Antes
de empezar hablar de los limites, vamos a repasar la idea de la pendiente. La
pendiente de una curva en un punto es la
inclinación que tiene la recta tangente a la curva en ese punto.
Si
tenemos una gráfica descrita por la ecuación f(x). La linea en el punto A es
descrita como la pendiente tangente a la curva f(x) en el punto A. también es
descrita por la ecuación 
conocida mas bien como el cambio de salida sobre el
cambio de entrada. (el símbolo aquí presentado corresponde a la letra griega
delta y simboliza cambio o diferencia). Si tomamos puntos arbitrariamente en la gráfica encontraremos la pendiente tangente a cada punto pero que tal si queremos
conocer el cambio en mas pequeños intervalos, infinitésimamente pequeños
intervalos, si la función que estamos observando es continua entonces podremos
definir la pendiente es cada punto pero si la función no es continua que
podremos hacer? Es aquí donde la idea de limites hace su aparición.
Observemos la siguiente función:
alrededor del punto x = 1.
Si utilizamos calculadoras o programas para crear la gráfica de esta función tendremos una línea recta (los programas de computadoras y calculadoras están diseñados para lidiar con límites), pero si analizamos la función correctamente veremos que la función es indefinida en el punto x = 1 (no podemos dividir por cero). Sin embargo podemos simplificar la función al factorizar el numerador
Esta es la función que aparece en la gráfica de las calculadoras y programas de computadora. Esta clase de gráficas son consideradas discontinuas ya que existe un punto donde la gráfica no es definida. Para entender mejor la idea de continuidad imagina que tienes una gráfica de una función f(x) si tomamos un lápiz o marcador y trazamos una linea exactamente sobre la gráfica sin tener que levantar el lápiz o marcador entonces la función es continua. Si en algún momento tenemos que mover la punta del lápiz o marcador fuera de la linea entonces la función es discontinua. Veamos los siguientes ejemplos.
conocida mas bien como el cambio de salida sobre el
cambio de entrada. (el símbolo aquí presentado corresponde a la letra griega
delta y simboliza cambio o diferencia). Si tomamos puntos arbitrariamente en la gráfica encontraremos la pendiente tangente a cada punto pero que tal si queremos
conocer el cambio en mas pequeños intervalos, infinitésimamente pequeños
intervalos, si la función que estamos observando es continua entonces podremos
definir la pendiente es cada punto pero si la función no es continua que
podremos hacer? Es aquí donde la idea de limites hace su aparición.Observemos la siguiente función:
alrededor del punto x = 1.
Si utilizamos calculadoras o programas para crear la gráfica de esta función tendremos una línea recta (los programas de computadoras y calculadoras están diseñados para lidiar con límites), pero si analizamos la función correctamente veremos que la función es indefinida en el punto x = 1 (no podemos dividir por cero). Sin embargo podemos simplificar la función al factorizar el numerador
Esta es la función que aparece en la gráfica de las calculadoras y programas de computadora. Esta clase de gráficas son consideradas discontinuas ya que existe un punto donde la gráfica no es definida. Para entender mejor la idea de continuidad imagina que tienes una gráfica de una función f(x) si tomamos un lápiz o marcador y trazamos una linea exactamente sobre la gráfica sin tener que levantar el lápiz o marcador entonces la función es continua. Si en algún momento tenemos que mover la punta del lápiz o marcador fuera de la linea entonces la función es discontinua. Veamos los siguientes ejemplos.
Mientras más cerca
nos movamos al punto x = 1 más sera visto que la función g(1) = 2 aunque esta no lo
sea. A esto le llamamos limites y lo describimos de la siguiente forma.
y se lee: el limite de la funcion
cuando x se aproxima a 1 es igual a 2.
una forma mas tecnica para describirla seria si la funcion h(x) se define en un
intervalo abierto sobre c, excepto posiblemente en la propia c. Si h(x) está
arbitrariamente cerca de L para todos los valores x lo suficientemente cerca de c, decimos
que h(x) se acerca al límite L a medida que x se acerca a c.
Si c y K son constantes, en el primer ejemplo tenemos que el limite de la funcion x, es simplemente el valor c, pues la funcion x es continua. en el segundo ejemplo tenemos que el limite de la constante K es K pues su valor nunca cambia. En un caso como este el limite existe pero hay casos donde el limite puede que no exista como en el primer ejemplo y en los siguientes.
a) Salta: la función de unidad de paso U(x) no tiene límite cuando x se
acerca a 0 porque sus valores saltan a x = 0. Para los valores negativos de x arbitrariamente
cerca de cero, U(x) = 0, pero para valores positivos de x arbitrariamente
próximos a cero U(x) = 1. no hay un valor único L por U(x) cuando x va a 0.
b) Crece demasiado "grande" para tener un límite: g(x) no tiene
límite cuando x se acerca a 0 porque los valores de g crecen arbitrariamente
grandes en valor absoluto a medida que x se acerca a cero y no permanece cerca
de ningún número real fijo
c) Oscila demasiado para tener un límite: f(x) no tiene límite cuando x se
acerca a 0 porque los valores de la función oscilan entre +1 y -1 en cada
intervalo abierto que contiene 0. Los valores no permanecen cerca de ningún
número como x se acerca a 0
Algunas propiedades de los limites.
Pero la propiedad mas importante es que solo un limite puede existir en una función. Por ahora eso es todo. Aquí les dejare tres ejercicios para que practiquen las propiedades de los limites. En la próxima publicación estarán las respuestas.
