En
matemáticas y física, un vector (también llamado vector
euclidiano o vector geométrico) es un objeto geométrico que se
caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).
Los vectores fijos del plano pueden ser denotados con dos letras mayúsculas,
por ejemplo AB. Otra
forma de representarlo es con barras horizontales (-) encima de la letra indicando que es un vector (Ā indica que A es un vector). o
simplemente con letras en negrita, para la mayoría de los casos nosotros usaremos
la barra encima de la letra o las letras en negritas para indicar vectores.
Un vector
tiene magnitud y dirección. En el plano cartesiano un vector también está
conformado por varias partes.
Dirección,
sobre la que se traza el vector.
El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor
del vector.
El sentido,
indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta
soporte, se usa para indicar en qué dirección (ángulo) se dirige el vector.
El punto
de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la
característica vectorial representado por el vector, se puede similar como el
lugar de origen del vector.
El nombre o
denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.
¿Qué es
diferente de un punto en el plano cartesiano y un vector?
Veamos la
siguiente gráfica.
Así
se representan los puntos en el plano cartesiano. Donde A = (-5, 3), B = (6, 5),
C = (4.5, -3.5), y D = (0, 0).
Los
vectores tienen un punto de origen (en este caso es (0, 0)) y un punto de llegada
y no son solo un punto en el espacio si no un segmento en el espacio. Sus
coordenadas no son descritas en paréntesis sino en algo diferente. A = <-5, 3>
B = <6, 5> C = <4.5, -3.5> también pueden ser representados con
indicadores de coordenadas y como vectores unitarios, pero eso lo explicaremos después.
Para
convertir un punto en un vector hay que restar el punto de llegada por el punto
de origen
x = (xfinal -xinicio,
yfinal – yinicio)
(1)
Ejemplo #1
Si creamos
un vector basado en la gráfica entre punto A y B, donde A es el origen y B es
el final, será
AB =
(6 - (-5), 5 – 3) = <11,2>
Los vectores por lo general están asociados con
un sistema de coordenadas. En el sistema cartesiano usamos x̂, ŷ, y ẑ pero a veces también
se puede usar î, ĵ, k̂ respectivamente,
los símbolos encima son para denotar coordenadas.
En 3D
un vector que solo contiene valor en el eje x lo podemos denotar como <c, 0,
0> donde c es un valor arbitrario. De la misma forma un vector con valores
solo en el eje y ó z se denota como <0, c, 0> y <0, 0, c>
respectivamente. Otra representación seria cî indicando
que el valor c solo se encuentra en el eje î ó x, cĵ indicando
que el valor c solo se encuentra en el eje ĵ ó y, ck̂ indicando
que el valor c solo se encuentra en el eje k̂ ó z.
Ya habíamos
mencionado que un vector tiene magnitud y dirección. La magnitud de
un vector es la distancia entre el punto inicial y el punto final. Esta
se puede denotar simplemente con la letra del vector o usando las barras verticales (|) para
indicar el tipo de operación que se realiza en el vector. Para calcular la
magnitud de un vector se usa la misma operación que al calcular la hipotenusa
de un triángulo rectángulo ya que la forma en que se presentan las coordenadas crea
un triángulo rectángulo con el vector. Si los valores son dados como puntos entonces
podemos tomar la diferencia entre los valores de las coordenadas y usarlos en
la misma fórmula.
(2)
Ejemplo #2
Calcula la magnitud del vector que se forma con los puntos (1, 5, -7) y (3, 1,
-2).
Usando la fórmula
2 Tenemos
La dirección
de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal. De forma
general se mide en radianes o grados. Usamos la fórmula:
(4)
Donde tan-1 es la inversa de la tangente.
Ejemplo
#3.
Calcula el ángulo de un vector con coordenadas (3, 5) y (1, 2) y el vector v̄ = 5î - 3ĵ
En el primer
caso podemos usar la segunda forma de la ecuación 5.
En el segundo caso las coordenadas
i y j corresponden a x & y respectivamente.
Suma y
resta de vectores
Para sumar y
restar vectores debemos hacer la operación con cada uno de los ejes. “x” se suma
con “x”, “y” se suma con “y”, y “z” se suma con “z”.
(6)
De forma
gráfica en la suma usamos el método cabeza-cola donde la cabeza del vector ā esta
en contacto con la cola del vector b̄.
