Mas Ejemplos de Secciones Transversales

    Trabajemos algunos ejemplos más de volumen y secciones transversales.

• El sólido entre planos perpendiculares al eje x en x = 0 y x = 4. La sección transversal perpendicular al eje en el intervalo 0 ≤ x ≤ 4 son cuadrados cuyas diagonales van desde la parábola y = -√x hasta la parábola y = √x.

    Como antes, primero debemos ver cómo se ve el gráfico.

    En esta representación tenemos una línea negra que representa la diagonal que sale de las parábolas. La declaración nos dice que el sólido se crea usando cuadrados en algo que se verá así.

    Como la sección transversal es un cuadrado, el área de un cuadrado está dada por A = L². Y la longitud de la diagonal es la diferencia entre las parábolas.

    La relación entre la diagonal y los lados de los cuadrados se puede explotar utilizando el teorema de Pitágoras.

    Como este es un cuadrado, la longitud de ambos lados es igual.

    Y la longitud al cuadrado es simplemente el área del cuadrado. Entonces, tenemos que nuestra función para el área es.

    Ahora que tenemos una función para la sección transversal y los límites se dan en el enunciado, podemos calcular nuestra integral.

    Créditos especiales a Kratzmeyer's Math en YouTube y Natasha Kowalewski por la ayuda con las imágenes y la explicación.

• El sólido se encuentra entre planos perpendiculares al eje y en y = 0 y y = 2. Las secciones transversales perpendiculares al eje y son discos circulares con diámetros que van desde el eje y hasta la parábola x = √5y².

    Como en el primer ejemplo, todas las pistas que necesitamos se proporcionan en el enunciado. Esta vez, en lugar de una sección transversal cuadrada, tenemos un disco circular, por lo que usamos el método del disco para resolverlo.

    En lugar del radio, se nos da el diámetro del sólido, afortunadamente, el radio es solo la mitad del diámetro del sólido.

• Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región sombreada alrededor del eje dado.

1. 

    La declaración anterior nos dice que el sólido se genera al girar la región sombreada, por lo que los métodos deben ser el disco o el método de la arandela, según el sólido creado. Dado que gira alrededor del eje x, debemos definir la función en términos de x y como no hay agujeros usamos el método del disco para obtener

2. 

    La integral de tan² es muy complicada de evaluar, pero podemos usar una identidad trigonométrica para resolver el problema y la sustitución de u para facilitar nuestros cálculos.

Sea u = π/4y à du = π/4dy, entonces 4/π du = dy

    Cuando y = 0; u = 0.

    Cuando y = 1, u = π/4

    Si no sabes de dónde viene la identidad, dejaré la derivación al final de la publicación.

    Con los métodos estudiados aquí el eje sobre el cual la función revuelve es paralelo al eje que define la función. En la próxima publicación estudiaremos un método para calcular el volumen cuando la función revuelve perpendicular al eje de la función.

Identidad Trigonométrica

    Empezamos con una identidad fundamental

    Dividimos la ecuación por cos² (x).