jueves, 21 de abril de 2016

Sistema de Ecuaciones

    Un sistema de ecuación es un sistema de dos o más ecuaciones que comparten una solución en común. Esta solución es común entre todas las ecuaciones. Un sistema de ecuación puede ser linear, cuadrática, cúbica, etc, depende del grado de la variable. En este caso primero estudiaremos ecuaciones lineales. Vamos a presentar tres formas diferentes de resolver los sistemas de ecuaciones lineales. personalmente creo que estos son los tres sistemas mas fácil y útiles, ya que pueden ayudar en el futuro a facilitar el entendimiento de cosas más complicadas.

    Lo primero a presentar es que estos sistemas de ecuaciones serán de dos variables Ax+By=C. estos es lo que permite que los métodos que vamos a usar funcionen.

    En un sistema de ecuaciones pueden haber tres tipos de soluciones. (1) las ecuaciones tienen una solución en común, (2) las ecuaciones no tienen solución en común, (3) la solución de las ecuaciones es infinita (de forma gráfica tendrá más sentido que la solución matemática). Los métodos que vamos a usar son el método de substitución, y el método de eliminación, el método gráfico, en este post hablaremos del método de substitución y eliminación.

Método de Substitución.
consideremos el siguiente sistema de ecuación.
5x - 2y = 4
2x + 3y =13
    el método de substitución se utiliza para eliminar una de las dos variables (cualquiera que deseamos), y terminamos con una simple ecuación de una variable que podemos usar para encontrar los valores que satisfacen la ecuación. los pasos a seguir son los siguientes.

  • 1ero. Resuelve una de las ecuaciones para una de las variables.
  • 2do. Sustituye esa variable en la otra ecuación.
  • 3ero. Resuelve la ecuación del paso dos.
  • 4to. Sustituye el resultado del paso tres en la primera ecuación para encontrar el valor de la otra variable,
  • 5to. Verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.
Utilicemos el ejemplo de arriba y resolvamos la primera ecuación para la variable "y"
5x – 2y = 4
-5x           -5x
-2y = 4 -5x
y = (4 - 5x)/-2
 Ahora que conocemos el valor de "y'' podemos remplazarlo en la segunda ecuación y así sabremos el valor de "x''.

2x + 3y =13
2x + 3((4 - 5x)/-2) =13,  Ahora podemos resolver la ecuación lineal para 'x'  y el resultado que obtenemos es x = 2. Utilizando la solución de 'y' y reemplazando 'x' por su valor encontramos el valor de 'y'
y = (4 - 5(2))/-2
y = 3
    Y así es como funciona el método de sustitución. requiere manipulación de variables y gran dominio de los principios básicos del álgebra.

Método de Eliminación
    requiere el uso de las dos ecuaciones simultáneamente donde eliminamos una ecuación y una variable y así nos quedamos con una ecuación lineal para resolver. Los pasos para resolver un sistema de ecuación con este método son los siguientes.

  • 1ero. escribir ambas ecuaciones en forma estándar Ax + By = C
  • 2do. hacer que los coeficientes de un par de las variables sean iguales y opuestos, es decir, que tengan el mismo valor numérico pero con signos opuestos.
  • 3ero. sumar las dos nuevas ecuaciones y confirmar que una de las variables se elimina. el resultado de la suma deberá ser una ecuación con una variable.
  • 4to. resuelve la ecuación encontrada en el paso tres.
  • 5to. sustituye el resultado del paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable 
  • 6to. verifica la solución, reemplazando las variables en las dos ecuaciones para verificar que obtienes el mismo número que la ecuación. pide.
Vamos a verificar con el mismo sistema de ecuación 
5x - 2y = 4
2x + 3y =13
Ambas ecuaciones ya están escritas en la forma estándar así que ahora vamos hacer los coeficientes de una variable igual. vamos a elegir 'y' pues sus valores son más pequeños. para hacer esto debemos de multiplicar cada variable por el coeficiente opuesto, es decir:
(1) 5x - 2y = 4
(2) 2x + 3y =13
el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (1) es -2, y el coeficiente de la variable 'y' en la ecuación (2) es +3. como tenemos que cambiar el signo de uno de los coeficiente para que se cancelen vamos a cambiar el signo del coeficiente de la ecuación (1), de esta forma uno será positivo y el otro negativo. Luego multiplicamos las ecuaciones por los coeficientes opuestos.
(3) (5x - 2y = 4) --> 15x - 6y = 12
(2) (2x + 3y =13) --> 4x + 6y = 26

