Aprende Matemáticas JMD: Volúmenes Usando Cascarones Cilíndricos

El método de rebanar a veces puede ser complicado de implementar dependiendo de la forma del sólido, así que busquemos otra forma de rebanar para estos casos.

En el caso presentado arriba, tenemos la gráfica de la función y = -3x² + 7x en la parte A. como hemos visto antes, giramos nuestra función paralelamente al eje que está definido y podemos aplicar el método del disco para resolver el volumen (parte B), pero si giramos la función perpendicular al eje en el que se define la revolución (parte C), y tratamos de usar el método de la arandela para eso, debemos reescribir la ecuación en términos de y, lo que creará una muy complicada fórmula, ya que también seguirá siendo dependiente de x y aún no sabemos cómo evaluar esto. Esto sucede porque el método de la arandela y el disco se integran a lo largo del eje paralelo al eje de rotación. Debemos crear un método que nos permita integrar perpendicularmente al eje de revolución.

En el ejemplo dado, en lugar de rotar una tira horizontal de espesor ∆y (paralela al eje de rotación), rotamos una tira vertical de espesor ∆x (perpendicular al eje de rotación) produciendo una capa cilíndrica de altura y_k sobre un punto x_k. Seguimos haciendo esto hasta que todos los cilindros sigan el contorno de la parábola.

Cada rebanada se asienta sobre un subintervalo de la longitud del eje x. Su radio es aproximadamente (1 + x_k) y su altura está determinada por -3x² + 7x. Si desenrollamos el cilindro y lo aplanamos se convierte aproximadamente en una losa rectangular de espesor ∆x_k, la longitud viene dada por la circunferencia exterior 2πradio = 2π(1+x_k). El volumen de esta losa rectangular se aproxima como si fuera un sólido rectangular.

Sumando todos los cilindros individuales obtenemos una suma de Riemann, y seguimos los mismos pasos que en publicaciones anteriores.

Esto es lo esencial del método de caparazón. Ahora generalicemos el procedimiento para obtener una fórmula general.

En la figura de arriba, tenemos una región limitada por la función y = f(x) y debajo por el eje x y las líneas x=a y x=b para el límite izquierdo y derecho respectivamente. Anteriormente, las regiones definidas en función de x se giraban alrededor del eje x o paralelas a él, pero esta vez las giraremos alrededor del eje y.

Para calcular su volumen como lo hemos hecho muchas veces antes, dividimos el intervalo y construimos rectángulos de altura f(x_k) y ancho ∆x. cuando se gira un rectángulo, obtenemos una cubierta cilíndrica en lugar de un disco o una arandela.

El volumen del cilindro es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son regiones en forma de anillo esencialmente con un radio exterior x_i y un radio interior x_i-1. Por lo tanto, el área de la sección transversal es πx_i² – πx_i-1² y el volumen.

Note que (x_k- x_k-1) = ∆x

$\frac{{{x_k} + {x_{k - 1}}}}{2}$ es el punto medio del intervalo y el radio promedio del caparazón y se puede aproximar por x_k*

Otra forma de visualizar es aplanar el caparazón en un rectángulo. Aproximar el volumen de un rectángulo es

Sumando todas las conchas, aproximamos el volumen de la región R.

Esta es una suma de Riemann, por lo que podemos tomar el límite cuando n à ∞ para encontrar la integral de la función y así darnos una fórmula general para la capa cilíndrica.

En resumen, sea F(x) una función continua y no negativa. Defina R como la región limitada arriba por la gráfica de F(x), abajo por el eje x, a la izquierda por la línea x=a y a la derecha por la línea x=b. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar R alrededor del eje y está dado por

Ejemplos.

Use el método de la cáscara para encontrar los sólidos de volumen generados al girar la región sombreada alrededor del eje indicado.

Si giramos alrededor del eje y como se indica, obtenemos la siguiente forma.

La región sombreada se define a partir de 0 ≤ x ≤ 4, por lo que podemos poner nuestra función directamente en nuestra fórmula derivada y calcular el volumen.

Las funciones están dadas en términos de y por lo que integramos con respecto a y. tenemos que nuestra función se define a partir de 0 ≤ y ≤ √2

Si giramos alrededor del eje y como se indica, obtenemos la siguiente forma.

Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la región R limitada arriba por la gráfica de la función f(x) = √x y abajo por la gráfica de la función g(x) = 1/x en el intervalo [1, 4] alrededor del eje y.

Sin embargo, la altura de una capa viene dada por la diferencia f(x)−g(x), por lo que en este caso necesitamos ajustar el término f(x) del integrando. Entonces el volumen del sólido está dado por.