Problemas sin Resolver en Matemáticas

    Los teorema y principios en matemáticas son bastante usual. Ellos explican los reglamentos de cómo ciertos conceptos son aplicados en las diferentes áreas de la matemática. Estos han pasado pruebas rigurosas y han sido confirmados a través de procedimientos matemáticos. Unos de los teoremas más famosos y usados es el "teorema de Pitágoras" que establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Otros teoremas igual de importantes son el teorema del binomio, el teorema de Bayes, el teorema de Tales y si has trabajado en cálculos habrás oído del teorema de Stokes (en el futuro estaremos hablando de este en nuestra sección de cálculo), pero no todos los problemas y fundamentos han sido completamente comprobado. De hecho, existe un vasto número de problemas que aún no tienen solución y hay instituciones que otorgan premios a las personas que son capaces de resolverlos.

Desde el tiempo del Renacimiento se ha visto un incremento en el número de problemas resueltos. Y cada siglo el número de problemas aumentan y el número de resultados también. Esto se debe a los avances de la tecnología y la creación de nuevos métodos para hacer calculaciones que anteriormente no existían.  Unos de los conjuntos de problemas más famosos a resolver son conocidos como "Problemas del Milenio".

Postulados por Clay Mathematics Institute en el año 2000. son siete problemas cuya resolución será premiada con la suma de un millón de dólares por cada problema. Hasta la fecha solo uno de los siete problemas postulados ha sido resuelto y es "la conjetura de Poincaré". Entre los problemas que restantes están

• P versus NP: que trata sobre las clases de complejidad. en esencia la pregunta es simplemente ¿es P = NP completo? O simplemente es posible "verificar" rápidamente soluciones positivas a un problema del tipo SI/NO".
• La conjetura de Hodge: este es un problema de geometría algebraica que establece que ciertos grupos de cohomología de De Rham son algebraicos, esto es, son sumas de dualidades de Poincaré de clases homólogas de subvariedades.   Se lo que pueden pensar muchas palabras grandes y no entiendo casi ningunas. Para entender este problema mejor es necesario tener conocimiento de topología algebraica para comenzar, así que no es de mucho preocuparse pues es bastante complejo.
• La hipótesis de Riemann: establece que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real 1/2. tal vez preguntes que es la función zeta de Riemann, bueno esta tiene su fundamento en la teoría de números y la distribución de números primos. Se define como

• Existencia de Yang-Mills y del salto de masa: está relacionada con la teoría cuántica de campos y la teoría de Yang-Mills, un concepto avanzado en Física donde se generaliza el campo electromagnético y se descubrió la cromodinámica cuántica.
• Las ecuaciones de Navier-Stokes: describe el movimiento de líquidos y gases y su complejidad se debe al uso de ecuaciones no lineales. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de flujo laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.
• La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: envuelve curvas elípticas definidas sobre racionales.

    Cabe destacar que la solución de estos problemas también abarca la posibilidad de que estos problemas no tengan solución o su solución no es única, pero esto debe ser probado de forma matemática también. 

    Además de estos famosos problemas también existen una vasta mayoría de problemas todas las áreas de las matemáticas como Álgebra, Análisis, Combinatoria, Teoría de Números, números primos, geometría, entre otras áreas más.

    Algunos de mis problemas favoritos son los del juego tres en raya o tic-tac toe que establece "Dado un ancho de tablero de tic-tac-toe, ¿cuál es la dimensión más pequeña para que X tenga garantizada una estrategia ganadora?" y Sudoku donde exije una de estas tres respuestas: 

¿Cuál es el número máximo de datos para un rompecabezas mínimo?

¿Cuántos rompecabezas tienen exactamente una solución?

¿Cuántos rompecabezas con exactamente una solución son mínimos?

