dos o mas funciones en restringido dominio. Por restringido dominio me refiero a la posibilidad de dividir la gráfica en sub-graficas donde cada área es definida por una función que describe el comportamiento de la gráfica en esa área. En el ejemplo anterior podemos dividir la gráfica en tres subáreas o mas.

Si la gráfica es denominada f(x) entonces podemos definirla como

donde cada intervalo  es definido por una diferente función y al graficar todo junto crea la gráfica deseada. Veamos otro ejemplo.

  Esta Función esta definida en todo el espacio, pero sus valores dependen de diferentes funciones a diferentes intervalos. Si creamos la gráfica veremos que su dominio se extiende por todo el espacio y aunque contiene diferentes funciones para diferentes intervalos, en general es una sola función.

     
     Otra característica importante es que las funciones pueden ser par o impar. Una función es denominada par si al substituir f(x) por f(-x) da como resultado f(x) nuevamente. Una función es denominada impar si al sustituir f(x) por f(-x) da como resultado -f(x). las graficas de funciones pares son simétricas con respecto al eje y lo que significa que una reflexión de la grafica con respecto al eje y, no cambia la gráfica. Por otro lado, las graficas de las funciones impares son simétricas con respecto al origen por lo que una rotación de 180 grados no transforma la gráfica.   

Funciones comunes.

Una gran variedad de funciones aparece frecuentemente en cálculos. Estas son las mas comunes que posiblemente estaremos trabajando.

Funciones lineares. Una función de la forma f(x)=mx+b donde m y b son constantes es conocida como una función linear. "m" representa la pendiente por lo general es descrita por la formula 

mientras "b" es conocido como el punto de inicio. Diferentes valores de m indican la inclinación de la línea mientras que diferentes valores de b indican su origen
 

Funciones de potencia. una función de la forma 

donde "a" es una constante, es considerada una función de potencia. Existen tres casos que pueden pasar. 

• Cuando "a" es un numero entero positivo (a > 0). su gráfica va a ser determinada dependiendo si este número es ser par o impar. 

• Cuando "a" es un numero entero negativo (a < 0). Su gráfica será una hipérbola, pero dependiendo si es par o impar su gráfica será la siguiente.

 

• Cuando "a" es una fracción. Las funciones también son representadas como raíces y su gráfica varia con respecto al tipo de fracción. En la fracción de la potencia el denominador es considerado como la raíz.

 

Funciones trigonométricas. como son 6 las funciones trigonométricas donde ellas dependen del seno y el coseno. es bueno ver la relación de forma gráfica. 

la gráfica roja corresponde al coseno y la azul al seno. como se puede ver es la misma gráfica con una diferencia de 90 grados en la fase

 

Donde la gráfica roja es el seno y la azul es la cosecante también conocida como 1/seno.

Donde la gráfica roja es el coseno y la azul es la secante también conocida como 1/coseno.

 La gráfica roja es la tangente; el azul mas oscuro pertenece al seno, y el azul mas claro pertenece a la secante desde que la tangente es también conocida como seno/coseno o seno*secante.

 La gráfica roja es la cotangente; el azul mas oscuro pertenece al coseno, y el azul mas claro pertenece a la cosecante desde que la cotangente es también conocida como coseno/seno o coseno*cosecante o la inversa de la tangente.

En el próximo post explicaremos el concepto de los limites. Como siempre sugerencias son aceptadas.