Calculos: Derivadas parte 5

Derivación Implícita

    Hasta ahora hemos visto funciones de la forma f(x) = 4x + 3. Esta forma es conocida como funciones explícitas. Por lo general una función explícita es escrita con una variable en términos de otra (y = f(x)), con una variable dependiente y otra independiente. Funciones explícitas son fáciles de entender y computar pues su significado es directo con lo que presentan, pero existen otras funciones que son definidas de forma implícitas. Para tener una mejor idea veamos los siguientes ejemplos.

    Uno puede hacer el argumento en el primer caso que  pero el mismo argumento no se puede hacer para los demás casos ya que no sabemos que es f(x) y factorizando y nos da una expresión que también es dependiente de y. Si suponemos que y es definida en una función desconocida denominada y(x), entonces podremos tratar las funciones de forma abstracta y conocer todas sus propiedades, incluso su derivada.

    Ya hemos visto casos similares donde analizamos derivadas desde un punto de vista abstracto usando la regla en cadena. Este análisis nos permite sustituir funciones complicadas por elementos más simples para ver las propiedades comunes que se encuentran escondidas. De esta misma forma estaremos usando la diferenciación implícita. Ejemplo:

    Cómo determinamos anteriormente y² = y(x)². A esta le podemos aplicar la regla en cadena.

    Resolviendo la ecuación para despejar 

    Esta nos permite calcular la derivada independiente del tipo de función que se elija para y(x). Sí usamos la forma explícita veremos que el resultado es el mismo al anterior si hacemos la sustitución de 

Otro ejemplo: 

    Aunque no tenemos una función para f(x) podemos obtener una relación entre x, f(x) y f ’(x) a través de la derivación con respecto a x.

Otro ejemplo: 

    Factorizando el factor común.

    Este método de derivación implícita nos permite encontrar la derivada sin necesidad de despejar y. para ello vamos a usar ambos métodos y comparar resultados.

Ejemplo: Encuentre la derivada de 

    Primero vamos a resolver aislando la variable y luego calcular su derivada.

Usando la fórmula de la división

    Ahora vamos a intentarlo sin separar las variables

    Usando la regla en cadena.

    Redistribuyendo y aislando 

    Los dos resultados parecen diferentes, pero si vemos detenidamente veremos que en el primer método solo tenemos una expresión dependiente de x mientras que en el segundo método tenemos variables x e y. Si sustituimos la expresión de y obtendremos el mismo resultado.

    El mismo resultado que si despejamos la variable en primer lugar. Indicando la eficiencia del método de la derivación implícita.

 La regla de L’Hopital

Retrato de Guillaume de L'Hopital

    En 1696 Guillaume François Antoine, Marques de L'Hôpital un matemático francés, estudiante de Johann Bernoulli, publicó el primer libro sobre cálculo diferencial. En este libro se incluía una regla que él aprendió de su maestro para calcular límites usando derivadas. Debido a esto se le atribuye el nombre de la regla de L’Hopital (la estaré abreviando “regla H” para mi comodidad). 

    Existen funciones cuyos limiten aparecen formas de 0/0 o ∞/∞. A simple vista no son simple de calcular, pero el uso de la regla H nos permite reemplazar un límite por otro. En esta oportunidad solo estudiaremos los casos cuando el límite se expresa como 0/0.

    Cuando estudiamos los límites vimos las reglas que se aplican cuando tenemos una suma, resta, multiplicación, … este es otra regla que podemos agregar que concierne cuando los límites de las funciones son igual a cero. 

    Teorema: si f(a) = g(a) = 0. Y que f y g son diferenciable en un intervalo abierto I que contiene a y g’(x) ≠ 0 en I si x ≠ a, entonces.

    Asumiendo que los límites en el lado derecho existen. La notación f ’(x) denota una derivada.

    Para comprobarlo vamos a usar dos límites explorados anteriormente.

    Estos límites los analizamos usando las propiedades de ángulos pequeños donde  Y  si x<<1, pero ahora vamos a usar la regla H para confirmarlo.

 definimos f(x) = sen(x) y g(x) = x entonces f ’(x) = cos(x) y g ’(x) =1.

 definimos f(x) = 1-cos(x) y g(x) = x entonces f ’(x) = sen(x) y g ’(x) =1.

    Obtenemos los mismos límites como debería ser.

Ejemplo 2. 

    Si aplicamos el valor donde buscamos el límite veremos que tenemos como resultado 0/0 así que podemos usar la regla H para resolverlo.

Ejemplo 3. 

    Este es un caso muy interesante. Vamos a aplicar la regla H para ver qué pasa.

f(x) = sen(x) – x                 g(x) = x³

f ’(x) = cos(x) -1                  g’(x) = 3x² 

    Si aplicamos la condición del límite x à 0 tenemos como resultado 0/0, nada ha cambiado. Cuando esto pasa podemos seguir aplicando la regla H tantas veces sea necesario hasta que uno de los dos deja de ser cero.

f(x) = cos(x) -1                   g(x) = 3x²

f ’(x) = - sen(x)                    g’(x) = 6x

    Aplicando la condición del límite otra vez notamos que obtenemos 0/0. Podemos aplicar la regla H otra pero en este caso podemos reconocer el tipo de límite que tenemos. Sino lo puedes reconocer a simple vista con un poco de manipulación algebraica se hará más visible.

    Este es un límite que hemos trabajado anteriormente.

    Puedes confirmar que el resultado es el mismo usando la regla H.

    Este ejemplo nos muestra que podemos usar la regla de L’hopital siempre y cuando el resultado sea 0/0 hasta que este cambie y su uso no está limitado a un número de veces.

    Por ahora esto será todo. Todavía quedan algunos aspectos de la derivada que no hemos explorado, como el caso de los logaritmos, eso lo haremos cuando volvamos a retomar el tema. Para la próxima publicación estaremos hablando de algunos temas de interés en las matemáticas y luego empezaremos un nuevo tema. Aquí les dejo algunos ejercicios de práctica para las derivadas.

    Encuentra la derivada

    Encuentra usando diferenciación implícita.

    Evalúa los limites usando la regla de L’Hopital.