    Estoy seguro de que en los próximos años veremos más respuestas a estos problemas.  Si quieres saber más sobre estos problemas sin solución puedes dejar tu comentario aquí debajo. Mi meta es ayudar a las personas a ver las matemáticas como algo entretenido y no intimidante. Si te sientes motivado en aprender algo específico de matemáticas también puedes describirlo en la sesión de comentario esto será todo por ahora. La semana que viene buscaremos otros artículos de actualidad sobre las matemáticas. Aquí debajo les dejo algunos nombres sobre otros problemas si están interesados.

• Los 23 problemas de Hilbert
• Los problemas de Landau
• Los problemas de Taniyama
• Las 24 preguntas de Thurston
• Problemas de Simón
• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
• Problema de representación de celosía finita
• Conjetura de Hadamard
• Conjetura de Jacobson
• Conjetura de Crouzeix
• La conjetura de las cuatro exponenciales
• Determinar si existe algún número perfecto impar.
• Demostrar qué números se pueden representar como una suma de tres o cuatro números cúbicos (positivos o negativos).
• Prueba de que 10 es un número solitario.

Calculos: Derivadas parte 2

 Reglas comunes de la diferenciación.

Teorema 2. si f(x) y g(x) son diferenciables, entonces.

    Vayamos a comprobar algunas de las propiedades.

• Si f(x) = c, donde c es una constante, entonces.

• Si k es un número, entonceses.

Ejemplo #1. Previamente demostramos usando la fórmula del límite que si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x. Siguiendo la fórmula de los exponentes de x tenemos.

Ejemplo #2. Que tal

    Otra forma de presentar la raíz cuadrada es como x^1/2, entonces. 

Ejemplo #3. 

    Sabemos que la fórmula se puede aplicar en este caso, así que podemos reescribirla como.

    Para recordar las reglas de la derivada de multiplicación y cociente de funciones es mas complicado asi que las personas les gusta usar mnemotécnicas para ellos. En el caso de la derivada de multiplicación de funciones. Siempre recuerdo la frase "la Ferocidad Del Gato se le Suma al Gato De Felicia" donde las letras en mayúscula me recuerdan como se efectua la operacion.

    Puedes crear tus propias mnemotécnicas que funcionen para ti y compartirlas con los demás en la sección de comentarios.

Ejemplo #4. 

    Podemos resolverla de dos formas. La primera es usando las fórmula de la multiplicación de dos funciones.

Ejecutando la multiplicación de polinomios.

Reduciendo factores comunes

La otra forma de resolverlo es distribuyendo primero y luego ejecutando la derivada.

    Obtenemos la misma respuesta. Es importante tomar en cuenta que existe la posibilidad que la distribución tome mucho tiempo y hasta produzca funciones más complejas que las originales. Un caso muy común de esto es cuando tenemos multiplicaciones entre funciones trigonométricas.

     Si una función f es diferenciable entonces f '(x) es una función también. Si f '(x) es diferenciable entonces f ''(x) es una funcion tambien y asi sucesivamente. Esto significa que una puede tener más un orden superior de derivadas.

Ejemplo #5 Cuál es el orden más alto de derivadas de la función

    Todas las derivadas por encima del 4to orden son cero pues f ⁽⁴⁾(x) = 0  así que el orden más alto de derivadas es 3. con ecuaciones de exponente cuantitativo el orden depende del valor del exponente.  La función e ^x  es un caso curioso ya que su orden es infinito.

    Esto es todo por ahora. Espero que esto les sea de ayuda. Cuales mnemotécnicas has usado en matemáticas para recordar una fórmula? Compártela en los comentarios. En la próxima publicación presentaremos un tema interesante donde discutiremos el futuro de nuestro blog y como vamos a cambiar su estructura. 

Edicion especial: Los Vectores

    En matemáticas y física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es un objeto geométrico que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). Los vectores fijos del plano pueden ser denotados con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB. Otra forma de representarlo es con barras horizontales (-) encima de la letra indicando que es un vector (Ā indica que A es un vector). o simplemente con letras en negrita, para la mayoría de los casos nosotros usaremos la barra encima de la letra o las letras en negritas para indicar vectores.

