Calculos IV: - mas limites

Si el denominador es cero, la cancelación de factores comunes en el numerador y el denominador puede reducir la fracción a uno cuyo denominador ya no sea cero. Si esto sucede, podemos encontrar el límite por sustitución en la fracción simplificada. Veamos un ejemplo.

Si resolvemos el denominador, encontraremos que en x = 1 el denominador es cero y la función no está definida. Aplicando esto al numerador, encontramos que también es cero, lo que significa que tienen un factor común en x =-1. Factorizando el numerador y el denominador podemos simplificar nuestra ecuación.

 

Usando la fracción más simple podemos encontrar el límite de estos valores por sustitución.

El Teorema del Sandwich

También llamado teorema exprimido o teorema de pinzamiento, se llama así porque se refiere a una función f(x) cuyos valores están intercalados entre los valores de otras dos funciones g(x) y h(x) que tienen el mismo límite L en el punto c. 

Suponga que para todas las x en algún intervalo abierto que contenga c, excepto posiblemente en x = c. Supongamos también que g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) para todas las x en algún intervalo abierto que contenga c, excepto posiblemente en x = c. Supongamos también que lim g (x) = lim h (x) = L luego lim f (x) = L a medida que x va a c.

Ejemplo: dado que...

Si creamos una gráfica para  las dos funciones dadas, tendremos lo siguiente 

Entonces podemos poner una función u(x) sin importar que tan complicada sea pero que satisface la inecualidad.

La gráfica nos indica que las tres gráficas coinciden en el punto x=0. así que buscamos el limite en esta región.

 

  

El limite por las dos ecuaciones es 1 así que el limite de u(x)=1.

La importancia del teorema sandwich es que nos ayuda a establecer reglas importantes sobre los limites.  Veamos otro ejemplo.

  

 

Si los ángulos son medidos en radianes entonces podemos implementar la idea del circulo unitario (circulo de radio 1) siempre y cuando x sea un angulo diferente a cero.

La longitud de θ es igual a la longitud del arco AP y segmento de la linea entre AP es menor que θ.

 

El triangulo formado por los puntos APQ es un triangulo rectángulo y la longitud de sus lados es igual a 

  

Usando el teorema de pitagoras podemos encontrar el la AP.

Los términos a la izquierda de la inecuacion son positivos y menores que la suma de ambos que también es menor que θ². Por lo tanto podemos separarlos en dos inecualidades. 

Tomando la raiz cuadrada de ambos lados

Como el limite de

Entonces podemos decir que   y que los valores absoluto de f(x) tienen su limite 0  por el teorema del sandwich podemos decir que 

Resultados de la ultima publicación

(a) 

Usando la regla de la suma y la resta

 También podemos usar la regla de la potencia

 

(b) 

Usando la regla de la división y la suma y resta

(c) 

Usando la regla de la raíz podemos evaluar directamente

Por ahora eso es todo. Aquí les dejare unos ejercicios para que practiquen los limites. En la próxima publicación estarán las respuestas. 

1.  para la funcion g(x) presentada en esta grafica encuentra los siguientes limites o explica porque el limite no existe.
   
   a. 
   b. 
   c. 
   d. 
   
   
2. Cual de los siguientes declaraciones con respecto a la función f(x) en la gráfica debajo are verdadera y cuales son falsas.
   
   

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   
   
   

3. Encuentra los limites