Analizando
la gráfica podemos ver que la suma de vectores tiene propiedad conmutativa ā + b̄ = b̄ + ā, a
esto le llamamos método del paralelogramo pues en la gráfica se forma un
paralelogramo.
La
magnitud de la suma es indicada por la operación.
(8)
Otra forma
de ver la resta de vectores es con el método del paralelogramo. la resta
de dos vectores equivale a sumar al primero el opuesto del segundo.
En cuanto a la multiplicación de vectores existen diferentes formas de ejecutarlas. Podemos multiplicar un vector por una magnitud escalar que afecta de la misma forma todos los términos del vector
Ejemplo
(9)
(10) Otro caso
de multiplicación de vectores es el producto escalar donde se toman dos vectores
y se multiplican sus coordenadas y luego se suman para dar como resultado un
producto escalar. Esta se denotada por el símbolo “.” para indicar que dos
vectores están siendo multiplicados para producir una magnitud escalar.
(11)
el producto
escalar de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del
otro sobre él. Esta proyección es
(12)
Esto
tiene una implicación muy importante ya que, Si los dos vectores son
perpendiculares, su producto escalar será nulo debido a que el coseno de 90º es cero
Otra forma
de representar el producto escalar es usando matrices, lo que implica que la multiplicación
será entre una matriz de una fila por otra de una columna.
Ejemplo
#4.Cuál es el producto escalar de ā = 15î - 3ĵ + 7k̂ y b̄ = 4ĵ + 2k̂
Como en el
vector b no hay cantidad para la coordenada i, podemos colocar un cero aquí. Usamos
la ecuación 11 para resolverlo
Finalmente
tenemos el producto vectorial donde multiplicamos dos vectores y como resultados
obtenemos un nuevo vector perpendicular a los vectores de la operación. Esta operación
es descrita por el símbolo "×" o "^" por lo que también
se le conoce como el producto cruz. De forma simple se define como
Lo que
implica que el producto de dos vectores paralelos es 0 ya que el seno de 0º es cero.
Una forma
interesante para calcular el producto vectorial es similar a calcular el
determinante de una matriz 3x3.
si ū = uxî + uy ĵ + uzk̂ y v̄ = vxî + vy ĵ + vzk̂
el producto ū × v̄ = w̄ es descrito como
w̄ = (uyvz - uzvy)î + (uzvx - uxvz)ĵ + (uxvy - uyvx)k̂
(13)
En forma de
matriz es cómo calcular el determinante.
Algunas propiedades
importantes son
Puedes comprobar
estas propiedades vectoriales asignándoles valores arbitrarios a estos vectores.
Ejemplos #5.
Evalúa el producto vectorial entre ā = 15î -3ĵ + 7k̂ y b̄ = 4ĵ + 2k̂
Usemos la descripción
de la ecuación 13 definiendo x, y, z como i, j, k respectivamente
Tipos de vectores
- Vector nulo:
son aquellos que tienen magnitud igual a cero. De forma gráfica podríamos decir
que su origen y extremo coinciden.
- Vector unitario: son aquellos cuyo módulo tiene
valor 1. Todos los vectores pueden ser representados de esta usando el sistema
de normalización donde û = u/ |u| esto permitirá
reducir el valor de los ejes para reescalar el vector a 1.
- Vectores paralelos:
son vectores con igual o sentido contrario pero su ángulo de dirección es 0º o
180º.
- Vectores angulares:
son los vectores que se interceptan en un mismo punto.
- Vectores coplanarios:
son aquellos que están definidos en el mismo plano.
Esto es todo por ahora en esta publicación especial.
Si quieren aprender más sobre vectores me lo pueden dejar saber en la sección de
comentarios. Quiero dar Gracias especiales a las páginas https://www.universoformulas.com/fisica/vectores/operaciones-vectores/
y https://www.significados.com/vector/#:~:text=En%20f%C3%ADsica%2C%20se%20llama%20vector,expresar%20las%20llamadas%20magnitudes%20vectoriales.
Pues fueron de mucha ayuda e inspiración en esta publicación. Para nuestra próxima
publicación volveremos con las derivadas y algunos casos especiales.
es.
se puede aplicar en este caso, así que podemos reescribirla como.