    Un vector tiene magnitud y dirección. En el plano cartesiano un vector también está conformado por varias partes.

   Dirección, sobre la que se traza el vector.

    El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

    El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte, se usa para indicar en qué dirección (ángulo) se dirige el vector.

    El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector, se puede similar como el lugar de origen del vector.

    El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

¿Qué es diferente de un punto en el plano cartesiano y un vector?

Veamos la siguiente gráfica.

    

    Así se representan los puntos en el plano cartesiano. Donde A = (-5, 3), B = (6, 5), C = (4.5, -3.5), y D = (0, 0).

    Los vectores tienen un punto de origen (en este caso es (0, 0)) y un punto de llegada y no son solo un punto en el espacio si no un segmento en el espacio. Sus coordenadas no son descritas en paréntesis sino en algo diferente. A = <-5, 3> B = <6, 5> C = <4.5, -3.5> también pueden ser representados con indicadores de coordenadas y como vectores unitarios, pero eso lo explicaremos después.

    Para convertir un punto en un vector hay que restar el punto de llegada por el punto de origen

x = (x_final -x_inicio, y_final – y_inicio) 

(1)

Ejemplo #1

    Si creamos un vector basado en la gráfica entre punto A y B, donde A es el origen y B es el final, será

AB = (6 - (-5), 5 – 3) = <11,2>

    Los vectores por lo general están asociados con un sistema de coordenadas. En el sistema cartesiano usamos x̂, ŷ, y ẑ pero a veces también se puede usar î, ĵ, k̂  respectivamente, los símbolos encima son para denotar coordenadas.

    En 3D un vector que solo contiene valor en el eje x lo podemos denotar como <c, 0, 0> donde c es un valor arbitrario. De la misma forma un vector con valores solo en el eje y ó z se denota como <0, c, 0> y <0, 0, c> respectivamente. Otra representación seria cî indicando que el valor c solo se encuentra en el eje î ó x, cĵ indicando que el valor c solo se encuentra en el eje ĵ ó y, ck̂ indicando que el valor c solo se encuentra en el eje k̂ ó z. 

    Ya habíamos mencionado que un vector tiene magnitud y dirección. La magnitud de un vector es la distancia entre el punto inicial y el punto final. Esta se puede denotar simplemente con la letra del vector o usando las barras verticales (|) para indicar el tipo de operación que se realiza en el vector. Para calcular la magnitud de un vector se usa la misma operación que al calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo ya que la forma en que se presentan las coordenadas crea un triángulo rectángulo con el vector. Si los valores son dados como puntos entonces podemos tomar la diferencia entre los valores de las coordenadas y usarlos en la misma fórmula.

(2)

(3)

Ejemplo #2

    Calcula la magnitud del vector que se forma con los puntos (1, 5, -7) y (3, 1, -2).

    Usando la fórmula 2 Tenemos

    La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal. De forma general se mide en radianes o grados. Usamos la fórmula:

(4)

(5)

Donde tan^-1 es la inversa de la tangente.

Ejemplo #3.

    Calcula el ángulo de un vector con coordenadas (3, 5) y (1, 2) y el vector v̄ = 5î - 3ĵ 

En el primer caso podemos usar la segunda forma de la ecuación 5.

En el segundo caso las coordenadas i y j corresponden a x & y respectivamente. 

Suma y resta de vectores

    Para sumar y restar vectores debemos hacer la operación con cada uno de los ejes. “x” se suma con “x”, “y” se suma con “y”, y “z” se suma con “z”.

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    De forma gráfica en la suma usamos el método cabeza-cola donde la cabeza del vector ā esta en contacto con la cola del vector b̄.

    Analizando la gráfica podemos ver que la suma de vectores tiene propiedad conmutativa ā + b̄ = b̄ + ā, a esto le llamamos método del paralelogramo pues en la gráfica se forma un paralelogramo.

