Calculos IV: - mas limites

Si el denominador es cero, la cancelación de factores comunes en el numerador y el denominador puede reducir la fracción a uno cuyo denominador ya no sea cero. Si esto sucede, podemos encontrar el límite por sustitución en la fracción simplificada. Veamos un ejemplo.

Si resolvemos el denominador, encontraremos que en x = 1 el denominador es cero y la función no está definida. Aplicando esto al numerador, encontramos que también es cero, lo que significa que tienen un factor común en x =-1. Factorizando el numerador y el denominador podemos simplificar nuestra ecuación.

 

Usando la fracción más simple podemos encontrar el límite de estos valores por sustitución.

El Teorema del Sandwich

También llamado teorema exprimido o teorema de pinzamiento, se llama así porque se refiere a una función f(x) cuyos valores están intercalados entre los valores de otras dos funciones g(x) y h(x) que tienen el mismo límite L en el punto c. 

Suponga que para todas las x en algún intervalo abierto que contenga c, excepto posiblemente en x = c. Supongamos también que g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) para todas las x en algún intervalo abierto que contenga c, excepto posiblemente en x = c. Supongamos también que lim g (x) = lim h (x) = L luego lim f (x) = L a medida que x va a c.

Ejemplo: dado que...

Si creamos una gráfica para  las dos funciones dadas, tendremos lo siguiente 

Entonces podemos poner una función u(x) sin importar que tan complicada sea pero que satisface la inecualidad.

La gráfica nos indica que las tres gráficas coinciden en el punto x=0. así que buscamos el limite en esta región.

 

  

El limite por las dos ecuaciones es 1 así que el limite de u(x)=1.

La importancia del teorema sandwich es que nos ayuda a establecer reglas importantes sobre los limites.  Veamos otro ejemplo.

  

 

Si los ángulos son medidos en radianes entonces podemos implementar la idea del circulo unitario (circulo de radio 1) siempre y cuando x sea un angulo diferente a cero.

La longitud de θ es igual a la longitud del arco AP y segmento de la linea entre AP es menor que θ.

 

El triangulo formado por los puntos APQ es un triangulo rectángulo y la longitud de sus lados es igual a 

  

Usando el teorema de pitagoras podemos encontrar el la AP.

Los términos a la izquierda de la inecuacion son positivos y menores que la suma de ambos que también es menor que θ². Por lo tanto podemos separarlos en dos inecualidades. 

Tomando la raiz cuadrada de ambos lados

Como el limite de

Entonces podemos decir que   y que los valores absoluto de f(x) tienen su limite 0  por el teorema del sandwich podemos decir que 

Resultados de la ultima publicación

(a) 

Usando la regla de la suma y la resta

 También podemos usar la regla de la potencia

 

(b) 

Usando la regla de la división y la suma y resta

(c) 

Usando la regla de la raíz podemos evaluar directamente

Por ahora eso es todo. Aquí les dejare unos ejercicios para que practiquen los limites. En la próxima publicación estarán las respuestas. 

1.  para la funcion g(x) presentada en esta grafica encuentra los siguientes limites o explica porque el limite no existe.
   
   a. 
   b. 
   c. 
   d. 
   
   
2. Cual de los siguientes declaraciones con respecto a la función f(x) en la gráfica debajo are verdadera y cuales son falsas.
   
   

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   
   
   

3. Encuentra los limites
   
   

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   

    

   
   

   
   

Fundamentos de Calculo III - Limites

Antes de empezar hablar de los limites, vamos a repasar la idea de la pendiente. La pendiente de una curva en un punto es la  inclinación que tiene la recta tangente a la curva en ese punto.

Si tenemos una gráfica descrita por la ecuación f(x). La linea en el punto A es descrita como la pendiente tangente a la curva f(x) en el punto A. también es descrita por la ecuación   conocida mas bien como el cambio de salida sobre el cambio de entrada. (el símbolo aquí presentado corresponde a la letra griega delta y simboliza cambio o diferencia). Si tomamos puntos arbitrariamente en la gráfica encontraremos la pendiente tangente a cada punto pero que tal si queremos conocer el cambio en mas pequeños intervalos, infinitésimamente pequeños intervalos, si la función que estamos observando es continua entonces podremos definir la pendiente es cada punto pero si la función no es continua que podremos hacer? Es aquí donde la idea de limites hace su aparición.

Observemos la siguiente función: alrededor del punto  x = 1.

Si utilizamos calculadoras o programas para crear la gráfica de esta función tendremos una línea recta (los programas de computadoras y calculadoras están diseñados para lidiar con límites), pero si analizamos la función correctamente veremos que la función es indefinida en el punto x = 1 (no podemos dividir por cero). Sin embargo podemos simplificar la función al factorizar el numerador 
Esta es la función que aparece en la gráfica de las calculadoras y programas de computadora. Esta clase de gráficas son consideradas discontinuas ya que existe un punto donde la gráfica no es definida. Para entender mejor la idea de continuidad imagina que tienes una gráfica de una función f(x) si tomamos un lápiz o marcador y trazamos una linea exactamente sobre la gráfica sin tener que levantar el lápiz o marcador entonces la función es continua. Si en algún momento tenemos que mover la punta del lápiz o marcador fuera de la linea entonces la función es discontinua. Veamos los siguientes ejemplos.

Mientras más cerca nos movamos al punto x = 1 más sera visto que la función g(1) = 2 aunque esta no lo sea. A esto le llamamos limites y lo describimos de la siguiente forma.

y se lee: el limite de la funcion  cuando x se aproxima a 1 es igual a 2. una forma mas tecnica para describirla seria si la funcion h(x) se define en un intervalo abierto sobre c, excepto posiblemente en la propia c. Si h(x) está arbitrariamente cerca de L para todos los valores x lo suficientemente cerca de c, decimos que h(x) se acerca al límite L a medida que x se acerca a c.

Veamos dos ejemplos simples.



Si c y K son constantes, en el primer ejemplo tenemos que el limite de la funcion x, es simplemente el valor c, pues la funcion x es continua. en el segundo ejemplo tenemos que el limite de la constante K es K pues su valor nunca cambia. En un caso como este el limite existe pero hay casos donde el limite puede que no exista como en el primer ejemplo y en los siguientes.

a) Salta: la función de unidad de paso U(x) no tiene límite cuando x se acerca a 0 porque sus valores saltan a x = 0. Para los valores negativos de x arbitrariamente cerca de cero, U(x) = 0, pero para valores positivos de x arbitrariamente próximos a cero U(x) = 1. no hay un valor único L por U(x) cuando x va a 0.

b) Crece demasiado "grande" para tener un límite: g(x) no tiene límite cuando x se acerca a 0 porque los valores de g crecen arbitrariamente grandes en valor absoluto a medida que x se acerca a cero y no permanece cerca de ningún número real fijo

c) Oscila demasiado para tener un límite: f(x) no tiene límite cuando x se acerca a 0 porque los valores de la función oscilan entre +1 y -1 en cada intervalo abierto que contiene 0. Los valores no permanecen cerca de ningún número como x se acerca a 0

Algunas propiedades de los limites.

Pero la propiedad mas importante es que solo un limite puede existir en una función. Por ahora eso es todo. Aquí les dejare tres ejercicios para que practiquen las propiedades de los limites. En la próxima publicación estarán las respuestas.