Ahora que  podemos eliminar 'y'  lo hacemos como una simple suma de primer grado.
15x - 6y = 12
4x + 6y = 26
19x      = 38

Esto es sólo una ecuación de primer grado que podemos resolver
x = 38/19 --> x = 2

Sustituyendo cualquiera de las ecuaciones por este valor podemos encontrar el valor de 'y' y confirmar que y = 3. Personalmente podría decir que este proceso es más simple y rápido.

Esto será todo por ahora. Para el próximo post usaremos más ejemplos para solidificar este conocimiento y explicaremos el método gráfico. Preguntas y sugerencias por favor dejarlas en los comentarios o en la Pagina de Facebook. Si algún tema de interés que les gustaría debatir o alguna ayuda pueden contactarme en cualquier momento. 

sábado, 20 de febrero de 2016

Inecualidades II

Inecualidades lineales con una variable
Una inecuación lineal con una variable puede ser escrita en la forma "Ax + B < C," Donde A, B y C son números reales con ≠ 0.

Como definimos en el pasado post la solución de las inecuaciones se expresan en la forma de notación de intervalo. la siguiente tabla resume esto.



Para resolver una inecuación debemos encontrar todos los números que hacen la inecuación verdadera. por lo general una inecuación tiene un infinito número de soluciones. Las técnicas utilizadas para resolver una inecuación nos permten encontrar el número más pequeño y el más alto aceptable en la solución, estos son los extremos del intervalo. veamos una inecuación directamente.

14 + 2m < 3m
14 +2m -2m < 3m - 2m
14 < m

En esta inecuación tenemos que nuestro resultado es 14 menor que "m". esto quiere decir que cualquier número donde "m" sea mayor que 14 satisface la inecuación. Un ejemplo en la forma de intervalo es el siguiente(14,infinito)
Algo que cabe destacar es que las inecuaciones se resuelven usando el mismo procedimiento que el de una ecuación, sin embargo hay un pequeño cambio que se debe resaltar. Cada vez que se multiplica o se divide por un número negativo el signo de la inecuación cambia. Ejemplo.

-2x +4 > -2
-2x > -2 -4
-2x > -6
X > -6/-2
X < 3 

El signo inicial era x >  pero al dividir por un número negativo (-2) el signo cambio x <

¿Qué significa esto gráficamente?
El número es la línea fronteriza que divide el plano en los números que satisfacen la inecuación y los números que no. Los números que satisfacen la inecuación están sombreados para ser distinguidos de la otra frontera, es decir hay un lado más ocuro que el otro y ese lado más oscuro son los valores que satisfacen la inecuación. La línea de la frontera depende del símbolo que se usa. Si los símbolos usados son <,> la línea frontera será una línea cortada (----). Si los símbolos usados son mayor o igual que, menor o igual que la línea es una línea sólida ( ____ ). Veamos un ejemplo

el ejemplo previo indica que "x" es menor que 3, esto sera una linea cortada.
si vemos la frontera donde X=3 es una linea cortada que significa que el número 3 no es parte de la solucion. la parte sombreada son todos los numeros que hacen la inecuacion verdadera y la parte no sombreada son los números que hacen la inecuacion falsa.


Hay otra forma de graficar y está es en la recta numérica. Aquí la representación puede ser con sus paréntesis y corchetes, o puede ser con círculos abiertos o cerrados. Esto depende de la persona que lo decida usar. Veamos un ejemplo.





Estan son las dos formas mas comunes de la recta numérica. Ahora les dejo unos ejercicios para que practiquen, estas inecuaciones son para que las resuelvan y traten de hacer su gráfica. En el próximo post estarán las respuestas.


  • inecuación
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