La magnitud de la suma es indicada por la operación.

(8)

    Otra forma de ver la resta de vectores es con el método del paralelogramo. la resta de dos vectores equivale a sumar al primero el opuesto del segundo.

    En cuanto a la multiplicación de vectores existen diferentes formas de ejecutarlas. Podemos multiplicar un vector por una magnitud escalar que afecta de la misma forma todos los términos del vector

Ejemplo

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(10)

    Otro caso de multiplicación de vectores es el producto escalar donde se toman dos vectores y se multiplican sus coordenadas y luego se suman para dar como resultado un producto escalar. Esta se denotada por el símbolo “.” para indicar que dos vectores están siendo multiplicados para producir una magnitud escalar.

(11)

el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es

(12)

    Esto tiene una implicación muy importante ya que, Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo debido a que el coseno de 90º es cero

    Otra forma de representar el producto escalar es usando matrices, lo que implica que la multiplicación será entre una matriz de una fila por otra de una columna.

Ejemplo #4.

Cuál es el producto escalar de ā = 15î - 3ĵ + 7k̂ y b̄ = 4ĵ + 2k̂

    Como en el vector b no hay cantidad para la coordenada i, podemos colocar un cero aquí. Usamos la ecuación 11 para resolverlo

    Finalmente tenemos el producto vectorial donde multiplicamos dos vectores y como resultados obtenemos un nuevo vector perpendicular a los vectores de la operación. Esta operación es descrita por el símbolo "×" o "^" por lo que también se le conoce como el producto cruz. De forma simple se define como

    Lo que implica que el producto de dos vectores paralelos es 0 ya que el seno de 0º es cero.

    Una forma interesante para calcular el producto vectorial es similar a calcular el determinante de una matriz 3x3. 

si ū = u_xî + u_y ĵ + u_zk̂ y v̄ = v_xî + v_y ĵ + v_zk̂ el producto ū × v̄ = w̄ es descrito como

w̄ = (u_yv_z - u_zv_y)î + (u_zv_x - u_xv_z)ĵ + (u_xv_y - u_yv_x)k̂  

(13)

En forma de matriz es cómo calcular el determinante.

Algunas propiedades importantes son

    Puedes comprobar estas propiedades vectoriales asignándoles valores arbitrarios a estos vectores.

Ejemplos #5. 

Evalúa el producto vectorial entre ā = 15î -3ĵ + 7k̂ y b̄ = 4ĵ + 2k̂

Usemos la descripción de la ecuación 13 definiendo x, y, z como i, j, k respectivamente

Tipos de vectores

• Vector nulo: son aquellos que tienen magnitud igual a cero. De forma gráfica podríamos decir que su origen y extremo coinciden.
• Vector unitario: son aquellos cuyo módulo tiene valor 1. Todos los vectores pueden ser representados de esta usando el sistema de normalización donde û = u/ |u| esto permitirá reducir el valor de los ejes para reescalar el vector a 1.
• Vectores paralelos: son vectores con igual o sentido contrario pero su ángulo de dirección es 0º o 180º.
• Vectores angulares: son los vectores que se interceptan en un mismo punto.
• Vectores coplanarios: son aquellos que están definidos en el mismo plano.

Esto es todo por ahora en esta publicación especial. Si quieren aprender más sobre vectores me lo pueden dejar saber en la sección de comentarios. Quiero dar Gracias especiales a  las páginas https://www.universoformulas.com/fisica/vectores/operaciones-vectores/ y https://www.significados.com/vector/#:~:text=En%20f%C3%ADsica%2C%20se%20llama%20vector,expresar%20las%20llamadas%20magnitudes%20vectoriales. Pues fueron de mucha ayuda e inspiración en esta publicación. Para nuestra próxima publicación volveremos con las derivadas y algunos casos especiales.